第一章函數(shù)與極限-運(yùn)算法則

無(wú)窮小的性質(zhì)極限的四則運(yùn)算法則

第五節(jié)極限運(yùn)算法則上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則

第一章

證明

設(shè)及是當(dāng)xx0時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小則

0

10當(dāng)0|xx0|1

時(shí)有||/2

20當(dāng)0|xx0|2

時(shí)有||/2

取

min{1

2}則當(dāng)0|xx0|時(shí)有這說(shuō)明

也是當(dāng)xx0時(shí)的無(wú)窮小||||||/2+/2

定理1

有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì)

僅就兩個(gè)xx0時(shí)的無(wú)窮小情形證明舉例:

當(dāng)x0時(shí)

x與sinx都是無(wú)窮小所以xsinx也是當(dāng)x0時(shí)的無(wú)窮小

下頁(yè)注意:無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!

設(shè)函數(shù)u在x0的某一去心鄰域{x|0|xx0|1}內(nèi)有界，即M0，使當(dāng)0|xx0|1時(shí)，有|u|M

又設(shè)是當(dāng)xx0時(shí)的無(wú)窮小，即0，存在20

使當(dāng)0|xx0|2時(shí)，有取min{1

2}，則當(dāng)0|xx0|

時(shí)，有這說(shuō)明u

也是當(dāng)xx0時(shí)的無(wú)窮小

證明

定理2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小

定理1

有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì)

下頁(yè)

分析當(dāng)x時(shí)分子及分母的極限都不存在故后面關(guān)于商的極限的運(yùn)算法則不能應(yīng)用

例

所以它是無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積.下頁(yè)(特點(diǎn):無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積=0).所以根據(jù)無(wú)窮小量的性質(zhì)知即是有界函數(shù),

解

因?yàn)?/p>

注意它的變形:如有界函數(shù)無(wú)窮小推論2

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小定理2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小

定理1

有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì)

推論1

常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小

首頁(yè)理解一個(gè)例子要做到四點(diǎn)：類型、方法、注意點(diǎn)、推廣。

(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB

推論1

如果limf(x)存在而c為常數(shù)則lim[cf(x)]=climf(x)

推論2如果limf(x)存在而n是正整數(shù)則lim[f(x)]n=[limf(x)]n定理3

如果limf(x)=Alimg(x)=B

那么下頁(yè)極限的四則運(yùn)算法則

(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB

數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則定理5

如果j(x)y(x)

而limj(x)=alimy(x)=b

那么ab

不等式定理4

設(shè)有數(shù)列{xn}和{yn}

如果那么下頁(yè)求極限舉例討論

提示

例1

解

下頁(yè)

例2

解

方法:用定理3中的公式(3).解

例3

下頁(yè)提問(wèn)方法:因式分解或有理化(含有根式)轉(zhuǎn)化為拓展題:

求解

原式方法:有理化.

解

例4

根據(jù)無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系得下頁(yè)因?yàn)樘釂?wèn)方法:先求其倒數(shù)的極限為0.討論

提示

當(dāng)Q(x0)P(x0)0時(shí)約去分子分母的公因式(xx0)下頁(yè)(1)(2)(3)

解

先用x3去除分子及分母然后取極限

例5

下頁(yè)特點(diǎn):型,且分子分母中的最高次冪相等.方法:分子分母同除以的最高次冪.下頁(yè)例5拓展題:求特點(diǎn):型,且分子分母中的最高次冪相等.先用x3去除分子及分母然后取極限

解:

下頁(yè)

例6

特點(diǎn):型,且分子<分母.方法:分子分母同除以的最高次冪.討論提示

例7

解

所以下頁(yè)特點(diǎn):型,且分子>分母.方法:先求其倒數(shù)(分子<分母)的極限為0.定理6(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)說(shuō)明

設(shè)函數(shù)yf[g(x)]是由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成

f[g(x)]在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義若g(x)u0(xx0)

f(u)A(uu0)

且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)u0

則

把定理中g(shù)(x)u0(xx0)換成g(x)(xx0或x)

而把f(u)A(uu0)換成f(u)A(u)可類似結(jié)果

下頁(yè)定理6(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)結(jié)束

設(shè)函數(shù)yf[g(x)]是由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復(fù)合而成

f[g(x)]在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義若g(x)u0(xx0)

f(u)A(uu0)

且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)u0

則

例8

解：

內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無(wú)窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母