第三章邊界效應(yīng)2014

鍋爐壓力容器安全中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）工程學(xué)院安全工程系倪曉陽第三章第三節(jié)圓筒殼的邊界效應(yīng)目錄

基本概念

撓度微分方程及求解

圓筒殼與凸形封頭連接時的邊界效應(yīng)

Clicktoaddtitleinhere51234圓筒殼與厚平板連接時的邊界效應(yīng)對圓筒殼邊界效應(yīng)的結(jié)論一、基本概念

承受內(nèi)壓的圓筒形元件，總是和其他相應(yīng)的元件——封頭、管板、端蓋等連接在一起，組成一個封閉體，才能承受內(nèi)壓，以滿足使用要求。在圓筒元件與其他元件相接之處，承受內(nèi)壓之后，其變形和受力情況與非連接部位有很大不同，這是圓筒與相連元件在相連處變形不一致、互相約束造成的。

1、半徑增量

以圓簡與凸形封頭連接為例(見圖3—12)，連接線上各點是圓筒與封頭的公共點。作為圓筒簡身上的點，承受內(nèi)壓后其徑向位移△Rt可按以下關(guān)系求出。

圖3-12圓筒殼與凸形封頭連接時的邊界效應(yīng)根據(jù)廣義虎克定律，環(huán)向應(yīng)變εθ為：εθ=分析環(huán)向應(yīng)變與徑向位移的關(guān)系，有：因此，同樣可以求出，作為封頭上的點，連接處承受內(nèi)壓后的徑向位移ΔRf為：式中，y=a/b，是凸形封頭長軸與短軸之比，或長半徑與短半徑之比。對標準橢球封頭，y=2，因而有：

即是說，在連接線上，作為筒身的一部分應(yīng)沿徑向向外位移ΔRt;作為封頭的一部分，應(yīng)沿徑向向外或向內(nèi)位移ΔRf,但封頭在連接線上的徑向位移量總是不向于簡身在連接線上的徑向位移量，筒身向外的徑向位移總是大于封頭向外的徑向位移。實際情況是，連接線上的點在承受內(nèi)壓后只能有一個徑向位移，最后的變形位置只能在二者單獨變形的中間位置，這樣才能保持構(gòu)件在連接處變形后是連續(xù)的。即二者在連接處互相約束限制。剪力封頭彎矩受到封頭的約束和限制，端部產(chǎn)生“收口”彎曲變形，以抵消內(nèi)壓作用于圓筒所產(chǎn)生的向外徑向位移。圓筒

薄壁圓筒的抗彎能力很差，上述附加彎矩和剪力有時會在連接部位產(chǎn)生相當(dāng)大的彎曲應(yīng)力，甚至超過由內(nèi)壓造成的薄膜應(yīng)力。但這種現(xiàn)象只發(fā)生在不同形狀的元件相連接的邊界區(qū)域，所以叫做“邊界效應(yīng)”。由邊界效應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)力叫“不連續(xù)應(yīng)力”，這是抵消不同元件在連接處變形不連續(xù)，保持實際上的變形連續(xù)在元件內(nèi)出現(xiàn)的局部附加應(yīng)力。

分析邊界效應(yīng)實際上是分析圓筒殼的彎曲問題，而圓筒彎曲問題比梁的彎曲問題要復(fù)雜得多。梁在受到彎曲時，其變形比較自由，因為梁的寬度較小，在寬度方向沒有受到約束

