2019年全國卷3文數(shù)試題

絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合 A { 1,0,1,2}，B {xx2 1}，則A BA．1,0,1B．2．若z(1i)2i，則z=A．1iB．

0,1 C． 1,1 D． 0,1,21+i C．1 i D．1+i3．兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是1111A．B．C．D．64324．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著 .某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A．0.5B．0.6C．0.7D．0.85．函數(shù)f(x)2sinxsin2x在[0，2π]的零點(diǎn)個數(shù)為A．2B．3C．4D．56．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5=3a3+4a1，則a3=A．16B．8C．4D．27．已知曲線yaexxlnx在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則A．a(chǎn)=e，b=-1B．a(chǎn)=e，b=1C．a(chǎn)=e-1，b=1D．a(chǎn)=e-1，b18．如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則A．BM=EN，且直線BM、ENB．BM≠EN，且直線BM，ENC．BM=EN，且直線BM、END．BM≠EN，且直線BM，EN9．執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的

是相交直線是相交直線是異面直線是異面直線為0.01，則輸出s的值等于1B.211D.1A.225C.2224262710．已知F是雙曲線C：x2y21的一個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP=OF，則△OPF45的面積為3579A．B．C．D．2222xy?6,表示的平面區(qū)域?yàn)镈.命題p:(x,y)D,2x?y；命題11．記不等式組y02xq:(x,y)D,2xy,12.下面給出了四個命題①pq②pq③pq④pq這四個命題中，所有真命題的編號是A．①③B．①②C．②③D．③④12．設(shè)fx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在0,單調(diào)遞減，則1）＞f32A．f（log3（22）＞f（23）4231）＞f（2B．f（log33）＞f（22）3421）C．f（22）＞f（23）＞f（log32341）D．f（23）＞f（22）＞f（log3二、填空題：本題共4小題，每小題45分，共20分。13．已知向量a(2,2),b(8,6)，則cosa,b___________.14．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a35,a713，則S10___________.15．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C:x2y2.若△MF1F2為等腰三角形，+1的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限20則M的坐標(biāo)為___________.16．學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用 3D打印技術(shù)制作模型 .如圖，該模型為長方體 ABCD A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH 后所得的幾何體，其中 O為長方體的中心， E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________g.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同。經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 5.5”，根據(jù)直方圖得到 P（C）的估計(jì)值為0.70.1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.18．（12分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為 a、b、c，已知asinA C bsinA．2（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且 c=1，求△ABC面積的取值范圍．19．（12分）圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié) DG，如圖2.（1）證明圖 2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面 ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的四邊形 ACGD的面積.20．（12分）已知函數(shù)f(x)2x3ax22.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)0<a<3時(shí)，記f(x)在區(qū)間[0，1]的最大值為M，最小值為m，求Mm的取值范圍.21．（12分）已知曲線C：y=x2，D為直線y=1上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.22（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：（2）若以E(0，5)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程.2（二）選考題：共 10分。請考生在第 22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ]（10分）如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,)，D(2,)，弧AB，BC，CD所在圓44的圓心分別是(1,0)，(1,)，(1,)，曲線M1是弧AB，曲線M2是弧BC，曲線M3是弧CD.2（1）分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程；2由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|3，求P的極坐標(biāo).（）曲線M23．[選修4-5：不等式選講]（10分）設(shè)x,y,zR，且xyz1.（1）求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；（2）若(x2)2(y1)2(za)21成立，證明：a3或a1.32019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)·參考答案一、選擇題1．A2．D3．D4．C5．B6．C7．D8．B9．C10．B11．A12．C二、填空題13．215．(3,15)16．118.814．10010三、解答題17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．18．解：（1）由題設(shè)及正弦定理得sinAsinACsinBsinA．0，所以sinAC2因?yàn)閟inAsinB．2ACBBBB由ABC180，可得sin2cos，故cos2sincos．因?yàn)閏osB0，故sinB12222，因此B=60°．222（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積△3．SABCa4由正弦定理得acsinAsin120C31sinCsinC2tanC．21由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故a2，2從而3S△ABC3．82因此，△ABC面積的取值范圍是3,3．8219．解：（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．2）取CG的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，DM.因?yàn)锳B//DE，AB 平面BCGE，所以DE 平面BCGE，故DE CG.由已知，四邊形 BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM CG，故CG 平面DEM.因此DM CG.在Rt△DEM中，DE=1，EM=

3，故

DM=2.所以四邊形

ACGD的面積為

4.20.解：（1）f(x)6x22ax2x(3xa)．令f(x)0a，得x=0或x.3若a>0，則當(dāng)x(,0)a,時(shí)，f(x)0；當(dāng)x0,a時(shí)，f(x)0．故f(x)在33(,0),a,單調(diào)遞增，在0,a單調(diào)遞減；33若a=0，f(x)在(,)單調(diào)遞增；若a<0，則當(dāng)x,a(0,)時(shí)，f(x)0；當(dāng)xa,0時(shí)，f(x)0．故f(x)在33,a,(0,)單調(diào)遞增，在a,0單調(diào)遞減.33（2）當(dāng)0a3時(shí)，由（1）知，f(x)在0,a單調(diào)遞減，在a,1單調(diào)遞增，所以f(x)在[0,1]33的最小值為faa32，最大值為f(0)=2或f(1)=4a.于是327ma32，M4a,0a2,272,2a3.2aa3a2,,0所以Mm27a3a3.,227a3當(dāng)0a2時(shí)，可知2a單調(diào)遞減，所以Mm的取值范圍是8,2.2727當(dāng)2a3時(shí)，a3單調(diào)遞減，所以Mm的取值范圍是[8,1).2727綜上，Mm的取值范圍是[8,2).2721．解：（1）設(shè)Dt,1,Ax1,y1，則x122y1.2y11由于y'x，所以切線DA的斜率為2x1，故x1.tx1整理得2tx12y1+1=0.設(shè)Bx2,y2，同理可得2tx22y2+1=0.故直線AB的方程為2tx2y10.所以直線AB過定點(diǎn)(0,1).21（2）由（1）得直線AB的方程為ytx.2ytx12，可得x2由x22tx10.y2于是x1x22t,y1y2tx1x212t21.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則Mt,t21.2由于EMAB，而EMt,t22，AB與向量(1,t)平行，所以tt22t0.解得t=0或t.152當(dāng)t=0時(shí)，|EM|=2，所求圓的方程為x2y4；22當(dāng)t1時(shí)，|EM|2，所求圓的方程為x2y52.222.解：（1）由題設(shè)可得，弧AB,BC,CD所在圓的極坐標(biāo)方程分別為2cos，2sin，2cos.所以M1的極坐標(biāo)方程為2cos0π，M2的極坐標(biāo)方程為2sinπ3π，444M3的極坐標(biāo)方程為2cos3ππ.4（2）設(shè)P(,)，由題設(shè)及（1）知若0π3，解得π，則2cos；46若π3π3，解得π2π44，則2sin3或；3若3ππ，則2cos3，解得5π46.綜上，P的極坐標(biāo)為3,π或3,π或3,2π或3,5π.633623．解：（1）由于[(x1)(y1)(z1)]2(x1)2(y1)2(z1)22[(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)]3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)24，當(dāng)且僅當(dāng)x=5，y113，z時(shí)等號成立．333