2022-2023學(xué)年山東省滕州市重點(diǎn)中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

滕州市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題(本題8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知三棱錐中，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且，，，則（

）A．B．C．D．2．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)A到平面的距離是（

）A． B． C． D．3．已知是拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若是圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．64．?dāng)?shù)列滿足：首項(xiàng)，，則下列說法正確的是（）A．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列B．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列C．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)分別加4后構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列D．該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)分別加4后構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列5．已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列.令，則數(shù)列的前50項(xiàng)和（

）A． B． C． D．6．已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切7．已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（

）A．B．C． D．8．設(shè)，分別為雙曲線：的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點(diǎn)，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．二、多選題(在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選錯(cuò)得0分)9．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且S7＜S8，S8＝S9＞S10，則下列結(jié)論正確的是（

）A．d＜0 B．a(chǎn)9＝0 C．S11＞S7 D．S8、S9均為Sn的最大值10．已知曲線的方程為．（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線是半徑為2的圓B．當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，其漸近線方程為C．存在實(shí)數(shù)，使得曲線為離心率為的雙曲線D．“”是“曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的必要不充分條件11．“臉譜”是戲曲舞臺(tái)演出時(shí)的化妝造型藝術(shù)，更是中國(guó)傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C．半圓的方程為，半橢圓的方程為．則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)A在半圓上，點(diǎn)B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6B．曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值與最小值之和為7C．若，P是半橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則cos∠APB的最小值為D．畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點(diǎn)都在與橢圓同中心的圓上．稱該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A，那么半橢圓擴(kuò)充為整個(gè)橢圓：后，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為12．在《九章算術(shù)》中，底面是直角三角形的直三棱柱被稱為“塹堵”.如圖，在塹堵中，是的中點(diǎn)，，若平面α過點(diǎn)P，且與平行，則（

