《數(shù)值計算方法》計算題匯總

用高斯-塞德爾方法解方程組，取，迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。答案：是精確成立，即得求積公式為當(dāng)時，公式顯然精確成立；當(dāng)時，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案：差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-104、取步長，用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問題答案：解：即n01234500.20.40.60.81.011.825.879610.713719.422435.02795、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為6、已知區(qū)間[0.4，0.8]的函數(shù)表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最?。坎⑶笤摻浦?。答案：解：應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差盡量小，即應(yīng)使盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點最好，實際計算結(jié)果，且7、構(gòu)造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令.且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程變形為則當(dāng)時，故迭代格式收斂。取，計算結(jié)果列表如下：n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且滿足.所以.8﹑利用矩陣的LU分解法解方程組。答案：解：令得，得.9﹑對方程組試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)故對應(yīng)的高斯—塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：.10、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當(dāng)0<x<1時，ex，則，且有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差.由，只要即可，解得所以，因此至少需將[0,1]68等份。11、用列主元素消元法求解方程組。解：回代得。12、取節(jié)點,求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的二次插值多項式,并估計誤差。解：又故截斷誤差。13、用歐拉方法求在點處的近似值。解：等價于()記,取,.則由歐拉公式,可得,14、給定方程1)分析該方程存在幾個根；2)用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；說明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程（1）改寫為（2）作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2)將方程（2）改寫為構(gòu)造迭代格式計算結(jié)果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)，當(dāng)時，，且所以迭代格式對任意均收斂。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7,計算三次，保留五位小數(shù)。解：是的正根，，牛頓迭代公式為，即取x0=1.7,列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f(1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：17、n=3,用復(fù)合梯形公式求的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計。解：，時，至少有兩位有效數(shù)字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組=，取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel迭代格式為：系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T，列表計算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52619、用預(yù)估—校正法求解(0￡x￡1)，h=0。2，取兩位小數(shù)。解：預(yù)估—校正公式為其中，，h=0.2，，代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.4220、（8分）用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解：解方程組其中解得：所以，21、（15分）用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計算時，試用余項估計其誤差。用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計算出該積分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應(yīng)迭代格式；(2)對應(yīng)迭代格式；（3）對應(yīng)迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。解：（1），，故收斂；（2），，故收斂；（3），，故發(fā)散。選擇（1）：，，，，，，23、（8分）已知方程組，其中，列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，24、1、（15分）取步長，求解初值問題用改進(jìn)的歐拉法求的值；用經(jīng)典的四階龍格—庫塔法求的值。解：改進(jìn)的歐拉法：所以；經(jīng)典的四階龍格—庫塔法：，所以。25、數(shù)值積分公式形如試確定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設(shè)，推導(dǎo)余項公式，并估計誤差。解：將分布代入公式得：構(gòu)造Hermite插值多項式滿足其中則有：，26、用二步法求解常微分方程的初值問題時，如何選擇參數(shù)使方法階數(shù)盡可能高，并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的解：所以主項：該方法是二階的。27、（10分）已知數(shù)值積分公式為：，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立；時，；時，；時，；時，；所以，其代數(shù)精確度為3。28、（8分）已知求的迭代公式為：證明：對一切，且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂。證明：故對一切。又所以，即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂。29、（9分）數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解：是。因為在基點1、2處的插值多項式為。其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫出求方程在區(qū)間[0,1]的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(6分)，n=0,1,2,…∴對任意的初值,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.722755532、(10分)用復(fù)化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為。或利用余項：，，33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組：

3.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.333300001.93759.687534、(8分)求方程組的最小二乘解。，，若用Householder變換，則：最小二乘解：(-1.33333，2.00000)T.35、(8分)已知常微分方程的初值問題：

用改進(jìn)的Euler方法計算的近似值，取步長。，36、(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：

取f(x)=1,x，令公式準(zhǔn)確成立，得：，，f(x)=x2時，公式左右=1/4;f(x)=x3時，公式左=1/5,公式右=5/24∴公式的代數(shù)精度=237、（15分）已知方程組，其中，，（1）寫出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判斷（1）中兩種方法的收斂性，如果均收斂，說明哪一種方法收斂更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式Gauss-Seidel迭代法的分量形式（2）Jacobi迭代法的迭代矩陣為，，，Jacobi迭代法收斂Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣為，，，Gauss-Seidel迭代法發(fā)散38、（10分）對于一階微分方程初值問題，取步長，分別用Euler預(yù)報－校正法和經(jīng)典的四階龍格—庫塔法求的近似值。解：Euler預(yù)報－校正法經(jīng)典的四階龍格—庫塔法()39、（10分）用二步法求解一階常微分方程初值問題，問：如何選擇參數(shù)的值，才使該方法的階數(shù)盡可能地高？寫出此時的局部截斷誤差主項，并說明該方法是幾階的。解：局部截斷誤差為因此有局部截斷誤差主項為，該方法是2階的。40、(10分)已知下列函數(shù)表：012313927(1)寫出相應(yīng)的三次Lagrange插值多項式；(2)作均差表，寫出相應(yīng)的三次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：（1）（2）均差表：41、(10分)取步長，求解初值問題，分別用歐拉預(yù)報—校正法和經(jīng)典四階龍格—庫塔法求的近似值。解：（1）歐拉預(yù)報-校正法：（2）經(jīng)典四階龍格-庫塔法：42、(10分)取5個等距節(jié)點，分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普生公式計算積分的近似值（保留4位小數(shù)）。解：5個點對應(yīng)的函數(shù)值xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111（2分）(1)復(fù)化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：復(fù)化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：43、(10分)已知方程組，其中，(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量