實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化復(fù)習(xí)課程

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱(duìchèn)矩陣的對(duì)角化對(duì)稱矩陣的性質(zhì)利用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化(jiǎohuà)的方法第一頁(yè)，共16頁(yè)。定理1對(duì)稱(duìchèn)矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證明(zhèngmíng)一、對(duì)稱矩陣(jǔzhèn)的性質(zhì)

第二頁(yè)，共16頁(yè)。于是(yúshì)有兩式相減，得第三頁(yè)，共16頁(yè)。定理(dìnglǐ)1的意義第四頁(yè)，共16頁(yè)。證明(zhèngmíng)于是(yúshì)第五頁(yè)，共16頁(yè)。證明(zhèngmíng)它們的重?cái)?shù)依次為根據(jù)(gēnjù)定理1（對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定理3(如上)可得：設(shè)的互不相等的特征值為第六頁(yè)，共16頁(yè)。由定理2知對(duì)應(yīng)(duìyìng)于不同特征值的特征向量正交，這樣的特征向量共可得個(gè).故這個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣，則第七頁(yè)，共16頁(yè)。根據(jù)上述結(jié)論，利用(lìyòng)正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：二、利用(lìyòng)正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.第八頁(yè)，共16頁(yè)。解例對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對(duì)角陣.(1)第一步求的特征值第九頁(yè)，共16頁(yè)。解之得基礎(chǔ)(jīchǔ)解系解之得基礎(chǔ)(jīchǔ)解系第十頁(yè)，共16頁(yè)。解之得基礎(chǔ)(jīchǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位(dānwèi)化第十一頁(yè)，共16頁(yè)。第十二頁(yè)，共16頁(yè)。第十三頁(yè)，共16頁(yè)。第十四頁(yè)，共16頁(yè)。于是(yúshì)得正交陣第十五頁(yè)，共16頁(yè)。1.對(duì)稱(duìchèn)矩陣的性質(zhì)：三、小結(jié)(xiǎojié)(1)特征值為實(shí)數(shù)；(2)屬于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)(duìyìng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)相等；(4)必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值．2.利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟：

(1)求特征