2009數(shù)一真題、標(biāo)準(zhǔn)答案及解析

x0fxxsinaxgxx2ln1bx等價(jià)無窮小，則 (A)a1,b (B)a1,b 6 6(C)a1,b (D)a1,b 1111如圖，正方形x,yx1,y1被其對角線劃分1111四個(gè)區(qū)域Dk1,2,3,4，I ycosxdxdy，則maxI

1k (A)I1 (B)I2 (C)I3 (D)I4x設(shè)函yfx在區(qū)間13上的圖ff121123x則函Fx0ftdt的圖形xff1O-123-f121231 ff12123-f11O123 設(shè)有兩個(gè)數(shù)列an,bn，若liman0n （A）當(dāng)bn收斂時(shí)，anbn收斂 （B）當(dāng)bn發(fā)散時(shí)，anbn發(fā)散 (C)當(dāng)b收斂時(shí)，a2b2收斂 (D)當(dāng)b發(fā)散時(shí)，a2b2 n

n

n設(shè),,3R3的一組基，則由基11 12,23,31 1

1 0

23

3

3 3 1 1 6 2(C)

1

(D)

1 1 6

4

4 1

1 6 6 AB2A*B*A,BA2,B3 A 矩陣 3B* 2B*A B 2 O O 3A* 2A*C D O Ox12 ，其中x為標(biāo)準(zhǔn)2 (A)0 設(shè) 量X與Y相互獨(dú)立，且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N0,1，Y的概率分布PY0PY11，記FZz為 量ZXY的分布函數(shù)則函數(shù)FZz2 二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分2設(shè)函數(shù)fu,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，zfx,xy，則xy 微分方程yayby0的通解為yCCxex，則 方程yaybyx滿足條件y02,y00的解為y L 2，則xds L設(shè)x,y,zx2y2z21，則z2dxdydz 若3維列向量,滿足T2，其中T為的轉(zhuǎn)置，則矩陣T的非零特征值 ,均值和樣本方差.若XkS2為np2的無偏估計(jì)量，則k 三、解答題：15~23小題，共94分（15（f(xyx22y2ylny的極值（16（na為曲線yxnyxn1n12所圍成區(qū)域的面n S1anS2a2n1S1S2的值

是橢x2y21x軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面

是過 y4,0且與橢圓x y2 相切的直線 軸旋轉(zhuǎn)而成 S1S2的方S1S2之間的立體體積（18（證 日中值定理：若函數(shù)fx在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則存ab，使fbfafb證明：若函數(shù)fxx0處連續(xù)，在0,0內(nèi)可導(dǎo)，且

fxA則f0存在，且f0A19（

xdydzydzdx3x2y2z23

，其中2x22y2z24的外側(cè)（20（ 設(shè)A 1，1 2

2 （I）A的.A2的所有向量 （II）對（Ⅰ）中的任意向量23證明123無關(guān)（21）（11分）fxxxax2ax2a1x22xx2x 1 2f fy2y2，求a 22（兩次，每次取一球，以X,Y,Z分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù).（Ⅰ）pX1Z求二維 量X,Y概率分布（23）（11分）X的概率密度為

2xex,xf(x)0,

(Ⅰ)求參數(shù)的矩估計(jì)量；（Ⅱ）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量x0fxxsinaxgxx2ln1bx等價(jià)無窮小，則 a1,b 6 6(C)a1,b (D)a1,b f(xxsinaxg(x)x2ln(1bxlimf(x)limxsin xsinax洛lim1acosax洛lima2sinx0 x0x2ln(1 x0x2 lima2sinaxa31x06b a

a3 另外lim1acosax存在，蘊(yùn)含了1acosax0x0故a 排除 所以本題選1111D1D如圖，正方形x,yx1,y1被其對角1111D1D四個(gè)區(qū)域Dk1,2,3,4，I ycosxdxdy，則maxI

1k I1 (B)

(C)

(D)I4xD2D4xf(xyycosxf(xyI2I40D1D3yf(xyycos(xycosxf(xy關(guān)于x的偶函數(shù)，所以I1 ycosxdxdy0(x,y)I3 ycosxdxdy0.所以正確答案為(x,y)y設(shè)函yfx在區(qū)間13上的圖形為ff121123x則函Fx0ftdt的圖形xff1O-123x-f12123- ff12123-f11O123 【答案】yf(xxyx0,1F(x)0，且單調(diào)遞減x12F(x)單調(diào)遞增x23F(x)為常函數(shù)x10F(x)0為線性函數(shù)，單調(diào)遞增設(shè)有兩個(gè)數(shù)列an,bn，若liman0 （A）當(dāng)bn收斂時(shí)，anbn收斂 （B）當(dāng)bn發(fā)散時(shí)，anbn發(fā)散 (C)當(dāng)b收斂時(shí)，a2b2收斂 (D)當(dāng)b發(fā)散時(shí)，a2b2 n

n

n【答案】n舉反例：（A）ab1)nn 11（B）取anbn1（D）

bn故答案為方法二：因?yàn)閘iman0,則由定義可知N1nN1an又因?yàn)?/p>

收斂，可得limnn

0,則由定義可知N2nN2bnnNNa2b2b，則由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法可知a2b2收斂 n 設(shè),,3R3的一組基，則由基11

n 12,23,31 1

1 0

23(A) 0 (B) 3

3 3 1 1 6 2(C)

