2022-2023學年安徽省池州市青陽縣高二年級上冊學期11月期中考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年安徽省池州市青陽縣第一中學高二上學期11月期中考試數(shù)學試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線方程得直線斜率，再由斜率得傾斜角．【詳解】由已知直線的斜率為，所以其傾斜角為.故選：C．2．在四面體O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且＝x＋y＋z，則log3|xyz|等于（

）A．－3 B．－1C．1 D．3【答案】A【分析】連接AG，利用空間向量的加法和減法，用，，表示向量，再根據(jù)＝x＋y＋z，求得x，y，z即可.【詳解】如圖所示：連接AG，則，，所以，所以，故選：A3．若方程表示一個圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用配方法，結合圓的標準方程的特征進行求解即可.【詳解】由，得，則.故選：A4．直線y＝kx－k＋1與橢圓的位置關系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】先求得直線的恒過的點，求得該點與橢圓的位置關系，可得選項．【詳解】直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過定點(1，1)，又，所以點(1，1)在橢圓內部，故直線與橢圓相交.故選：A．【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，關鍵得出直線的恒過點，是比較巧的方法，屬于基礎題．5．已知兩點A(-2，4)，B(2，3)，過點P（1，0）的直線與線段AB有公共點，則直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率，利用數(shù)形結合法求解.【詳解】如圖所示：由圖象知：過點P（1，0）的直線為直線PA，PB之間任意一條直線，而，因為直線與線段AB有公共點，所以或，故選：D6．在正方體中，棱的中點分別為，則直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以D為坐標原點，DA，DC，、分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】設正方體的棱長為2，以D為坐標原點，DA，DC，、分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則，，，，則，，設直線EF與的所成角為，則，∴.故選：B7．，，為直角三角形的三邊長，且為斜邊，點在直線上，則最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用的幾何意義和點到直線的距離公式可得正確的選項.【詳解】因為a、b、c為直角三角形的三邊長，且c為斜邊，所以，因為點在直線上，表示原點到點的距離，所以當原點到點的線段與直線垂直時，最小，因為原點到直線的距離為，所以最小值為.故選：A.8．已知為坐標原點，、分別是橢圓的左、右頂點，是橢圓上不同于、的動點，直線、分別與軸交于點、.則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設動點，，由橢圓方程可得、的坐標，求出，所在直線方程，可得與的坐標，求得，再由動點在橢圓上，得，則的值可求.【詳解】設動點，，由橢圓方程可得，，則，，所以直線的方程為，直線的方程為，由此可得，，所以.因為動點在橢圓上，所以，所以，則.故選：B.二、多選題9．下列說法中正確的是（

）A．平面的法向量垂直于與平面共面的所有向量B．一個平面的所有法向量互相平行C．如果兩個平面的法向量垂直，那么這兩個平面也垂直D．如果向量、與平面共面，且向量滿足，，那么就是平面的一個法向量【答案】ABC【分析】根據(jù)法向量的定義可判斷A、B選項的正誤；利用空間中平面與平面的位置關系與法向量之間的關系可判斷C選項的正誤；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，由法向量的定義可知，平面的法向量垂直于與平面共面的所有向量，A選項正確；對于B選項，一個平面的所有法向量互相平行，B選項正確；對于C選項，由空間中平面與平面的位置關系與法向量之間的關系可知，如果兩個平面的法向量垂直，那么這兩個平面也垂直，C選項正確；對于D選項，只有當、不共線時，才能得出結論，依據(jù)是線面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直，D選項錯誤.故選：ABC.【點睛】本題考查平面法向量定義的應用，同時也考查了平面間的位置關系與法向量之間的關系，考查推理能力，屬于基礎題.10．下列說法正確的是（

）A．若直線與直線互相垂直，則B．直線必過定點C．直線在y軸上的截距為－2D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為【答案】BC【分析】對于A選項，根據(jù)兩條直線垂直的判定條件求解參數(shù)即可；對于B選項，將直線整理為，即可求出直線所過定點；對于C選項，令即可求出直線在軸上的截距；對于D選項，根據(jù)已知條件求解直線方程即可判斷正誤.【詳解】對A：，解得或，A不正確；對B：直線可整理為，因此直線必過定點，即B正確；對C：直線在y軸上的截距，令，得，所以直線在y軸上的截距為－2，所以C正確．對D：當直線經(jīng)過原點時，設直線為，代入點求得，即直線方程為，當直線不經(jīng)過原點時，設直線為，代入點求得，即直線方程為.所以D不正確.故選：BC11．已知圓與圓，則下列說法正確的是（

）A．若圓與軸相切，則B．若，則圓C1與圓C2相離C．若圓C1與圓C2有公共弦，則公共弦所在的直線方程為D．直線與圓C1始終有兩個交點【答案】BD【分析】對A，圓心到x軸的距離等于半徑判斷即可；對B，根據(jù)圓心間的距離與半徑之和的關系判斷即可；對C，根據(jù)兩圓有公共弦，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線方程求解即可；對D，根據(jù)直線過定點以及在圓C1內判斷即可.【詳解】因為，，對A，故若圓與x軸相切，則有，故A錯誤；對B，當時，，兩圓相離，故B正確；對C，由兩圓有公共弦，兩圓的方程相減可得公共弦所在直線方程，故C錯誤；對D，直線過定點，而，故點在圓內部，所以直線與圓始終有兩個交點，故D正確.故選：BD12．已知橢圓：內一點，直線與橢圓交于，兩點，且點是線段的中點，則（

