中國海洋大學(xué)計量經(jīng)濟學(xué)聯(lián)立方程計量經(jīng)濟模型理論及方法

第六章聯(lián)立方程計量經(jīng)濟模型理論方法

TheoryandMethodologyofSimultaneous-EquationsEconometricsModel§6.1聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的提出§6.2聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的基本概念§6.3聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的識別§6.4聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的估計§6.5聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的討論§6.1問題的提出一、經(jīng)濟研究中的聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)問題二、計量經(jīng)濟學(xué)方法中的聯(lián)立方程問題

⒈研究對象經(jīng)濟系統(tǒng)，而不是單個經(jīng)濟活動;

“系統(tǒng)”的相對性相互依存、互為因果，而不是單向因果關(guān)系;必須用一組方程才能描述清楚.

一、經(jīng)濟研究中的聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)問題

⒉一個簡單的宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)由國內(nèi)生產(chǎn)總值Y、居民消費總額C、投資總額I和政府消費額G等變量構(gòu)成簡單的宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)。將政府消費額G由系統(tǒng)外部給定，其他內(nèi)生。

在消費方程和投資方程中，國內(nèi)生產(chǎn)總值決定居民消費總額和投資總額；在國內(nèi)生產(chǎn)總值方程中，它又由居民消費總額和投資總額所決定。⒈隨機解釋變量問題

解釋變量中出現(xiàn)隨機變量，而且與誤差項相關(guān)。為什么？二、計量經(jīng)濟學(xué)方法中的聯(lián)立方程問題⒉損失變量信息問題

如果用單方程模型的方法估計某一個方程，將損失變量信息。為什么？⒊損失方程之間的相關(guān)性信息問題

聯(lián)立方程模型系統(tǒng)中每個隨機方程之間往往存在某種相關(guān)性。表現(xiàn)于不同方程隨機誤差項之間。如果用單方程模型的方法估計某一個方程，將損失不同方程之間相關(guān)性信息。

⒋結(jié)論必須發(fā)展新的估計方法估計聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型，以盡可能避免出現(xiàn)這些問題。這就從計量經(jīng)濟學(xué)理論方法上提出了聯(lián)立方程問題。

§6.2聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的若干基本概念

一、變量二、結(jié)構(gòu)式模型三、簡化式模型四、參數(shù)關(guān)系體系⒈內(nèi)生變量

（EndogenousVariables）對聯(lián)立方程模型系統(tǒng)而言，已經(jīng)不能用被解釋變量與解釋變量來劃分變量，而將變量分為內(nèi)生變量和外生變量兩大類。內(nèi)生變量是具有某種概率分布的隨機變量，它的參數(shù)是聯(lián)立方程系統(tǒng)估計的元素。內(nèi)生變量是由模型系統(tǒng)決定的，同時也對模型系統(tǒng)產(chǎn)生影響。內(nèi)生變量一般都是經(jīng)濟變量。一、變量一般情況下，內(nèi)生變量與隨機項相關(guān)，即

在聯(lián)立方程模型中，內(nèi)生變量既作為被解釋變量，又可以在不同的方程中作為解釋變量。⒉外生變量

(ExogenousVariables)外生變量一般是確定性變量，或者是具有臨界概率分布的隨機變量，其參數(shù)不是模型系統(tǒng)研究的元素。外生變量影響系統(tǒng)，但本身不受系統(tǒng)的影響。外生變量一般是經(jīng)濟變量、條件變量、政策變量、虛變量。一般情況下，外生變量與隨機項不相關(guān)。⒊先決變量（PredeterminedVariables）

外生變量與滯后內(nèi)生變量(LaggedEndogenousVariables)統(tǒng)稱為先決變量。滯后內(nèi)生變量是聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型中重要的不可缺少的一部分變量，用以反映經(jīng)濟系統(tǒng)的動態(tài)性與連續(xù)性。先決變量只能作為解釋變量。

⒈定義根據(jù)經(jīng)濟理論和行為規(guī)律建立的描述經(jīng)濟變量之間直接結(jié)構(gòu)關(guān)系的計量經(jīng)濟學(xué)方程系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)式模型。

