2022-2023學(xué)年山西大學(xué)附屬中學(xué)高二年級上冊學(xué)期1月期末考試 數(shù)學(xué)

山西大學(xué)附中2022—2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級1月階段測試數(shù)學(xué)試題考察時間：120分鐘滿分：150分考查內(nèi)容：解析幾何導(dǎo)數(shù)單選題（每小題5分，共40分）1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則（

）A．2 B．1 C．0 D．4．某放射性同位素在衰變過程中，其含量（單位：貝克）與時間（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中為時該同位素的含量.已知時，該同位素含量的瞬時變化率為，則（

）A．24貝克 B．貝克 C．1貝克 D．貝克5．設(shè)橢圓離心率為，雙曲線的漸近線的斜率小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A．B． C． D．6.設(shè)定義在上的函數(shù)，滿足任意，都有，且時，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．7．1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章，人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動定律．衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等．設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為，，下列結(jié)論錯誤的是（

）．A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時間C．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時最大D．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁8．若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，且存在唯一的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（每小題滿分5分，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選或不選的得0分）9．函數(shù)的定義域?yàn)椋膶?dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論正確的是（

）A．在上函數(shù)為增函數(shù) B．在上函數(shù)為增函數(shù)C．在上函數(shù)有極大值 D．是函數(shù)在區(qū)間上的極小值點(diǎn)10．給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（

）A．B．C．D．11．直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點(diǎn)，則的可能取值為（

）A．B．C．D．12．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點(diǎn)為，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．與之間的距離為4三、填空題全科試題免費(fèi)下載公眾號《高中僧試題下載》（每小題5分，共20分）13．橢圓的長軸長為________.14．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為________.15．已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.16．已知，若對于任意的，不等式恒成立，則的最小值為________.解答題（17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17．已知在時有極值0.（1）求常數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的焦點(diǎn)為、，實(shí)軸長為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且恰好為線段的中點(diǎn)，求直線的方程及弦的長.19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：；（2）討論的單調(diào)性.20．在新冠肺炎疫情期間，口罩是必不可少的防護(hù)用品．某小型口罩生產(chǎn)廠家為保障抗疫需求，調(diào)整了口罩生產(chǎn)規(guī)模．已知該廠每月生產(chǎn)口罩的固定成本為1萬元，每生產(chǎn)萬件，還需投入萬元的原材料費(fèi)，全部售完可獲得萬元，當(dāng)月產(chǎn)量不足5萬件時，；當(dāng)月產(chǎn)量不低于5萬件時，，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩當(dāng)月可以全部售完．（1）求月利潤（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)關(guān)系式，并求出月產(chǎn)量為3萬件時，該廠這個月生產(chǎn)口罩所獲得的利潤；（2）月產(chǎn)量為多少萬件時，該口罩生產(chǎn)廠家所獲得月利潤最大？最大約為多少萬元？（精確到）參考數(shù)據(jù)：．21．已知函數(shù).（1）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足．記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別是，．證明：直線過定點(diǎn)．

