第五章++隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第五章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望二、方差和標(biāo)準(zhǔn)差三、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)解平均射中環(huán)數(shù)平均射中環(huán)數(shù)頻率隨機(jī)波動隨機(jī)波動引例（射擊問題）1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望隨機(jī)波動穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值等于射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加當(dāng)n很大時(shí)，擊中k次的頻率接近于事件{X=k}的概率定義1.1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為為X的數(shù)學(xué)期望，亦稱為概率均值，簡稱均值或期望。關(guān)于定義的幾點(diǎn)說明(3)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與一般變量的算術(shù)平均值不同。(1)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均，與一般的平均值不同，它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值，故也稱均值。(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變，之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值，它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變。隨機(jī)變量X的算術(shù)平均值為假設(shè)它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的平均值。當(dāng)隨機(jī)變量X取各個(gè)可能值是等概率分布時(shí)，X的期望值與算術(shù)平均值相等。例1.1

X~B(n,p)，求E(X)。當(dāng)n=1，B(1,p)為(0–1)分布，此時(shí)E(X)=p解：pk=P{X=k}=Cnkpk(1–p)n–k

k=0,2,…,n(0<p<1)例1.2

X~P()，求E(X)。推廣：離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的期望例1.3設(shè)甲、乙兩射手在同樣條件下進(jìn)行射擊，其命中率如下表，試求E(X)、E(Y)、E(X2)、E(Y2)。例1.4設(shè)X的分布律如下表，試求Y=X2–1的期望。2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義1.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),若積分為X的數(shù)學(xué)期望,簡稱期望或均值。推廣：連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的期望例1.5設(shè)X~U(a,b)，試求E(X)，E(X2)。例1.6設(shè)X~E()，試求E(X)，E(X2)。例1.8游客乘電梯從底層到電視塔觀光,電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘,25分鐘,55分鐘從底層起行,假設(shè)一游客是在早上8點(diǎn)第X分鐘到達(dá)底層電梯處,且X在[0,60]上服從均勻分布,試求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。解：已知X~U[0,60]，其概率密度為再設(shè)Y={游客等候電梯的時(shí)間(分鐘)}，則有3、二維隨機(jī)變量的函數(shù)的期望注：對上二式中的級數(shù)與積分均要求絕對收斂。(2)設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),則函數(shù)Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為例1.10設(shè)(X,Y)的分布律為解：X的分布律為由于Y的分布律為例1.11設(shè)點(diǎn)(X,Y)在正方形D={(x,y)|0x1,0y1}上隨機(jī)取值,試求E(X2+Y2)。解:依題意,(X,Y)服從D上的均勻分布,D的面積為1,則其聯(lián)合概率密度為4、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1、(線性法則)設(shè)X為隨機(jī)變量,其期望為E(X),對任意常數(shù)a,b,有

E(aX+b)=aE(X)+b特別地,當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b,即常數(shù)的期望為其本身;當(dāng)b=0時(shí),E(aX)=aE(X)。2、(加法法則)設(shè)X,Y為隨機(jī)變量，同為離散型或連續(xù)型，則有

E(X+Y)=E(X)+E(Y)3、(乘法法則)設(shè)X,Y為同類型隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，則有

E(XY)=E(X)E(Y)推廣：若X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則

E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)例1.13將n個(gè)球隨機(jī)地放入M個(gè)盒子中，設(shè)每個(gè)球放入各個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望。方差概念的引入方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量取值分散程度的量，實(shí)例有兩批燈泡,其平均壽命都是E(X)=1000小時(shí).

二、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

1.1、方差的定義方差是反映數(shù)據(jù)疏散程度特征的量。方差大,說明數(shù)據(jù)疏散;方差小,說明數(shù)據(jù)集中。定義2.1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,若E{[X–E(X)]2}存在,則稱E{[X–E(X)]2}為X的方差,記為D(X)或Var(X),X2,即D(X)=Var(X)=X2=E{[X–E(X)]2}(2.1)顯然,D(X)0,可將D(X)開平方,此時(shí)稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。由方差的定義,可得:注1：(2.2)式稱為方差的計(jì)算公式，利用它有時(shí)可以簡化方差的計(jì)算。注2：若已知X的期望和方差，則X2的期望由(2.3)式給出。1.2、離散型隨機(jī)變量的方差計(jì)算若X為離散型隨機(jī)變量,其概率分布為

P{X=xk}=pk,k=1,2,…則由(2.1)式與(2.2)式可得X的方差為例2.1設(shè)甲、乙兩射手在同樣條件下進(jìn)行射擊,其命中率如下表,試求E(X),E(Y),D(X),D(Y)。