結(jié)構(gòu)式模型中的每一個方程都是結(jié)構(gòu)方程（StructuralEquations）。各個結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)被稱為結(jié)構(gòu)參數(shù)（StructuralParametersorCoefficients）。二、結(jié)構(gòu)式模型

StructuralModel⒉結(jié)構(gòu)方程的方程類型

將一個內(nèi)生變量表示為其它內(nèi)生變量、先決變量和隨機誤差項的函數(shù)形式，被稱為結(jié)構(gòu)方程的正規(guī)形式。⒊完備的結(jié)構(gòu)式模型具有g(shù)個內(nèi)生變量、k個先決變量、g個結(jié)構(gòu)方程的模型被稱為完備的結(jié)構(gòu)式模型。在完備的結(jié)構(gòu)式模型中，獨立的結(jié)構(gòu)方程的數(shù)目等于內(nèi)生變量的數(shù)目，每個內(nèi)生變量都分別由一個方程來描述。

⒋完備的結(jié)構(gòu)式模型的矩陣表示習(xí)慣上用Y表示內(nèi)生變量，X表示先決變量，μ表示隨機項，β表示內(nèi)生變量的結(jié)構(gòu)參數(shù)，γ表示先決變量的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如果模型中有常數(shù)項，可以看成為一個外生的虛變量，它的觀測值始終取1。

⒌簡單宏觀經(jīng)濟模型的矩陣表示⒈定義用所有先決變量作為每個內(nèi)生變量的解釋變量，所形成的模型稱為簡化式模型。簡化式模型并不反映經(jīng)濟系統(tǒng)中變量之間的直接關(guān)系，并不是經(jīng)濟系統(tǒng)的客觀描述。三、簡化式模型

Reduced-FormModel由于簡化式模型中作為解釋變量的變量中沒有內(nèi)生變量，可以采用普通最小二乘法估計每個方程的參數(shù)，所以它在聯(lián)立方程模型研究中具有重要的作用。簡化式模型中每個方程稱為簡化式方程(Reduced-FormEquations)，方程的參數(shù)稱為簡化式參數(shù)(Reduced-FormCoefficients)。

⒉簡化式模型的矩陣形式

⒊簡單宏觀經(jīng)濟模型的簡化式模型⒈定義該式描述了簡化式參數(shù)與結(jié)構(gòu)式參數(shù)之間的關(guān)系，稱為參數(shù)關(guān)系體系。

四、參數(shù)關(guān)系體系⒉作用利用參數(shù)關(guān)系體系，首先估計簡化式參數(shù)，然后可以計算得到結(jié)構(gòu)式參數(shù)。從參數(shù)關(guān)系體系還可以看出，簡化式參數(shù)反映了先決變量對內(nèi)生變量的直接與間接影響之和，這是簡化式模型的另一個重要作用。

例如，在上述模型中存在如下關(guān)系：

Π21反映Yt-1對It的直接與間接影響之和；而其中的β2正是結(jié)構(gòu)方程中Yt-1對It的結(jié)構(gòu)參數(shù)，顯然，它只反映Yt-1對It的直接影響。在這里，β2是Yt-1對It的部分乘數(shù)，Π21反映Yt-1對It的完全乘數(shù)。注意：簡化式參數(shù)與結(jié)構(gòu)式參數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系?！?.3聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的識別

TheIdentificationProblem

一、識別的概念二、從定義出發(fā)識別模型三、結(jié)構(gòu)式識別條件四、簡化式識別條件五、實際應(yīng)用中的經(jīng)驗方法⒈為什么要對模型進行識別？從一個例子看:

消費方程是包含C、Y和常數(shù)項的直接線性方程。投資方程和國內(nèi)生產(chǎn)總值方程的某種線性組合（消去I）所構(gòu)成的新方程也是包含C、Y和常數(shù)項的直接線性方程。一、識別的概念如果利用C、Y的樣本觀測值并進行參數(shù)估計后，很難判斷得到的是消費方程的參數(shù)估計量還是新組合方程的參數(shù)估計量。只能認(rèn)為原模型中的消費方程是不可估計的。這種情況被稱為不可識別。只有可以識別的方程才是可以估計的。

