隨機過程-第一章

§1.隨機過程及其概率分布第一章隨機過程的基本概念一、隨機過程的概念

（一）引例與定義例1：電話總機在[0，t]時間內(nèi)收到的呼喚次數(shù)問題。當(dāng)t0（>0）固定時，總機在[0，t0]內(nèi)收到的呼喚次數(shù)是個隨機變量，記為X（t0,ω）或X（ω）簡寫X，它的所有可能取值是0，1，2，……，n，……。這是相對時間t不變的“靜止”的隨機變量，是概率論研究的問題。

現(xiàn)在是研究t從0變到+∞時，t時刻前收到的呼喚次數(shù)問題。

解決辦法是從兩個方面看：1、對電話交換站作一次試驗觀察可以得到一條表示t以前來到的呼喚曲線xi(t)，這是一條階梯形曲線,叫做一個樣本函數(shù)，或樣本曲線，它表示一次試驗結(jié)果，是ω的函數(shù)。所研究的問題可以看做某種隨機試驗的結(jié)果,而試驗出現(xiàn)的樣本函數(shù)是隨機的，是ω的函數(shù)。

[0，t]時間內(nèi)總機收到的呼喚次數(shù)的問題可看作一族樣本曲線x1(t)，x2(t)，…xn(t)…

2、對某個t0∈T，對應(yīng)值是x1(t0),x2(t0),…xn(t0)…是隨機變量取值，記此隨機變量為X(t0)。對所有的t∈T對應(yīng)X(t)是一族（無限多個）隨機變量，此結(jié)果是t的函數(shù)。

故我們要研究t從0→+∞。在[0,t]內(nèi)收到的呼喚次數(shù)，要用一族（無窮多個）隨機變量來描述，記成{X（t，ω），t∈[0，+∞），ω∈Ω}或{X（t），t∈（0，+∞）}。這是一個隨機過程，它是一族依賴一個參數(shù)t而孌化的一族隨機變量?？煽闯鏊茄芯恳粋€“過程”問題的。例2：在射擊過程中，研究射擊n次（從1變到+∞）擊中目標(biāo)的次數(shù)問題。例3：書P2熱噪聲電壓。定義E是隨機試驗，Ω={e}是E的樣本空間，如果對每一個e∈Ω，可以依某種規(guī)律確定一時間t的函數(shù)X（t，e）與之對應(yīng)，于是對所有的e∈Ω，就得到一族時間t的函數(shù)，稱此時間t的函數(shù)為隨機過程，記為{X（t，e），t∈T，e∈Ω}，簡記為{X（t），t∈T}或敘述為

若對每一個時刻t∈T，都有定義在E上的隨機變量X(t，e)，則稱一族隨機變量{X(t，e)，t∈T，e∈Ω}為一隨機過程。其實際意義就是：若一物理過程，當(dāng)時間t（或廣義時間）固定，過程所處的狀態(tài)是隨機的（不確定的），則此過程就為隨機過程。對該過程的一次記錄（或一個觀察）就是一個現(xiàn)實，或稱作隨機過程的一個樣本函數(shù)或樣本曲線。固定t0，X（t0）是隨機變量。固定e0，X（t，e0）是一個現(xiàn)實，是t的函數(shù)，記為x(t)。例4：具有隨機初位相的簡諧波。X（t）=acos（ω0t+Φ），-∞<t<+∞，其中a與ω0是正常數(shù)，Φ是在[0，2π]上均勻分布的隨機變量。一方面，隨機過程X（t）是一族隨機變量。對每個固定t0，X（t0）=acos(ω0t+Φ)是個隨機變量。對（-∞，+∞）上有多少個t，就對應(yīng)多少個隨機變量?！鄬Γ?∞，+∞）所有t，X（t）看作一族隨機變量。

另一方面，隨機過程是一族樣本函數(shù)（曲線）對樣本空間Ω中每個基本事件e對應(yīng)一個樣本函數(shù)，本例，Φ在Ω=[0，2π]上任給定一個相位φi=e，就對應(yīng)一個樣本曲線，如：書P4。給定時是一樣本曲線（現(xiàn)實）時是一樣本曲線（現(xiàn)實）時是一樣本曲線（現(xiàn)實）Ω中有多少個e，相應(yīng)地X（t）就有多少個樣本函數(shù)（曲線）∴X（t）理解為樣本函數(shù)的全體。

看出隨機過程概念是隨機變量概念的推廣隨機變量X(e)是定義在?上的函數(shù)，

即每個e∈Ω對應(yīng)X(e)，取值是實數(shù)，即X(e)是Ω上單值實函數(shù)。

隨機過程X(e，t)當(dāng)e∈Ω，對應(yīng)X(t，e)是t的實函數(shù)。對給定的e∈Ω，X(t，e)是族中某一試驗結(jié)果確定的樣本函數(shù)。