可見,E(X)>E(Y),且D(X)<D(Y),說明甲的成績優(yōu)于乙,且比乙更穩(wěn)定。例2.2

X~P()，求D(X)。1.3、連續(xù)型隨機(jī)變量的方差計(jì)算若X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x),則由(2.1)及(2.2)式,可得X的方差為例2.3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為試求E(X),D(X)。例2.4設(shè)X~U(a,b)，試求D(X)。例2.5設(shè)X~E()，試求D(X)。證明2、方差的簡單性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證明特別地(3)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,D(X),D(Y)存在,則證明推廣推廣：若X1,X2,…,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，a1,a2,…,an為任意常數(shù)，則有

例2.7

X~B(n,p)，求D(X)。解：先考慮n=1的情形，B(1,p)為(0–1)分布，此時(shí)P(X=1)=p分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布三、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)1、協(xié)方差1.1協(xié)方差定義定義3.1設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，稱

Cov(X,Y)=E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}為X與Y的協(xié)方差。協(xié)方差是反映X與Y相互關(guān)系的特征量。由方差定義與協(xié)方差定義可知：

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)證：D(X+Y)=E{[X+Y–E(X+Y)]2}=E{[(X–E(X))+(Y–E(Y))]2}=E{[X–E(X)]2}+E{[Y–E(Y)]2}+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X,Y)=E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}=E[XY–XE(Y)–YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)–E(X)E(Y)例3.1已知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為試求Cov(X,Y)。例3.2已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為試求Cov(X,Y)。例3.3已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為試求Cov(X,Y)。1.2、協(xié)方差的性質(zhì)例3.4已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為試求D(2X±3Y)。注：相關(guān)系數(shù)是反映X和Y相互關(guān)系的一個(gè)無量綱的特征量。定義3.2設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,D(X),D(Y),Cov(X,Y)分別為X,Y的方差與協(xié)方差,則稱為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)。2、相關(guān)系數(shù)2.1、相關(guān)系數(shù)定義例3.5已知(X,Y)的概率密度函數(shù)為試求XY2.2相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)注:|XY|=1,稱之為X與Y完全相關(guān),充要條件是存在常數(shù)a,b,使P{Y=aX+b}=1。10|XY|1于是XY成為一個(gè)表征X,Y間線性關(guān)系緊密程度的量,當(dāng)|XY|較大時(shí),表示X,Y線性相關(guān)程度較高,反之較低。20若X,Y相互獨(dú)立,且D(X),D(Y)>0,則XY=0。注:若X,Y的相關(guān)系數(shù)XY=0,則稱X與Y不相關(guān)。性質(zhì)2表明X,Y相互獨(dú)立時(shí),X與Y不相關(guān);反之,若X與Y不相關(guān),則X,Y不一定相互獨(dú)立(前面所舉反例或下例)。例3.6設(shè)X的分布律為但,當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時(shí),X,Y不相關(guān)與X,Y相互獨(dú)立是等價(jià)的。令Y=X2,顯然X與Y不獨(dú)立,但X與Y是不相關(guān)的解例3.7結(jié)論2.3協(xié)方差矩陣定義3.3若n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)各分量的協(xié)方差為n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣。注：由協(xié)方差的性質(zhì)知例3.7設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的協(xié)方差矩陣為試求X與Y的相關(guān)系數(shù)。期望、方差、協(xié)方差的性質(zhì)對比3、矩的概念注顯然，數(shù)學(xué)期望E(X)為一階原點(diǎn)矩，方差D(X)=E[(X–E(X))2]是二階中心矩。

n維正態(tài)隨機(jī)變量具有以下性質(zhì)20n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布的充要條件是:X1,X2,…,Xn的任意線性組合a1X1+a2X2+…+anXn服從一維正態(tài)分布,其中a1,a2,…,an為任意實(shí)數(shù)。10n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的每個(gè)分量Xi，i=1,…,n均為正態(tài)變量；反之，若X1,X2,…,Xn為相互獨(dú)立正態(tài)變量，則(X1,X2,…,Xn)是n維正態(tài)變量。30若(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布，設(shè)Y1,Y2,…,Yk是Xj(j=1,2,…,n)的線性函數(shù)，則(Y1,Y2,…,Yk)也服從多維正態(tài)分布。這一性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性。40設(shè)(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布，則“X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立”與“X1,X2,…,Xn兩兩不相關(guān)”是等價(jià)的。第四節(jié)中心極限