1

1 6

4

4 1

1 6 6 【答案】【解析】因?yàn)?,2,L,n1,2,L,nAA稱為基1,2,L,n到1,2,L的過渡矩陣 則由基

22

3到12,23,31的過渡矩M3,,,1,1 12233 ,1,1 1

3

3AB2A*B*A,B A 矩陣 3B* 2B*A B 2 O O 3A* 2A*C D

A2,B3 O【答案】

O【解析】根據(jù)CCCE，若CCC1,C11 A 分塊矩陣 O的行列式 O

AB236 A A A B1 1B 6 6 O 0 O O 1 1B 2B6 O

O 故答案為

x12 ，其中x為標(biāo)準(zhǔn)2 (A)0 【答案】x12 2 Fx0.3x0.7x12 2 EXxFxdx

x0.3 x1 20.3xxdx

xx1

2 xxdx0，xx1 x1u

2u1udu 2 EX00.3520.7設(shè) 量X與Y相互獨(dú)立，且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N0,1，Y的概率分布1PY0PY1 ，記FZz為 量ZXY的分布函數(shù)，則函數(shù)FZz12 【答案】FZ(z)P(XYz)P(XYzY0)P(Y0)P(XYzY1)P(Y1[P(XYzY0)P(XYzY1)]1[P(X0zY0)P(XzY1)]QX,Y

(z)1[P(X0z)P(Xz)]11（1）z0FZ(z211（2）z0FZ(z2(1z0為間斷點(diǎn)，故選二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上2設(shè)函數(shù)fu,v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，zfx,xy，則xy xf"f 2 xf1f2yxyxf12f2yxf22xf12f2xyf22 微分方程yayby0的通解為yCCxex，則 方程yaybyx滿足條件y02,y00的解為y yxexx2yccx)ex，得1a2,b y''2y'yy*AxByAA2AAxB2B0,B 特解y*x y(ccx)exx 把y(0) ，y'(0)0代入，得c10,c2yxexx

2，則Lxds 62【解析】由題意可知，xx,yx2,0x ，2ds x2y2dx 14x2dx所以xds

x14x2dx1214x2d14x22L18

81414x2206設(shè)x,y,zx2y2z21，則z2dxdydz 4 2dcos2dcos1 2cos31d4 0 z2dxdydz1x2y2z2dxdydz1d2d1r4sin 3 3 2sind1r4dr21sind 若3維列向量,滿足T2，其中T為的轉(zhuǎn)置，則矩陣T的非零特征值 【答案】【解析】QTTT2 T的非零特征值為值和樣本方差.若XkS2為np2的無偏估計(jì)量，則k E(XkX2)npknp(1p)1k(1p)k(1p)pk三、解答題：15~23小題，共94分（15（f(xyx22y2ylny的極值fx(x,y)2x(2y2)fy(x,y)2x2ylny11x0,yef2(2y2),f2x21,f 則f 12(21)，f 0，f eexx(0, ee

xy(0,e

yy(0,1eQf0而f)2ff xx

f(0,

1) )（16（na為曲線yxnyxn1n12,所圍成區(qū)域的面n S1anS2a2n1S1S2的值 n2 所以an0(x )dx(n

n

n n 從而S1anlimanlim( L - )l N N N1N N N S

1 11L1 )1111 n1 1 (n1)由ln(1+x)=x-2

L x1nln(2)1(111L)1S2S21ln2

是橢x2y21x軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面

是過 y4,0且與橢圓x y2 相切的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成 S1S2的方S1S2之間的立體體積

x y2

1 過點(diǎn)4,0與 1的切線為y x2 Sy2z21x2 （II）S1S2之間的體積等于一個(gè)底面半徑

2

4積V之差，其中V32(4x2)dx5.954 （18（證 日中值定理：若函數(shù)fx在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則存ab，使fbfafb證明：若函數(shù)fxx0處連續(xù)，在0,0內(nèi)可導(dǎo)，且

fxA則f0存在，且f0A【解析】（Ⅰ）作輔助函數(shù)(xf(xf(a

f(b)fb

(xa，易驗(yàn)證(x)(a(b)(x)在閉abab'(x)f'(x)

f(b)f.b根 定理，可得在a,b內(nèi)至少有一點(diǎn)，使'()0， f'()f(b)f(a)0,f(b)f(a) b

0（Ⅱ）任取x0(0,)，則函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間0,x0上連續(xù)，開區(qū)間0,x0內(nèi)可導(dǎo)， 日中值定理可得：存在x0,x00,，使得0 ……xf' f(x0) ……x 00f'0

fxA，對上式（*式）兩x0時(shí)的極限0f(x0)ff(x0)ff'x0x0x0x f0)f0)A19（

xdydzydzdx3x2y2z23

，其中2x22y2z24的外側(cè)xdydzydxdz I

，其中2x2yz(x2y2z2Q

y2z2 x

)3/

)

x2z22(x2y2z2)5/2,y(x2y2z2)3/ )

x2y2(x2y2z2)5/2,z(x2y2z2)3/①+②+③= )x(x2y2z2

)y(x2y2z2

z(x2y2z2

):x2y2z2R2.0R1 xdydzydxdz xdydzydxdz 43 (x2y2z2 3R

R3

3dV

（20（ 設(shè)A 1

1 1 （I）A的.A2的所有向量 （II）對（Ⅰ）中的任意向量23證明123無關(guān)

1 1 11

1

1 22 1 0 x1x20x31 0

，其k1為任意常數(shù).解方程A231A2

2 2 0 0 2 0 012A2, 1 0 2 0 x1A2x0x1,x12

12求特解200 0

故3k210 0

，其k2為任意常數(shù)

122k2122 由于

2kk(2k1)(k

)2k(k

)k(2k1 2k1

1 12

故

線性無關(guān)（21）（11分）fxxxax2ax2a1x22xx2x 1 2f fy2y2，求a 1

a