微專題三　對角互補模型

第四章三角形微專題三對角互補模型對角互補模型主要包括兩種模型：①含90°的對角互補模型；②含120°的對角互補模型.解決此類題型常用到的輔助線作法主要有兩種：旋轉法和過頂點作兩垂線.

類型條件結論圖示“90°”模型∠AOB＝∠DCE＝90°△CDM∽△CENOC平分∠AOB類型條件結論圖示“120°”模型∠AOB＝2∠DCE＝120°△CDM∽△CENOC平分∠AOB

?類型1：“90°”模型【例1】如圖1，將一個直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的對角線BD上滑動，并使其一條直角邊始終經過點A，另一條直角邊與BC相交于點E.（1）求證：PA＝PE；（2）若將（1）中的正方形變?yōu)榫匦?，其余條件不變（如圖2），且AD＝10，DC＝8，求AP∶PE.圖1

圖2

思路點撥

圖1－1

圖2－1

圖1－1

圖2－1

?類型2：“120°”模型【例2】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是線段BC的中點，∠EDF＝120°，DE與線段AB相交于點E，DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F.（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為點F，AB＝4，求BE的長；

圖1圖2

思路點撥

圖2－1

圖2－11.如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，D為AB的中點，以點D為圓心作圓，半圓恰好經過三角形的直角頂點C，以點D為頂點，作90°的∠EDF，與半圓交于點E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積是

π－2

?.

π－2

?類型1：“90°”模型2.已知：如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，Q為線段DB上的一點，∠MQN＝90°，點M，N分別在直線BC，DC上.

圖1（1）證明：如圖，過Q點作QP⊥BD交DC于點P，則∠PQB＝90°.

∵∠MQN＝90°，∴∠NQP＝∠MQB.∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠BDC＝∠DBC＝45°，DO＝BO，∴∠DPQ＝45°，DQ＝PQ.∴∠DPQ＝∠DBC，

∵Q是OD的中點，且PQ⊥BD，∴QP是△DOC的中位線，∴∠DPQ＝45°，DQ＝PQ.∴∠DPQ＝∠DBC，

∵Q是OD的中點，且PQ⊥BD，∴QP是△DOC的中位線，

?類型2：“120°”模型

證明：如圖，過點A向∠BDC的兩邊作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn).

由圓內接四邊形的性質，得∠BDC＝180°－∠BAC＝60°.∵AB＝AC，∴∠ADB＝∠ADC＝30°.由圓內接四邊形的性質，得∠BDC＝180°－∠BAC＝60°.∵AB＝AC，∴∠ADB＝∠ADC＝30°.

∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF.又∵AB＝AC，∴Rt△AEB≌Rt△AFC（HL）.

∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF.∴BE＝CF，∴BD＋CD＝BE＋DE＋DF－CF＝2DE.在Rt△DEA中，∠EDA＝30°，∴BD＋CD＝BE＋DE＋DF－CF＝2DE.在Rt△DEA中，∠EDA＝30°，∴BE＝CF，

解：EF＝BE＋CF.理由如下：延長FC到點T，使得CT＝BE，連接AT，如圖.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∴∠DBC＝∠DCB＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∵△BCD是等邊三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝60°，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠ABE＝∠ACT＝90°.∵AB＝AC，BE＝CT，∴△ABE≌△ACT（SAS）.∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠ABE＝∠ACT＝90°.∵AB＝AC，BE＝CT，∴∠BAE＝∠CAT，AE＝AT，∴∠EAT＝∠BAC＝120°.又∵∠EAF＝60°，∴∠TAF＝60°＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAT，AE＝AT