）A．異面直線與所成角的余弦值為B．三棱錐的體積是該“塹堵”體積的C．當(dāng)平面α截棱柱的截面圖形為等腰梯形時(shí)，該圖形的面積等于D．當(dāng)平面α截棱柱的截面圖形為直角梯形時(shí)，該圖形的面積等于三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則______.（其中為正整數(shù)）（2）．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則的重心到直線BN的距離為___________.（3）．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是_________.（4）．已知橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率e的最大值為___________.四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)14．已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為10，且是等比數(shù)列的前3項(xiàng)．(1)求；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和．15.如圖，在三棱錐中，底面.點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，.(1)求證：//平面；(2)求直線與平面的夾角的正弦值；(3)求點(diǎn)A到平面的距離.16．已知直線與圓交于兩點(diǎn)．(1)求出直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)用點(diǎn)斜式寫出直線方程，并求直線的斜率k的取值范圍；(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請(qǐng)說明理由．17．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，點(diǎn)在線段上，平面.(1)求證：為的中點(diǎn)；(2)求二面角的大??；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，的周長(zhǎng)為6．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，過分別作直線的垂線，垂足為與軸的交點(diǎn)為．若四邊形的面積是面積的3倍，求直線斜率的取值范圍.滕州市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題參考答案：1．D【詳解】.故選：D.2．C【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，則平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)A到平面的距離.故選：C3．D【詳解】拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線方程是，PH與準(zhǔn)線的交點(diǎn)是，圓C的半徑為，圓心為，依題意作下圖：由圖可知：，，當(dāng)C，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，的最小值是6；故選：D.4．D【詳解】已知數(shù)列滿足，則，，，，，對(duì)于A，，即，所以該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列不成立，，即，所以該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列不成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即，所以該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列不成立，，即，所以該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列不成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，所以該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)分別加4后構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，由可得，所以，所以即是公比為2的等比數(shù)列，則該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)分別加4后構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，D選項(xiàng)正確；故選：D.5．D【詳解】因?yàn)?，，，由題意得，解得，所以，則，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算以及裂項(xiàng)相消法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.6．D【分析】分別將兩圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心距并和兩半徑差與和相比較即可求解.【詳解】因?yàn)閳A可化為：，圓心坐標(biāo)為，半徑；圓可化為：，圓心坐標(biāo)為，半徑；圓心距，因?yàn)椋詧A與圓內(nèi)切，故選：.7．B【分析】計(jì)算，再考慮和兩種情況，得到傾斜角范圍.【詳解】，則，設(shè)直線的傾斜角為，故，所以當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角；綜上所述：直線的傾斜角故選：B8．D【分析】聯(lián)立與求出，進(jìn)而的正切可求，得出的關(guān)系，從而進(jìn)一步解出答案.【詳解】依題意得,以線段為直徑的圓的方程為,雙曲線的一條漸近線的方程為.由以及解得或不妨取,則.因?yàn)?所以,又,所以,所以,所以該雙曲線的離心率.故選：D.9．ABD【分析】由題意可得數(shù)列的前8項(xiàng)為正數(shù)，第9項(xiàng)為0，從第10項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，各個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得答案．【詳解】解：∵S7＜S8，∴a8>0,∵S8＝S9，∴a9＝0,則a9-a8＝d＜0，故選項(xiàng)A，B正確；S11－S7＝＝11a1＋55d－7a1－21d＝4a1+34d＜0，∵a9＝a1+8d＝0，∴a1＝－8d∴4a1+34d＝－32d+34d＝2d＜0∴S11＜S7，故C錯(cuò)誤．易知數(shù)列的前8項(xiàng)為正數(shù)，第9項(xiàng)為0，從第10項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.10．ABD【解析】A.由得到曲線方程判斷；B.由得到曲線方程判斷；C.根據(jù)曲線為離心率為的雙曲線，則由判斷；D.利用充分和必要條件的定義判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，曲線方程為，所以是半徑為2的圓，故正確；B.當(dāng)時(shí)，曲線方程為，所以是雙曲線，且其漸近線方程為，故正確；C.若曲線為離心率為的雙曲線，則，方程無解，故錯(cuò)誤；D.當(dāng)時(shí)，，曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故不充分，當(dāng)曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓時(shí)，則，解得，故必要，故正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線與方程，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．ABD【分析】選項(xiàng)A，易得，，從而判斷；選項(xiàng)B根據(jù)橢圓的性質(zhì)解決橢圓中兩點(diǎn)間距離問題；選項(xiàng)C由橢圓定義可得到|PA|、|PB|之和為定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘積的最大值，結(jié)合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；選項(xiàng)D中分析蒙日?qǐng)A的關(guān)鍵信息，圓心是原點(diǎn)，找兩條特殊的切線，切線交點(diǎn)在圓上，求得圓半徑得圓方程．