⒉識別的定義

3種定義：“如果聯(lián)立方程模型中某個結(jié)構(gòu)方程不具有確定的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別。”“如果聯(lián)立方程模型中某些方程的線性組合可以構(gòu)成與某一個方程相同的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別。”“根據(jù)參數(shù)關(guān)系體系，在已知簡化式參數(shù)估計值時，如果不能得到聯(lián)立方程模型中某個結(jié)構(gòu)方程的確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值，則稱該方程為不可識別?！币允欠窬哂写_定的統(tǒng)計形式作為識別的基本定義。什么是“統(tǒng)計形式”？什么是“具有確定的統(tǒng)計形式”？

⒊模型的識別

上述識別的定義是針對結(jié)構(gòu)方程而言的。模型中每個需要估計其參數(shù)的隨機方程都存在識別問題。如果一個模型中的所有隨機方程都是可以識別的，則認(rèn)為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是可以識別的。反過來，如果一個模型系統(tǒng)中存在一個不可識別的隨機方程，則認(rèn)為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是不可以識別的。⒋恰好識別(JustIdentification)與過度識別(Overidentification)如果某一個隨機方程具有一組參數(shù)估計量，稱其為恰好識別；如果某一個隨機方程具有多組參數(shù)估計量，稱其為過度識別。

恒等方程由于不存在參數(shù)估計問題，所以也不存在識別問題。但是，在判斷隨機方程的識別性問題時，應(yīng)該將恒等方程考慮在內(nèi)。

⒈例題1第2與第3個方程的線性組合得到的新方程具有與消費方程相同的統(tǒng)計形式，所以消費方程也是不可識別的。

二、從定義出發(fā)識別模型第1與第3個方程的線性組合得到的新方程具有與投資方程相同的統(tǒng)計形式，所以投資方程也是不可識別的。于是，該模型系統(tǒng)不可識別。

參數(shù)關(guān)系體系由3個方程組成，剔除一個矛盾方程，2個方程不能求得4個結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定值。也證明消費方程與投資方程都是不可識別的。

⒉例題2消費方程是可以識別的，因為任何方程的線性組合都不能構(gòu)成與它相同的統(tǒng)計形式。投資方程仍然是不可識別的，因為第1、第2與第3個方程的線性組合（消去C）構(gòu)成與它相同的統(tǒng)計形式。于是，該模型系統(tǒng)仍然不可識別。

參數(shù)關(guān)系體系由6個方程組成，剔除2個矛盾方程，由4個方程是不能求得所有5個結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定估計值?？梢缘玫较M方程參數(shù)的確定值，證明消費方程可以識別；因為只能得到它的一組確定值，所以消費方程是恰好識別的方程。

投資方程都是不可識別的。注意：與例題1相比，在投資方程中增加了1個變量，消費方程變成可以識別。⒊例題3消費方程仍然是可以識別的，因為任何方程的線性組合都不能構(gòu)成與它相同的統(tǒng)計形式。投資方程也是可以識別的，因為任何方程的線性組合都不能構(gòu)成與它相同的統(tǒng)計形式。于是，該模型系統(tǒng)是可以識別的。

參數(shù)關(guān)系體系由9個方程組成，剔除3個矛盾方程，在已知簡化式參數(shù)估計值時，由6個方程能夠求得所有6個結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定估計值。所以也證明消費方程和投資方程都是可以識別的。而且，只能得到所有6個結(jié)構(gòu)參數(shù)的一組確定值，所以消費方程和投資方程都是恰好識別的方程。注意：與例題2相比，在消費方程中增加了1個變量，投資方程變成可以識別。⒋例題4消費方程和投資方程仍然是可以識別的，因為任何方程的線性組合都不能構(gòu)成與它們相同的統(tǒng)計形式。于是，該模型系統(tǒng)是可以識別的。

