實李代數(shù)完備化的若干條件

實李代數(shù)完備化的若干條件張磊，嚴再立

(寧波大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，浙江寧波315211)

1引言

如果一個李代數(shù)的中心為0，所有的導子都是它的內(nèi)導子，則稱其為完備李代數(shù).完備李代數(shù)的概念源于完備群的概念，第一次出現(xiàn)在導子塔定理[1]中，它的正式定義由Jacobson[2]在1962年給出.完備李代數(shù)是比半單李代數(shù)更廣泛的一類李代數(shù).特征零代數(shù)閉域上的半單李代數(shù)是完備李代數(shù).在上世紀九十年代，孟道驥和合作者[3-7]系統(tǒng)發(fā)展了復數(shù)域上完備李代數(shù)的理論，特別地，他們給出了復可解完備李代數(shù)的結(jié)構(gòu).

由于冪零李代數(shù)的中心不為0，因此冪零李代數(shù)不是完備李代數(shù).即使這樣，完備李代數(shù)和冪零李代數(shù)依然有著緊密的關(guān)聯(lián).如果冪零李代數(shù)是一個可解完備李代數(shù)的極大冪零理想(冪零根基)，則稱其為可完備化冪零李代數(shù).到目前為止，以下一些復冪零李代數(shù)是可完備化冪零李代數(shù).

(i)交換李代數(shù)和海森堡代數(shù)[3]；

(ii)半單李代數(shù)的Borel子代數(shù)的極大冪零理想[4]；

(iii)具有極大秩的冪零李代數(shù)[5]；

(iv)Quasi-Heisenberg代數(shù)和一些兩步冪零李代數(shù)[7-8]；

(v)某些filiform李代數(shù)[9]；

(vi)某些Quasi-filiform李代數(shù)[10].

至今為止，對完備李代數(shù)的研究主要集中在復完備李代數(shù)，對實完備李代數(shù)的研究還比較少.本文主要研究實完備李代數(shù)的結(jié)構(gòu)，證明實李代數(shù)是完備李代數(shù)當且僅當其復化李代數(shù)是完備李代數(shù).

2基礎(chǔ)知識及主要定理

為介紹本文的一些定理及其證明，需要回顧李代數(shù)的基本定義和一些相關(guān)知識.

定義1設(shè)L是復數(shù)域上的有限維向量空間，并且假設(shè)在L中定義一種運算L×L→L，即在L中任意取兩個元素x,y都有唯一的元素與之對應(yīng)，表示為(x,y)[x,y]，稱為x和y的李括號，如果滿足以下條件，則稱L為復數(shù)域上的李代數(shù).

(L1)這個括號運算是雙線性的，即對于任意的x1,x2,y∈及任意復數(shù)a1,a2都有

[a1x1+a2x2,y]=a1[x1,y]+a2[x2,y]；

(L2)[x,x]=0，對于任意的x∈L；

(L3)[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，對于任意的x,y,z∈L.

有了李代數(shù)的定義之后可以回顧可解李代數(shù)和冪零李代數(shù)的概念，設(shè)L的一個理想序列

L(0)=L,L(1)=[L,L],L(2)=[L(1),L(1)],…,L(i)=[L(i-1),L(i-1)],….

如果存在一個正整數(shù)n使得L(n)=0，則稱L是可解李代數(shù).類似地設(shè)L的一個降中心理想序列

L0=L,L1=[L,L],L2=[L,L1],…,Li=[L,Li-1],….

如果存在n使得Ln=0，則稱L是冪零李代數(shù).注意到L(i)?Li對于所有的i都成立，因此所有的冪零李代數(shù)都是可解李代數(shù).

設(shè)D是李代數(shù)L的一個線性變換，如果D有

D([x,y])=[Dx,y]+[x,Dy],?x,y∈L,

則稱D為L的一個導子.導子的概念在[12-13]中也涉及到.設(shè)A∈L，記伴隨變換adA:L→L為

adA(X)=[A,X],?X∈L,

易知adA是L上的線性變換且滿足條件

adA[X,Y]=[adA(X),Y]+[X,adA(Y)],?X,Y∈L.

adA是由A誘導出的D的內(nèi)導子.記李代數(shù)L上所有導子的集合為Der(L)，所有內(nèi)導子的集合為adL.

另外再記李代數(shù)L的中心為C(L)={z∈L|[x,z]=0,?x∈L}.有了導子、內(nèi)導子和中心的定義就可以引出完備的定義.

定義2一個域上的李代數(shù)L，如果滿足

C(L)=0,Der(L)=adL,

則稱李代數(shù)L是完備李代數(shù).

在上世紀90年代，孟道驥研究了復完備李代數(shù)的一般理論，對復可解完備李代數(shù)做了一個完整的敘述[3-5].

假設(shè)n是一個復冪零李代數(shù)，h?Der(n)是n上的極大環(huán)面子代數(shù)，即由半單線性變換組成的極大交換子代數(shù).定義一個復可解李代數(shù)L=h⊕n，它的李括號運算為

[h1+x1,h2+x2]=h1(x2)-h2(x1)+[x1,x2]n,h1,h2∈h;x1,x2∈n.