圓筒殼可以被想象成是由許多沿軸線并排的、互相靠近的細長梁所構(gòu)成，每條細長梁都夾在兩邊相鄰細長梁之間，受到其約束和限制。圓筒殼軸向承受彎曲時，相當(dāng)于各條細長梁都承受彎曲，由于每條細長梁在寬度方向(圓周方向)與其他細長梁連在一起，在寬度方向變形受到限制，因而，為了保持變形協(xié)調(diào)，圓筒殼受彎曲時不僅橫截面內(nèi)有彎矩和剪力，其縱截面內(nèi)也有彎矩和剪力。這些彎矩、剪力是沿圓周均勻分布的，是單位長度(寬度)上的彎矩和剪力，因而彎矩的單位是N·cm/cm或N·mm／mm，剪力的單位是N／cm或N／mm。簡言之，對圓筒殼分解成的縱向梁條，如無封頭限制，承受內(nèi)壓后應(yīng)整體沿圓筒徑向向外位移；封頭對圓筒的限制相當(dāng)于在縱向梁條端部加上集中載荷，使梁條產(chǎn)生彎曲變形，而相鄰梁條從兩側(cè)限制了縱向梁條的彎曲變形。而且，縱向梁條的彎曲變形傾向越大，相鄰梁條的約束和限制力也越大。這有點像置于彈性地基上的鐵軟——彈性基礎(chǔ)上的梁。當(dāng)車輪作用于鐵軌使其發(fā)生彎曲變形時，彈性地基給鐵軟以反彎曲的約束力，減弱和抵消鐵軟的彎曲變形。車輪給鐵軌的作用力越大，鐵軌下陷彎曲的傾向越大，彈性地基對鐵軌的反作用力也越大。由于彈性地基的約束作用，使鐵軌的彎曲變形僅限于車輪附近。在經(jīng)典力學(xué)中．正是從分析彈性基礎(chǔ)上的梁入手，分析處理圓筒殼的彎曲問題。二、撓度微分方程及求解對于承受橫向連續(xù)均布載荷的普通梁，其撓度(x)隨軸向坐標X變化的微分關(guān)系為式中：EI--梁的抗彎剛度q0--梁上的連續(xù)分布載荷對于彈性基礎(chǔ)上的梁，由于地基對梁的反作用力正比于梁的撓度，把地基的反作用力視作梁承受的分布載荷而不考慮其他分布載荷．即q=-k則有：即縱向梁條的抗彎剛度與承受雙向彎曲圓平板板條的抗彎剛度一樣，是D而不是EI，而縱向梁條的撓度ω（x）．是圓筒殼與封頭相連后，自連接部位起以圓筒殼軸向為x向進行考察，圓筒殼承受內(nèi)壓后本應(yīng)產(chǎn)生的徑向位移與實際產(chǎn)生徑向位移之差。(見圖3-12）針頭對圓筒殼的“收口”作用，是圓筒殼縱向梁條彎曲的起因，可簡化為縱向梁條端部承受的剪力N0和彎矩M0?？v向梁條所受“地基”的反作用力，是兩側(cè)相鄰縱向梁條對其環(huán)向擠壓力Nθ的徑向合力q(見圖3—13c)。第一第二第三第四對于圓筒殼分解成的縱向梁條，將其近似視為彈性基礎(chǔ)上的梁時，需注意以下幾點：圖3-13圓筒殼彎曲時的內(nèi)力q與ω的關(guān)系如下：縱向梁條的撓度是圓筒殼的附加徑向位移，與之相應(yīng)的附加環(huán)向應(yīng)變可按本節(jié)“一、基本概念”中的方法得出：附加環(huán)向應(yīng)力為：而Nθ是單位長度環(huán)向板條上的內(nèi)力：將縱向梁條兩側(cè)擠壓力折算成下部反作用力q：取，則即因而縱向梁條的撓度微分方程為：

（3-31）令，則：取=0.3，則：式中，β稱為邊界效應(yīng)的衰減系數(shù)，其量綱為mm-1。式（3-31）的解為：式中，e為自然對數(shù)的底。當(dāng),,這顯然是不合理的，所以，C1=C2=0，則：以封頭與圓筒殼連接處橫截面上的剪力N0和軸向彎矩M0代替C3，C4，則有：若θ為圓筒殼上縱向梁條相應(yīng)于ω在不同x處的轉(zhuǎn)角；Mx為作用在圓筒殼軸向距端部為x橫截面上的彎矩;Nx為作用在圓筒殼軸向距端部為x橫截面上的剪力；Mθ為相應(yīng)縱截面上的環(huán)向彎矩；Nθ為相應(yīng)縱截上的環(huán)向力(見圖3—13b)。依據(jù)材料力學(xué)和彈性力學(xué)有：ABCDE求出ω的各階層導(dǎo)數(shù)，即可得出以下表達式：

（3-33）

（3-34）

（3-35）

（3-36）

M0，N0是圓筒殼承載后在連接處因變形協(xié)調(diào)而出現(xiàn)的附加內(nèi)力，其大小不僅取決于與圓筒相連封頭的結(jié)構(gòu)形狀，也取決于造成邊界效應(yīng)載荷的性質(zhì)及大小。三、圓筒殼與凸形封頭連接時的邊界效應(yīng)