參數(shù)關(guān)系體系由12個方程組成，剔除4個矛盾方程，在已知簡化式參數(shù)估計值時，由8個方程能夠求得所有7個結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定估計值。所以也證明消費方程和投資方程都是可以識別的。但是，求解結(jié)果表明，對于消費方程的參數(shù)，只能得到一組確定值，所以消費方程是恰好識別的方程；而對于投資方程的參數(shù)，能夠得到多組確定值，所以投資方程是過度識別的方程。注意：在求解線性代數(shù)方程組時，如果方程數(shù)目大于未知數(shù)數(shù)目，被認(rèn)為無解；如果方程數(shù)目小于未知數(shù)數(shù)目，被認(rèn)為有無窮多解。但是在這里，無窮多解意味著沒有確定值，所以，如果參數(shù)關(guān)系體系中有效方程數(shù)目小于未知結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量數(shù)目，被認(rèn)為不可識別。如果參數(shù)關(guān)系體系中有效方程數(shù)目大于未知結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量數(shù)目，那么每次從中選擇與未知結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量數(shù)目相等的方程數(shù)，可以解得一組結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值，換一組方程，又可以解得一組結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值，這樣就可以得到多組結(jié)構(gòu)參數(shù)估計值，被認(rèn)為可以識別，但不是恰好識別，而是過度識別。

⒌如何修改模型使不可識別的方程變成可以識別或者在其它方程中增加變量；或者在該不可識別方程中減少變量；必須保持經(jīng)濟意義的合理性。⒈結(jié)構(gòu)式識別條件直接從結(jié)構(gòu)模型出發(fā)一種規(guī)范的判斷方法每次用于1個隨機方程具體描述為：

三、結(jié)構(gòu)式識別條件一般將該條件的前一部分稱為秩條件（RankCondition），用以判斷結(jié)構(gòu)方程是否識別；將后一部分稱為階條件（OrderConditon），用以判斷結(jié)構(gòu)方程恰好識別或者過度識別。

⒉例題判斷第1個結(jié)構(gòu)方程的識別狀態(tài)

所以，該方程可以識別。因為所以，第1個結(jié)構(gòu)方程為恰好識別的結(jié)構(gòu)方程。

判斷第2個結(jié)構(gòu)方程的識別狀態(tài)

所以，該方程可以識別。因為所以，第2個結(jié)構(gòu)方程為過度識別的結(jié)構(gòu)方程。

第3個方程是平衡方程，不存在識別問題。綜合以上結(jié)果，該聯(lián)立方程模型是可以識別的。與從定義出發(fā)識別的結(jié)論一致。

⒈簡化式識別條件如果已經(jīng)知道聯(lián)立方程模型的簡化式模型參數(shù)，那么可以通過對簡化式模型的研究達到判斷結(jié)構(gòu)式模型是否識別的目的。由于需要首先估計簡化式模型參數(shù)，所以很少實際應(yīng)用。四、簡化式識別條件⒉例題

需要識別的結(jié)構(gòu)式模型：已知其簡化式模型參數(shù)矩陣為：判斷第1個結(jié)構(gòu)方程的識別狀態(tài)

所以該方程是可以識別的。又因為：所以該方程是恰好識別的。判斷第2個結(jié)構(gòu)方程的識別狀態(tài)

所以該方程是可以識別的。又因為：所以該方程是過度識別的。判斷第3個結(jié)構(gòu)方程的識別狀態(tài)

所以該方程是不可識別的。

所以該模型是不可識別的?？梢詮臄?shù)學(xué)上嚴(yán)格證明，簡化式識別條件和結(jié)構(gòu)式識別條件是等價的。

《計量經(jīng)濟學(xué)—方法與應(yīng)用》（李子奈編著，清華大學(xué)出版社，1992年3月）第104—107頁。討論：階條件是確定過度識別的充分必要條件嗎？（李子奈，《數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究》，1988年第10期）當(dāng)一個聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型系統(tǒng)中的方程數(shù)目比較多時，無論是從識別的概念出發(fā)，還是利用規(guī)范的結(jié)構(gòu)式或簡化式識別條件，對模型進行識別，困難都是很大的，或者說是不可能的。理論上很嚴(yán)格的方法在實際中往往是無法應(yīng)用的，在實際中應(yīng)用的往往是一些經(jīng)驗方法。五、實際應(yīng)用中的經(jīng)驗方法關(guān)于聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的識別問題，實際上不是等到理論模型已經(jīng)建立了之后再進行識別，而是在建立模型的過程中設(shè)法保證模型的可識別性。