定理1假設(shè)L是復可解完備李代數(shù)，則以下三條結(jié)論成立.

(i)L有分解L=h⊕n，其中h是L的極大交換子代數(shù)，n是L的極大冪零理想，即冪零根基.

(ii)adh在n上的限制adh|n是Der(n)的交換子代數(shù)，也是n上的極大環(huán)面子代數(shù).

(iii)h同構(gòu)于n上的一個極大環(huán)面子代數(shù).

本文主要證明以下兩個定理.

定理2一個實李代數(shù)L是完備李代數(shù)當且僅當L的復化李代數(shù)L是完備李代數(shù).

定理3一個實冪零李代數(shù)n是可完備化冪零李代數(shù)當且僅當n的復化冪零李代數(shù)n是可完備化冪零李代數(shù).

3定理2的證明

證(i)充分性.假設(shè)L是完備李代數(shù)，首先證明L的中心為0.反設(shè)L的中心不為0，即存在x1∈L，對于任意的x,y∈L有[x1,x]=0.對于[x+iy]∈L，有

[x1,x+iy]=[x1,x]+i[x1,y]=0.

由此可知L的中心不為0，這與條件L是完備李代數(shù)相矛盾，因此L的中心為0.

對于任意一個導子D∈Der(L)，定義一個線性映射D∈End(L)為

D(a+ib)=D(a)+iD(b),?a,b∈L.

(1)

對于任意的a1,a2,b1,b2∈L，利用(1)式可以得到

D([a1+ib1,a2+ib2])=D([a1,a2]-[b1,b2])+iD([a1,b2]+[b1,a2]).

(2)

另一方面，有

[D(a1+ib1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2+ib2)]

=[D(a1)+iD(b1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2)+iD(b2)]

=D([a1,a2]-[b1,b2])+iD([a1,b2]+[b1,a2]).

(3)

結(jié)合(2)和(3)兩個式子可以發(fā)現(xiàn)

D([a1+ib1,a2+ib2])=[D(a1+ib1),a2+ib2]+[a1+ib1,D(a2+ib2)].

由導子的定義可以得到D是L的一個導子.又由于L是完備李代數(shù)，存在一個元素M=m1+im2∈L滿足D=adM，其中m1,m2∈L.因此對于任意的a∈L，可以推出

D(a)=D(a)=adM(a)=[m1+im2,a]=[m1,a]+i[m2,a].

從而m2=0,D(a)=[m1,a]=adm1(a)，進而得出D=adm1，即D為L的內(nèi)導子.因此L是完備李代數(shù).

(ii)必要性.假設(shè)L是完備李代數(shù)，則L的中心為0，易知L的中心也為0.那么接下來只需要證明L的導子都是其內(nèi)導子.對于任意的導子D∈Der(L)，存在兩個線性映射D1,D2∈End(L)使得

D(a)=D1(a)+iD2(a),?a∈L.

(4)

對于任意的a,b∈L，由(4)可以推出

D([a,b])=[D(a),b]+[a,D(b)]=[D1(a)+iD2(a),b]+[a,D1(b)+iD2(b)]

=[D1(a),b]+i[D2(a),b]+[a,D1(b)]+i[a,D2(b)].

又由于

D([a,b])=D1([a,b])+iD2([a,b])，

可以得出

D1([a,b])=[D1(a),b]+[a,D1(b)],D2([a,b])=[D2(a),b]+[a,D2(b)].

這說明D1,D2都是L的導子.即存在X,Y∈L，使得D1=adX,D2=adY.將其代入(4)可知

D(a)=D1(a)+iD2(a)=adX(a)+iadY(a)=(adX+ad(iY))(a).

即D=ad(X+iY)，那么L的導子就是其內(nèi)導子，再根據(jù)L的中心為0可得L是完備李代數(shù).

4定理3的證明

證(i)必要性.假設(shè)n是實可完備化冪零李代數(shù)，也就是說，存在一個有極大冪零理想n的實可解完備李代數(shù)L.根據(jù)定理2可以直接得出，實可解完備李代數(shù)L的復化可解李代數(shù)L也是完備李代數(shù).注意到[L,L]?n，那么根據(jù)定理1，n是L的冪零根基.這就意味著n是一個可完備化冪零李代數(shù).

(ii)充分性.假設(shè)h是實冪零李代數(shù)n上的一個極大環(huán)面子代數(shù)，也就是由半單線性變換構(gòu)成的Der(n)的極大交換子代數(shù).令L=h⊕n為實可解李代數(shù)，

[h1+x1,h2+x2]=h1(x2)-h2(x1)+[x1,x2]n,h1,h2∈h;x1,x2∈n.

設(shè)L=h⊕n是L的復化可解李代數(shù).根據(jù)假設(shè)，n是可完備化冪零李代數(shù)，即存在一個復可解完備李代數(shù)s1=h1⊕n.注意到h是n的一個極大環(huán)面子代數(shù).根據(jù)文獻[11]，h和h1在Der(n)的內(nèi)自同構(gòu)下是共軛的.這說明李代數(shù)L同構(gòu)于完備李代數(shù)s1，因此L是完備李代數(shù).現(xiàn)在根據(jù)定理2，L是完備李代數(shù).因為n是L的冪零根基，所以n是實可