）A．橢圓的焦點坐標為，B．橢圓的長軸長為4C．直線的方程為D．【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓方程，求出、，即可判斷A、B，設，，利用點差法求出直線的斜率，即可得到直線方程，從而判斷C，再聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，利用弦長公式求出，即可判斷D；【詳解】解：由橢圓方程，所以，，所以，故，所以橢圓的焦點坐標為，，故A錯誤；因為，所以橢圓的長軸長為，故B正確；設點，，則，兩式相減可得，整理得，因為點是線段的中點，且，所以，所以，所以直線的方程為，即，故C正確；由，得，所以，，所以，故D正確．故選：BCD三、填空題13．已知向量，，，若，則____________.【答案】【分析】首先求出的坐標，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因為向量，，，所以向量，因為，所以，即，解得故答案為：14．已知和點關于直線對稱，則點坐標為________．【答案】【分析】設點的坐標為，則由線段的中點在直線上，，列方程組可求出點坐標【詳解】解：設點的坐標為，則，解得，所以點坐標為，故答案為：15．設P為方程表示的曲線上的點，M、N分別為圓和圓上的點，則的最小值為______．【答案】9【解析】方程表示的曲線是橢圓，M、N所在圓的圓心是橢圓的焦點，由橢圓的定義和圓的性質可求得最小值．【詳解】方程表示的曲線是橢圓，焦點為，圓半徑為，圓的半徑為，，當且僅當共線，共線，且在之間，在之間時等號成立．故答案為：9.【點睛】本題考查橢圓的定義，考查點與圓的性質．解題時掌握了橢圓的定義就可以對問題進行轉化．本題還考查了轉化與化歸能力．16．直線與曲線有兩個公共點，則的取值范圍是_______________________.【答案】【分析】首先確定直線和曲線的圖形特征，然后考查臨界值即可確定實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：如圖所示，是一個以原點為圓心，長度為半徑的半圓，是一個斜率為的直線，要使兩圖有兩個交點，連接和，直線必在以上的半圓內平移，直到直線與半圓相切，則可求出兩個臨界位置直線的值，當直線與重合時，；當直線與半圓相切時，圓心到的距離，即，解得：或（舍去）．所以的取值范圍是．故答案為：四、解答題17．已知直線：和直線：，求分別滿足下列條件的，的值.(1)直線過點，且直線和垂直；(2)若直線和平行，且直線在軸上的截距為.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）由兩條直線垂直得，再利用直線過點，列出方程求解a，b；（2）由兩條直線平行得a，b滿足，再利用縱截距為-3解出a，b.【詳解】（1）由于直線和垂直，故，又直線過點，故，聯(lián)立兩式，解得，.故有，.（2）由于直線和平行，故，直線在軸上的截距為，則，聯(lián)立解得，.故有，.18．如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點.(1)求證：；(2)若直線與平面所成角為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明過程見解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算公式進行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式，結合空間點到面距離公式進行求解即可.【詳解】（1）因為平面，平面，所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標系：，，因為，所以，即，（2）設平面的法向量為，，所以有，因為直線與平面所成角為，所以，解得，即，因為，所以點到平面的距離為：.【點睛】19．已知圓及直線：.（1）證明：不論取什么實數(shù)，直線與圓C總相交；（2）求直線被圓C截得的弦長的最小值及此時的直線方程.【答案】（1）證明見解析；（2）；.【分析】（1）求出直線過定點（3，4），圓C的圓心為(1，2)，半徑為5.判斷出點(3，4)在圓內，由此能證明不論m取什么實數(shù)，直線與圓C總相交；（2）設直線與圓交于A、B兩點.當直線過定點M(3，4)且垂直于過點M的圓C的半徑時，被截得的弦長AB最短，即可求解.【詳解】（1）證明：把直線l的方程改寫成：，由方程組，解得：，所以直線l總過定點(3，4).圓C的方程可寫成，所以圓C的圓心為(1，2)，半徑為5.因為定點(3，4)到圓心(1，2)的距離為，即點(3，4)在圓內，所以過點(3，4)的直線l總與圓相交，即不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C總相交（2）設直線l與圓交于A、B兩點.當直線l過定點M(3，4)且垂直于過點M的圓C的半徑時，l被截得的弦長|AB|最短.因為，此時，所以直線AB的方程為，即.故直線l被圓C截得的弦長最小值為，此時直線l的方程為.20．橢圓的離心率為，為橢圓的右焦點，橢圓外一點，直線的斜率為，為坐標原點.(1)求方程；(2)斜率為的直線過點且與相交于、兩點，求的面積.【答案】(1)(2)1【分析】（1）橢圓右焦點，由直線斜率得，由離心率得，再由求得，從而得橢圓方程；（2）設，，直線方程方程代入橢圓方程應用韋達定理得，由可得結論．【詳解】（1）設橢圓的右焦點，因為直線的斜率為，所以，解得.又橢圓的離心率為，即，可得.故的方程為.（2）設，，因為得，所以，則21．如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且是的中點.(1)求證:平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向為軸，求出對應點坐標，結合二面角夾角余弦公式即可求解.【詳解】（1）取的中點F，連接EF，，∵，∴，且，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；（2）取AC的中點O，以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，∴，.設平面的法向量是，則，即，令，得，易知平面的一個法向量是，∴，又二面角是鈍二面角，∴二面角的余弦值為.22．已知橢圓的一個頂點為，離心率為.(1)求橢圓的方