“在建立某個結(jié)構(gòu)方程時，要使該方程包含前面每一個方程中都不包含的至少1個變量（內(nèi)生或先決變量）；同時使前面每一個方程中都包含至少1個該方程所未包含的變量，并且互不相同。”該原則的前一句話是保證該方程的引入不破壞前面已有方程的可識別性。只要新引入方程包含前面每一個方程中都不包含的至少1個變量，那么它與前面方程的任意線性組合都不能構(gòu)成與前面方程相同的統(tǒng)計形式，原來可以識別的方程仍然是可以識別的。該原則的后一句話是保證該新引入方程本身是可以識別的。只要前面每個方程都包含至少1個該方程所未包含的變量，并且互不相同。那么所有方程的任意線性組合都不能構(gòu)成與該方程相同的統(tǒng)計形式。

在實際建模時，將每個方程所包含的變量記錄在如下表所示的表式中，將是有幫助的?！?.4聯(lián)立方程模型的估計一、概述二、狹義的工具變量法（IV）三、間接最小二乘法(ILS)四、二階段最小二乘法(2SLS)五、三種方法的等價性證明六、簡單宏觀經(jīng)濟模型實例演示*七、主分量法的應(yīng)用*八、k級估計式

一、概述聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型的估計方法分為兩大類：單方程估計方法與系統(tǒng)估計方法。所謂單方程估計方法，指每次只估計模型系統(tǒng)中的一個方程，依次逐個估計。也將單方程估計方法稱為有限信息估計方法。

所謂系統(tǒng)估計方法，指同時對全部方程進行估計，同時得到所有方程的參數(shù)估計量。也將系統(tǒng)估計方法稱為完全信息估計方法。

聯(lián)立方程模型的單方程估計方法不同于單方程模型的估計方法。

單方程估計方法按其方法原理又分為兩類。一類以最小二乘為原理，例如間接最小二乘法（ILS,IndirectLeastSquare）、兩階段最小二乘法(2SLS,TwoStageLeastSquares)、工具變量法（IV,InstrumentalVariables）等，稱其為經(jīng)典方法；一類不以最小二乘為原理，或者不直接從最小二乘原理出發(fā)，例如以最大或然為原理的有限信息最大或然法(LIML,LimitedInformationMaximumLikelihood)，以及仍然應(yīng)用最小二乘原理、但并不以殘差平方和最小為判斷標(biāo)準(zhǔn)的最小方差比方法(LVR,LeastVariableRation)等。系統(tǒng)估計方法主要包括三階段最小二乘法(3SLS,ThreeStageLeastSquares)和完全信息最大或然法(FIML,FullInformationMaximumLikelihood)。本書只介紹幾種簡單的、常用的單方程估計方法。在大量的聯(lián)立方程模型的應(yīng)用研究中，仍然廣泛應(yīng)用普遍最小二乘法進行模型的估計。二、狹義的工具變量法

（IV，InstrumentalVariables）⒈方法思路“狹義的工具變量法”與“廣義的工具變量法”解決結(jié)構(gòu)方程中與隨機誤差項相關(guān)的內(nèi)生解釋變量問題。方法原理與單方程模型的IV方法相同。模型系統(tǒng)中提供了可供選擇的工具變量，使得IV方法的應(yīng)用成為可能。⒉工具變量的選取

對于聯(lián)立方程模型的每一個結(jié)構(gòu)方程，例如第1個方程，可以寫成如下形式：

內(nèi)生解釋變量（g1-1）個，先決解釋變量k1個。如果方程是恰好識別的，有（g1-1）=（k-k1）。

可以選擇（k-k1）個方程沒有包含的先決變量作為（g1-1）個內(nèi)生解釋變量的工具變量。⒊IV參數(shù)估計量

方程的矩陣表示為:

選擇方程中沒有包含的先決變量X0*作為包含的內(nèi)生解釋變量Y0的工具變量，得到參數(shù)估計量為：⒋討論該估計量與OLS估計量的區(qū)別是什么？該估計量具有什么統(tǒng)計特性？（k-k1）工具變量與（g1-1）個內(nèi)生解釋變量的對應(yīng)關(guān)系是否影響參數(shù)估計結(jié)果？為什么？IV是否利用了模型系統(tǒng)中方程之間相關(guān)性信息？對于過度識別的方程，可否應(yīng)用IV？為什么？對于過度識別的方程，可否應(yīng)用GMM？為什么？三、間接最小二乘法