書P5是從概率空間的角度說明隨機過程的定義。（二）參數(shù)空間與狀態(tài)空間t稱為參數(shù)，它的取值范圍叫做參數(shù)空間（或參數(shù)集）記為T

如：例1T=[0，+∞]

例2T=[1，2，…]

例3T=(0，+∞)

例4T=(-∞，+∞)

參數(shù)集t可以是時間，也可以不是。如是長度、重量、速度等物理量的集合。2.對于每個固定t0∈T，對應(yīng)的X（t0，ω）是一個隨機過程，是基本事件ω（或記e）的函數(shù)，工程上有時把X（t0,ω）稱作隨機過程X（t）在t=t0時的狀態(tài)。稱X（t0）所能取的一切值的集合為狀態(tài)空間（或值域）記為I或E如：例1中I=[0，1，2，…]例4中I=[-1，1]{X(t，e)，t∈T，e∈Ω}看作t，e的二元函數(shù)，簡記為{X(t)，t∈T}對每個t∈T，對應(yīng)的樣本函數(shù)記為x(t)若t0與e0都固定，X(t0，e0)是樣本函數(shù)在t0處的數(shù)值，叫狀態(tài)空間中的一個狀態(tài)。例5：設(shè)隨機過程X（t），其中ω是常數(shù),V服從在[0，1]上的均勻分布。（1）寫出X（t）的參數(shù)空間T，狀態(tài)空間I。（2）寫出X（t）的兩個樣本函數(shù)。（現(xiàn)實）例6：利用拋擲硬幣的試驗定義一個隨機過程。

寫出X（t）的所有樣本函數(shù)（現(xiàn)實）二、隨機過程的的分布（有限維分布族）1、對任意固定的t0∈T，隨機過程X(t)的狀態(tài)X(t0)是一維隨機變量，其分布函數(shù)是P{X(t0)≤x}F(x，t0)由于t的任意性，稱F(x;t)=P{X(t)≤x}為隨機過程X(t)的一維分布函數(shù)。F(x，t)是與t有關(guān)的一維分布函數(shù)，在t，x平面上是X(t)落在區(qū)間(X(t)≤x)上的概率。2、對任意兩個固定t1，t2∈T，隨機過程是二個時刻的狀態(tài)，是二個隨機變量X(t1)，X(t2)，稱{F(X(t1)≤x1，X(t2)≤x2)}=F(x1，x2；t1，t2)稱為隨機過程X(t)的二維分布函數(shù)。它描繪過程的任意兩個時刻狀態(tài)的統(tǒng)計特性。3、一般地，對任意固定的t1，t2，…，tn∈T。隨機過程在任意n個時刻狀態(tài)的統(tǒng)計特性用n維r.v.的聯(lián)合分布函數(shù)描繪。稱P{X(t1)≤x1，X(t2)≤x2，…，X(tn)≤xn}=F(x1，…，xn；t1，t2，…，tn)為X(t)的n維分布函數(shù)。

隨機過程X（t）的一維分布函數(shù)，二維分布函數(shù)，…，n維分布函數(shù)等等的全體。{F（x1，x2，…，xn；t1，t2，…，tn），t1，t2，…，tn∈T，n≥1}稱為X（t）的有限維分布函數(shù)族。它能近似地描繪隨機過程的統(tǒng)計特征。顯然n越大，n維分布函數(shù)族描述隨機過程的統(tǒng)計特性越完善。

對連續(xù)型，相應(yīng)的概率密度函數(shù)稱為過程X（t）的一維分布密度函數(shù)。稱為過程的二維分布密度。一般稱為隨機過程X（t）的n維分布密度，且有……分布密度的全體{f(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)，t1,t2,…,tn∈T，n≥1}稱為過程X（t）的有限維分布密度，它也近似描繪隨機過程的概率分布。（二）有限維分布函數(shù)族的兩條性質(zhì)（見書P9）對稱性相容性（三）舉例例7．P10例6復(fù)習(xí)n維正態(tài)分布其中μ是n維向量X的均值向量B-1是一個n階實正定矩陣，是X的協(xié)方差矩陣，其逆矩陣為B-1，概率密度函數(shù)為

例8.書P10例7隨機過程X（t）=Acost(-∞＜t＜+∞)其中A分布列是求:1°一維分布函數(shù)，2°求二維分布函數(shù)

A123P解：∴取值僅一個0，且知∴

2°解法一：

（是兩個事件交的概率）

解法二：先寫出X（0），X（）的聯(lián)合分布律X（0）=Acos0=AX（）=或?qū)懗?/p>

X(0)

X

123

（X，Y）X(0),X(π/3)(1,1/2)(2,1)(3,3/2)(1,1)(1,3/2)…(3,3/2)