山西大學(xué)附中2022—2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級1月階段測試單選題（每小題5分，共40分）1-:BBDB9.AC10.AD:BBDB9.AC10.AD9.AC10.AD11.AD12.ABC三、填空題（每小題5分，共20分）13．橢圓的長軸長為______．【答案】414．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為______.【答案】【詳解】由函數(shù)可得，故在點(diǎn)處的切線的斜率為，故切線方程為，即，故答案為：.15．已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【變式詳解】的定義域?yàn)椋?要使函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，只需有兩個不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反.由得，.令，，要使函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，只需和有兩個交點(diǎn).，令得：x>1；令得：0<x<1；所以在上單減，在上單增.當(dāng)時，；當(dāng)時，；作出和的圖像如圖，所以即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：16．已知，若對于任意的，不等式恒成立，則的最小值為______.全科試題免費(fèi)下載公眾號《高中僧試題下載》【答案】原題：已知，若對于任意的，不等式恒成立，則的最小值為______.【原題詳解】令，，∴在上單調(diào)遞增.∵，，∴，∴恒成立，令，只需，，∴單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減，時，的最大值為，∴，∴的最小值為.故答案為：解答題（17題10分，其余每題12分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知在時有極值0.（1）求常數(shù)，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【詳解】（1），可得，-------1分由題時有極值0.可得：即-------3分解得：或，當(dāng)時，單調(diào)，不會有極值，故舍去.經(jīng)驗(yàn)證成立；-------5分（2）由（1）可知，，，增減增所以函數(shù)在和遞增，遞減.-------7分且，，，，-------9分可得值域?yàn)?-------10分18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的焦點(diǎn)為、，實(shí)軸長為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且恰好為線段的中點(diǎn)，求直線的方程及弦的長.【詳解】：（1）根據(jù)題意，焦點(diǎn)在軸上，且，，所以，-------3分雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；-------4分（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且恰好為線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，則由雙曲線對稱性可知線段的中點(diǎn)在軸上，所以不滿足題意；-------5分當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為，設(shè)，，則，化簡可得，-------6分因?yàn)橛袃蓚€交點(diǎn)，所以化簡可得恒成立，-------8分因?yàn)榍『脼榫€段的中點(diǎn)，則，化簡可得，-------9分所以直線方程為，即.-------10分此時，∴．-------12分19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，證明：；(2)討論的單調(diào)性.【詳解】：（1）當(dāng)時，令，-------1分，-------2分可得時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，-------3分時，函數(shù)取得極小值即最小值，．-------4分∴，即-------5分（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，?------7分當(dāng)時，時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；-------9分時，，，此時函數(shù)在單調(diào)遞增；-------10分時，時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減．-------12分綜上，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；20．在新冠肺炎疫情期間，口罩是必不可少的防護(hù)用品．某小型口罩生產(chǎn)廠家為保障抗疫需求，調(diào)整了口罩生產(chǎn)規(guī)模．已知該廠每月生產(chǎn)口罩的固定成本為1萬元，每生產(chǎn)x萬件，還需投入萬元的原材料費(fèi)，全部售完可獲得萬元，當(dāng)月產(chǎn)量不足5萬件時，；當(dāng)月產(chǎn)量不低于5萬件時，，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩當(dāng)月可以全部售完．(1)求月利潤（萬元）關(guān)于月產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)關(guān)系式，并求出月產(chǎn)量為3萬件時，該廠這個月生產(chǎn)口罩所獲得的利潤；(2)月產(chǎn)量為多少萬件時，該口罩生產(chǎn)廠家所獲得月利潤最大？最大約為多少萬元？（精確到）參考數(shù)據(jù)：．【詳解】：（1）當(dāng)時；-------1分

當(dāng)時，------2分

故月利潤y關(guān)于月產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為-------3分當(dāng)時，-------4分故月產(chǎn)量為3萬件時，該廠這個月生產(chǎn)口罩所獲得的利潤為7.5萬元．-------5分(2)當(dāng)時，，故時，取得最大值，最大值為8萬元；-------7分

當(dāng)時，，．故時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，-------9分故當(dāng)時，取得最大值，且．-----10分

因?yàn)?，所以?dāng)月產(chǎn)量約為8萬件時，該口罩生產(chǎn)廠家所獲得月利潤最大，最大月利潤約為8.9萬元．-------12分21．已知函數(shù).（1）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）依題，故，在上是增函數(shù)，在上恒成立.-------2分即：在上恒成立.設(shè)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減；在在上單調(diào)遞增

-------4分

即的取值范圍為：-------5分（2）當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且.-------6分因?yàn)?，所以，則不等式可化為，-------7分即.令，因?yàn)?，則問題等價于函數(shù)在上單調(diào)遞增，-------8分即在上恒成立，即，.-------9分令，，則.令，解得，所以當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，且，所以當(dāng)時，，-------11分所以.-------12分22．已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足．記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別是，．證明：直線過