(ILS,IndirectLeastSquares)⒈方法思路聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)方程中包含有內(nèi)生解釋變量，不能直接采用OLS估計其參數(shù)。但是對于簡化式方程，可以采用OLS直接估計其參數(shù)。間接最小二乘法：先對關(guān)于內(nèi)生解釋變量的簡化式方程采用OLS估計簡化式參數(shù)，得到簡化式參數(shù)估計量，然后通過參數(shù)關(guān)系體系，計算得到結(jié)構(gòu)式參數(shù)的估計量。間接最小二乘法只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)估計，因為只有恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，才能從參數(shù)關(guān)系體系中得到唯一一組結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計量。

⒉一般間接最小二乘法的估計過程

用OLS估計簡化式模型，得到簡化式參數(shù)估計量，代入該參數(shù)關(guān)系體系，先由第2組方程計算得到內(nèi)生解釋變量的參數(shù)，然后再代入第1組方程計算得到先決解釋變量的參數(shù)。于是得到了結(jié)構(gòu)方程的所有結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量。

⒊間接最小二乘法也是一種工具變量方法

ILS等價于一種工具變量方法：依次選擇X作為（Y0,X0）的工具變量。數(shù)學(xué)證明見《計量經(jīng)濟學(xué)—方法與應(yīng)用》（李子奈編著，清華大學(xué)出版社，1992年3月）第126—128頁。估計結(jié)果為：四、二階段最小二乘法

(2SLS,TwoStageLeastSquares)⒈2SLS是應(yīng)用最多的單方程估計方法IV和ILS一般只適用于聯(lián)立方程模型中恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的估計。在實際的聯(lián)立方程模型中，恰好識別的結(jié)構(gòu)方程很少出現(xiàn)，一般情況下結(jié)構(gòu)方程都是過度識別的。為什么？2SLS是一種既適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，又適用于過度識別的結(jié)構(gòu)方程的單方程估計方法。

⒉2SLS的方法步驟第一階段：對內(nèi)生解釋變量的簡化式方程使用OLS。得到：

用估計量代替結(jié)構(gòu)方程中的內(nèi)生解釋變量，得到新的模型：第二階段：對該模型應(yīng)用OLS估計，得到的參數(shù)估計量即為原結(jié)構(gòu)方程參數(shù)的二階段最小二乘估計量。

⒊二階段最小二乘法也是一種工具變量方法

如果用Y0的估計量作為工具變量，按照工具變量方法的估計過程，應(yīng)該得到如下的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量：

可以嚴(yán)格證明兩組參數(shù)估計量是完全等價的，所以可以把2SLS也看成為一種工具變量方法。證明過程見《計量經(jīng)濟學(xué)—方法與應(yīng)用》（李子奈編著，清華大學(xué)出版社，1992年3月）第130—131頁。

五、三種方法的等價性證明⒈三種單方程估計方法得到的參數(shù)估計量

⒉IV與ILS估計量的等價性在恰好識別情況下。工具變量集合相同，只是次序不同。次序不同不影響正規(guī)方程組的解。⒉2SLS與ILS估計量的等價性在恰好識別情況下。ILS的工具變量是全體先決變量。2SLS的每個工具變量都是全體先決變量的線性組合。2SLS的正規(guī)方程組相當(dāng)于ILS的正規(guī)方程組經(jīng)過一系列的初等變換的結(jié)果。線性代數(shù)方程組經(jīng)過初等變換不影響方程組的解。六、簡單宏觀經(jīng)濟模型實例演示⒈模型

消費方程是恰好識別的；投資方程是過度識別的；模型是可以識別的。下列演示中采用了1978-1996年的數(shù)據(jù)，與教科書不同。⒉

數(shù)

據(jù)⒊用狹義的工具變量法估計消費方程

用Gt作為Yt的工具變量估計結(jié)果顯示⒋用間接最小二乘法估計消費方程C簡化式模型估計結(jié)果Y簡化式模型估計結(jié)果⒌用兩階段最小二乘法估計消費方程