Pk

…

1.5○○●○●○

●○○123

∴例9．P12例8

例10設(shè){Xn，n≥1}是獨立同分布的隨機變量序列，且知

定義(1)寫出的一個現(xiàn)實(2)寫出的分布律(3)寫出的分布律(4)寫出的分布律

Xj

-11P1-p=qp解：（1）任取則Yn就是一個現(xiàn)實。（2）Y1=X1∴Y1與X1的分布相同（3）Y2=X1+X2的分布律為（4）=Y2-202pkq22pqp2§2.隨機過程的數(shù)字特征一、隨機過程的期望和方差對每一固定t1∈T，過程X（t）的狀態(tài)是r.v.X(t)，它有均值和方差。一般是參數(shù)t1的函數(shù)。定義：(存在)，t∈T稱其中F(x,t)是過程的一維分布函數(shù)。稱為隨機過程的均值（函數(shù)）或數(shù)學(xué)期望。若是連續(xù)型隨即變量，有其中f(x,t)是一維分布密度。注：1°對每個t1∈T，有個EX（t1）表示在t1狀態(tài)r.v.X(t1)取值的概率平均?！啾硎舅袠颖竞瘮?shù)在時刻t的函數(shù)值的平均即理論平均值。2°是一條固定曲線。3°EX(t)表示了X(t)在各個時刻的擺動中心。X(t)的樣本曲線繞上下波動2．隨機過程的方差存在，t∈T，稱為X（t）的方差。稱為X（t）的標(biāo)準(zhǔn)差。它們描繪過程的樣本曲線在各個t時刻對均值的離散程度，對每個t1∈T，反映t=t1狀態(tài)，取值的概率平均。反映t=t1狀態(tài)取值與離散程度。在工程中隨機過程的均方值具有物理意義，比較有用。均方值定義為：有關(guān)系式：即

注意：，僅反映隨機過程X（t）在各個時刻t的統(tǒng)計特征,但不能反映兩個不同時刻狀態(tài)的相互關(guān)系。如：P16，圖1-9，（a）、（b）∴要引入新的數(shù)字特征。

二、隨機過程X（t）的協(xié)方差和相關(guān)函數(shù)。定義:、，t1，t2∈T協(xié)方差稱為隨機過程的（自）協(xié)方差（函數(shù)）。記為稱，t1，t2∈T為過程X（t）的自相關(guān)函數(shù)。稱為X(t1),X(t2)的相關(guān)系數(shù)。對連續(xù)概率分布情況有：X（t）協(xié)方差與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系為

當(dāng)時∵在協(xié)方差定義中取t1=t2=t,就有可知方差可由協(xié)方差獲得2.和意義如：P16圖形1-9a、b圖X（t）的期望方差相同。a表示t1，t2，X（t1），X（t2）線性關(guān)系密切，絕對值較大b表示t1，t2，X（t1），X（t2）線性關(guān)系不密切，絕對值較小可用協(xié)方差函數(shù)絕對值大小比較兩個過程在時刻t1，t2狀態(tài)的線性（關(guān)系）聯(lián)系的密切程度。

例1.設(shè)X、Y相互獨立，是均值為0、方差為1的r.v.X(t)=X+tY是隨機過程，求、、

例2.若一個隨機過程由圖所示的四個樣本函數(shù)組成，而且每個樣本函數(shù)出現(xiàn)的概率相等，求上圖寫成表如下：X(t,ω)ω1

ω2

ω3

ω4

X(t1,ω)X(t2,ω)2635412pk例3．書P19例2X（t），t∈T有兩條樣本曲線其中常數(shù)a>0，且,試求、例4．P18例1

3.協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性。

對任t1，t2

（2）是非負(fù)定的，是非負(fù)定的（3）隨機過程的期望稱為過程的一階矩。隨機過程的方差和相關(guān)函數(shù)稱為隨機過程的二階矩，也可定義n階矩。二、階矩過程和正態(tài)過程P19自己看§3.兩個隨機過程的聯(lián)合分布和數(shù)字特征

一、分布（一）{X(t)，Y(t)，t∈T}的m+n維聯(lián)合分布函數(shù)對任n≥1，m≥1，t1，t2，…，tn∈T，=記稱為過程的m+n維聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合概率密度為=或

（二）每個過程的聯(lián)合分布函數(shù)令y1,y2,…,yn→∞，得X（t）的m維分布函數(shù)為：令x1,x2,…,xm→∞，得Y（t）的n維分布函數(shù)為：二、數(shù)字特征1．X(t),Y(t)分別有自己的均值，、，方差，和自相關(guān)函數(shù)，2．對固定的t1，t2∈T，

定義r.v.X(t1)和Y(t2)的協(xié)方差

t1，t2∈T

為隨機過程X(t)，Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)，稱，t1，t2∈T為X(t)，Y(t)互相關(guān)函數(shù)，它們反映過程X(t)與Y(t)相互聯(lián)系的數(shù)字特征。

對連續(xù)型