圓筒殼與凸形封頭連接時，在連接處二者的幾何形狀是連續(xù)的。承受內(nèi)壓后二者雖因連接處變形不相同互相牽制，但最終到達的位置仍保持了連接部位的連續(xù)——連接處有同一的徑向位移和轉(zhuǎn)動角度。當(dāng)凸形封頭與圓筒殼的材質(zhì)、壁厚都相同時，相應(yīng)的因而，當(dāng)凸形封頭與圓筒殼相連接時，在圓筒殼連接部位附近因內(nèi)壓引起的附加內(nèi)力為：（3-37）

（3-38）（3-39）

（3-40）Mx，Nx隨x變化趨勢如圖3-14所示：圖3-14Mx,Nx沿圓筒軸向的變化趨勢（一）連接處（x=0）內(nèi)力及應(yīng)力由于連接處彎矩等于零，因而沒有相應(yīng)的附加彎曲應(yīng)力。連接處的徑向剪力N。在連接處橫截面上引起剪應(yīng)力，平均剪應(yīng)力為：連接處附加環(huán)向力N0在連接處造成附加環(huán)向應(yīng)力：由式(3—39)及式(3—40)可知，Nx,和Nθ都是隨x的增加面減小的，連接處的N0及Nθ是最大剪力及最大環(huán)向應(yīng)力，因而,。由于的絕對數(shù)值較小，可忽略不計。因而連接處的主要附加應(yīng)力是環(huán)向附加應(yīng)力。連接處總的應(yīng)力應(yīng)是內(nèi)壓引起的薄膜應(yīng)力與附加應(yīng)力的代數(shù)和：（與球形封頭相連，y=1）(與標準橢球封頭相連，y=2)（二）附加彎矩最大截面的內(nèi)力和應(yīng)力Mx,Mθ的值隨x而變化，當(dāng)βx=/4,或者x=/(4β)=0.61(取=0.3，以下同）時，Mx達最大值，相應(yīng)的附加軸向彎曲應(yīng)力為：（與球形封頭相連）=（與標準橢球封頭相連）在同一位置，Mθ及相應(yīng)的附加環(huán)向應(yīng)力也達到最大值，其數(shù)值為：（與球形封頭相連）=（與標準橢球封頭相連）在附加彎矩最大的截而上，徑向剪力Nx減小為零，附加環(huán)向力為:由附加環(huán)向力引起的附加環(huán)向應(yīng)力為：

(與球形封頭相連)

(與標準橢球封頭相連)作用于該截而內(nèi)某點的總應(yīng)力應(yīng)為內(nèi)壓造成的薄膜應(yīng)力及附加應(yīng)力之相。對與標淮橢球封頭相連的圓筒，內(nèi)壁處的最大環(huán)向總應(yīng)力為：內(nèi)外壁面處的軸向總應(yīng)力分別為：四、圓筒殼與厚平板連接時的邊界效應(yīng)圓筒殼與厚平板連接時，由于厚板抗彎剛度很大、可以近似地看做對圓筒殼端部形成了剛性約束，即在連接處圓筒殼無轉(zhuǎn)角和徑向位移。由此可求得連接處的附加軸向彎矩M0和徑向剪力N0：因而有：在連接處的應(yīng)力計算式如下：ProductDescriptionofthecompany’sproducts一二三四軸向附加彎曲應(yīng)力環(huán)向附加彎曲應(yīng)力橫截面上的徑向平均剪應(yīng)力由附加環(huán)向力引起的附加環(huán)向應(yīng)力(x＝0)考慮內(nèi)壓引起的薄膜應(yīng)力及附加應(yīng)力后在連接處的總應(yīng)力為：可以證明，對于圓簡殼與厚平板相連接這鐘情況．連接處的附加彎矩最大，即M0=Mxmax。附加彎矩沿圓筒殼鈾向(x袖)迅速衰減，其衰減規(guī)律如圖3—15所示。

實際采用的平端蓋、平管板對圓簡殼雖有很大的約束作用，但并不完全是剛性約束，而是所謂“彈性約束”，允許圓筒殼在連接處有一定的轉(zhuǎn)角和徑向位移。因而實際結(jié)構(gòu)的不連續(xù)應(yīng)力較上面按剛性約束計算的值要小一些，其具體計算從略。五、對圓筒殼邊界效應(yīng)的結(jié)論第一，圓簡殼的邊界效應(yīng)是圓筒殼