比較上述消費方程的3種估計結(jié)果，證明這3種方法對于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程是等價的。估計量的差別只是很小的計算誤差。代替原消費方程中的Yt，應(yīng)用OLS估計第2階段估計結(jié)果⒍用兩階段最小二乘法估計投資方程

投資方程是過度識別的結(jié)構(gòu)方程，只能用2SLS估計。估計過程與上述2SLS估計消費方程的過程相同。得到投資方程的參數(shù)估計量為：

至此，完成了該模型系統(tǒng)的估計。2SLS第2階段估計結(jié)果⒎用GMM估計投資方程投資方程是過度識別的結(jié)構(gòu)方程，也可以用GMM估計。選擇的工具變量為c、G、CC1,得到投資方程的參數(shù)估計量為：

與2SLS結(jié)果比較，結(jié)構(gòu)參數(shù)估計量變化不大。殘差平方和由24223582變?yōu)?832486，顯著減少。為什么？利用了更多的信息。GMM估計結(jié)果*七、主分量法的應(yīng)用⒈方法的提出主分量方法本身并不是聯(lián)立方程模型的估計方法，而是配合其它方法，例如2SLS使用于模型的估計過程之中。數(shù)學(xué)上的主分量方法早就成熟，Kloek和Mennes于1960年提出將它用于計量經(jīng)濟學(xué)模型的估計。2SLS是一種普遍適用的聯(lián)立方程模型的單方程估計方法，但是當(dāng)它在實際模型估計中被應(yīng)用時，立刻就會遇到不可逾越的困難。其第一階段—用OLS估計簡化式方程，是難以實現(xiàn)的。為什么？⒉方法的原理所謂主分量方法，就是用較少數(shù)目的新變量重新表示原模型中較多數(shù)目的先決變量的方法。例如，如果能夠找到5個左右的新變量表示宏觀經(jīng)濟模型中的30個先決變量，那么只需要15組以上的樣本，就可以進行2SLS第一階段的估計。對充當(dāng)主分量的變量是有嚴(yán)格要求：一是它必須是先決變量的線性組合，二是它們之間必須是正交的。前一條是保證主分量對先決變量的代表性；后一條是保證主分量之間不出現(xiàn)共線性。⒊主分量的選取用兩個主分量表示兩個原變量：

可以證明，a1、a2分別是X’X的2個特征值對應(yīng)的特征向量。用k個主分量表示k個原變量：

同樣可以證明，a1、a2、…、ak分別是X’X的k個特征值對應(yīng)的特征向量。用f個主分量表示k個原變量：

選擇a1、a2、…、af分別是X’X的f個最大特征值對應(yīng)的特征向量。在2SLS中主分量的選取對于簡化式方程：

⒋主分量法在ILS中的應(yīng)用對于2SLS，直接利用主分量完成第一階段的估計，得到內(nèi)生解釋變量的估計量。對于ILS，必須求得到簡化式參數(shù)，進而計算結(jié)構(gòu)式參數(shù)。首先估計Y=ZΔ+Ε，然后將Z=XA代入，得到Y(jié)=XΠ中Π的估計量。*八、k級估計式⒈k級估計式

本身不是一種估計方法，而是對上述幾種方法得到的估計式的概括。對于聯(lián)立方程模型中的第1個結(jié)構(gòu)方程：

k級估計式為：顯然，當(dāng)：k=0時，即為OLS估計式；k=1時，即為2SLS估計式；k等于有限信息估計方法中的時，即為有限信息估計式。⒉k級估計式的性質(zhì)

假設(shè)工具變量與隨機誤差項不相關(guān)，即：且先決變量與隨機誤差項不相關(guān)，即：那么，容易證明k級估計式是一致性估計式。工具變量與隨機誤差項不相關(guān)，對k是有限制的，必須有（證明見教科書）：

這就是說，只有在2SLS或有限信息估計方法中，k級估計式是一致性估計式，而在OLS方法中，不具有一致性?！?.5聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學(xué)模型若干問題的討論一、模型估計方法的比較二、為什么普通最小二乘法被普遍采用三、聯(lián)立方程模型的檢驗一、模型估計方法的比較⒈大樣本估計特性的比較