【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)A在半圓上，點(diǎn)B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，則，，則，當(dāng)位于橢圓的下頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以△OAB面積的最大值為6，故A正確；對(duì)于B，半圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離都是，半橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，所以曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確；對(duì)于C，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，在△PAB中，，由余弦定理知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以cos∠APB的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意知：蒙日?qǐng)A的圓心O坐標(biāo)為原點(diǎn)(0，0)，在橢圓：中取兩條切線：和，它們交點(diǎn)為，該點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，半徑為此時(shí)蒙日?qǐng)A方程為：，故D正確．故選：ABD．12．ABC【分析】利用坐標(biāo)法及線線角的向量求法可判斷A，根據(jù)錐體的體積公式可判斷B，作出平面α截棱柱的截面圖形結(jié)合條件可得截面的面積判斷CD.【詳解】對(duì)于A，由題可知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故A正確；對(duì)于B，，，所以B正確；對(duì)于C，如圖，，，分別為的中點(diǎn)，則，，，，，所以，共面，又，平面，平面，所以平面，則四邊形為平面α截棱柱的截面圖形，所以四邊形是等腰梯形，且高為，當(dāng)不是中點(diǎn)時(shí)，不平行平面，則四邊形不是梯形，等腰梯形有且僅有一個(gè)，，所以C正確；對(duì)于D，如圖，分別為的中點(diǎn)，則，，，，所以，同理可得四邊形為平面α截棱柱的截面圖形，由題可知平面，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以，故四邊形是直角梯形，當(dāng)不是中點(diǎn)時(shí)，不平行平面，則四邊形不是梯形，直角梯形有且僅有一個(gè)，其面積為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.13．（1）【分析】求出新等比數(shù)列的公比代入求和公式即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，，所以.則.故答案為：4.（2）．【分析】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由重心坐標(biāo)公式求得的重心的坐標(biāo)，用空間向量法求點(diǎn)到直線的距離．【詳解】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，設(shè)的重心是，則，，，即，，，，，，，則是銳角，，所以到直線的距離為．故答案為：．（3）．【分析】根據(jù)投影向量的定義，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角余弦值，進(jìn)而求即可.【詳解】，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：（4）．【分析】利用已知條件設(shè)出橢圓的左焦點(diǎn)，進(jìn)一步根據(jù)垂直的條件得到長(zhǎng)方形，則，再根橢圓的定義，由離心率的公式得到，即可求解答案.【詳解】已知橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B、F為其右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，所以四邊形為長(zhǎng)方形，根據(jù)橢圓的定義，且，則，所以，又由離心率的公式得，由，則，所以，即橢圓的離心率的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：把橢圓的離心率轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求解是解答的關(guān)鍵.14．(1)，(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比中項(xiàng)公式求得基本量，從而利用公式法依次求得；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用分組求和法與裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，則，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，整理得，又因?yàn)?，所以，?lián)立，解得，所以，又，，是等比數(shù)列，所以，則.（2）由（1）得，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.15．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由線線平行證MF平面、NF平面，即可依次證平面MNF平面、平面；（2）以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由向量法求線面角；（3）由向量法求與平面的夾角的正弦值，則點(diǎn)A到平面的距離為.【詳解】（1）證明：取AB中點(diǎn)F，連接MF、NF，∵是線段的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴MF平面.∵點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴NF平面.∵，∴平面MNF，∴平面MNF平面，∵平面MNF，∴平面.（2）∵底面，以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則有，設(shè)與平面所成角為，則直線與平面的夾角的正弦值為.（3）由（2）得，，設(shè)與平面所成角為，則點(diǎn)A到平面的距離為.16．(1)；(2)；；(3)為定值.【分析】（1）將直線方程整理后可得方程組，解方程組可求得定點(diǎn)坐標(biāo).（2）由（1）結(jié)合直線的點(diǎn)斜式寫出方程，再利用圓心到直線距離小于半徑求解即可.（3）設(shè)出直線的方程，與圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式求解作答.【詳解】（1）將直線方程整理為：，令，解得：，所以直線恒過定點(diǎn).（2）直線斜率為，由（1）得，直線的點(diǎn)斜式方程為：，即，圓：的圓心，半徑，因?yàn)橹本€與圓交于兩點(diǎn)，則圓心到直線距離，即，解得：，所以直線斜率的取值范圍為.（3）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，與圓僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，即有，則直線，令直線方程為，由得：，由（2）知：，，，因此，所以為定值.17．(1)詳見解析；(2)；(3)存在，或.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，進(jìn)而即得；（2）取的中點(diǎn)，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，然后利用坐標(biāo)法利用面面角的向量求法即得；（3）設(shè)，利用線面角的向量求法結(jié)合條件即得.【詳解】（1）設(shè)，連接，因?yàn)閭?cè)面為正方形，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)；（2）因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面，取的中點(diǎn)，則，由平面，平面，可得，又平面，平面，所以平面，如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，又平面的法向量可取，所以，所以二面角的大小為；（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，設(shè)，因?yàn)椋?，，又，所以，又平面的一個(gè)法向量為，所以，整理可得，解得或，所以在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，的值為或.18．(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意求出,再由即可寫出的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)的通項(xiàng)公式，找到其正負(fù)臨界的值