在大樣本的情況下，各種參數(shù)估計方法的統(tǒng)計特性可以從數(shù)學(xué)上進行嚴(yán)格的證明，因而也可以將各種方法按照各個性質(zhì)比較優(yōu)劣。按漸近無偏性比較優(yōu)劣。除了OLS方法外，所有方法的參數(shù)估計量都具有大樣本下漸近無偏性。因而，除了OLS方法最差外，其它方法無法比較優(yōu)劣。按漸近有效性比較優(yōu)劣OLS非一致性估計，未利用任何單方程外的信息；IV利用了模型系統(tǒng)部分先決變量的數(shù)據(jù)信息；2SLS、LIML利用了模型系統(tǒng)全部先決變量的數(shù)據(jù)信息；3SLS、FIML利用了模型系統(tǒng)全部先決變量的數(shù)據(jù)信息和結(jié)構(gòu)方程相關(guān)性信息。⒉小樣本估計特性的MonteCarlo試驗

參數(shù)估計量的大樣本特性只是理論上的，實際上并沒有“大樣本”，所以，對小樣本估計特性進行比較更有實際意義。而在小樣本的情況下，各種參數(shù)估計方法的統(tǒng)計特性無法從數(shù)學(xué)上進行嚴(yán)格的證明，因而提出了一種MonteCarlo試驗方法。MonteCarlo試驗方法在經(jīng)濟實驗中被廣泛采用。小樣本估計特性的MonteCarlo試驗過程

第一步：利用隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機項分布的一組樣本；

第二步：代入已經(jīng)知道結(jié)構(gòu)參數(shù)和先決變量觀測值的結(jié)構(gòu)模型中；

第三步：計算內(nèi)生變量的樣本觀測值；第四步：選用各種估計方法估計模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

上述步驟反復(fù)進行數(shù)百次，得到每一種估計方法的參數(shù)估計值的序列。

第五步：對每種估計方法的參數(shù)估計值序列進行統(tǒng)計分析；

第六步：與真實參數(shù)（即試驗前已經(jīng)知道的結(jié)構(gòu)參數(shù)）進行比較，以判斷各種估計方法的優(yōu)劣。小樣本估計特性實驗結(jié)果比較⑴無偏性O(shè)LS2SLS3SLS（LIML，F(xiàn)IML）⑵最小方差性LIML2SLSFIMLOLS⑶最小均方差性O(shè)LSLIML2SLS3SLS（FIML）為什么OLS具有最好的最小方差性？方差的計算公式：均方差的計算公式：

前者反映估計量偏離實驗均值的程度；后者反映估計量偏離真實值的程度。所以盡管OLS具有最小方差性，但是由于它是有偏的，偏離真實值最為嚴(yán)重，所以它的最小均方差性仍然是最差的。

二、為什么普通最小二乘法被普遍采用⒈小樣本特性從理論上講，在小樣本情況下，各種估計方法的估計量都是有偏的。

⒉充分利用樣本數(shù)據(jù)信息除OLS之外的其它估計方法可以部分地或者全部地利用某個結(jié)構(gòu)方程中未包含的先決變量的數(shù)據(jù)信息，從而提高參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。但是其前提是所有變量具有相同的樣本容量。在實際上變量經(jīng)常不具有相同的樣本容量。采用先進估計方法所付出的代價經(jīng)常是犧牲了該方程所包含的變量的樣本數(shù)據(jù)信息。

⒊確定性誤差傳遞確定性誤差：結(jié)構(gòu)方程的關(guān)系誤差和外生變量的觀測誤差。采用OLS方法，當(dāng)估計某一個結(jié)構(gòu)方程時，方程中沒有包含的外生變量的觀測誤差和其它結(jié)構(gòu)方程的關(guān)系誤差對該方程的估計結(jié)果沒有影響。如果采用2SLS方法…如果采用3SLS方法…

⒋樣本容量不支持實際的聯(lián)立方程模型中每個結(jié)構(gòu)方程往往是過度識別的，適宜采用2SLS或3SLS方法，但是在其第一階段要以所有先