第三章布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡

第三章布爾代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡3.1基本公式和規(guī)則3.2邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡3.3卡諾圖化簡3.1基本公式和規(guī)則3.1.1基本公式表3－1基本公式表3－2證明分配律的真值表A+BC=(A+B)(A+C)其它公式的證明__)1(_=+=BBA)(+=+BBABAAB因為)1())((__=++=++=+-AABABAAABAA因為其它公式的證明)1()(=+=+=+B1AB1AABA因為CAABBCACABBCAABCCAABAABCCAABBCCAAB_______)1()1()(+=+++=+++=+++=++3.1.2基本法則1、代入法則邏輯等式中的任何變量A，都可用另一函數(shù)Z代替，等式仍然成立。

例1證明證明等式兩邊的B用B+C代入便得到這樣就得到三變量的摩根定律。同理可將摩根定律推廣到n變量_______________CBACBA..=++___________BABA.=+_______________________CBACBACBA..=+.=++nnnnAAAAAAAAAAAA_2__1____________________21_2__1____________________21...++=.........=+...++2.對偶法則

對于任何一個邏輯表達式F，如果將其中的“+”換成“·”，“·”換成“+”，“１”換成“0”，“0”換成“1”，并保持原先的邏輯優(yōu)先級、變量不變，兩變量以上的非號不動，則可得原函數(shù)F的對偶式G。根據(jù)對偶法則知原式F成立，則其對偶式也一定G成立。其對偶式為CAAB_+)()(_CABA+.+3.反演法則

由原函數(shù)求反函數(shù)，稱為反演或求反。多次應用摩根定律，可以求出一個函數(shù)的反函數(shù)。

例2求的反函數(shù)解用摩根定律求__EDCBAF++++=EDCBAEDCBAEDCBAEDCBAF....=+...=+++.=++++=_____________F3.1.3基本公式應用1.證明等式例3用公式證明解ABBABABA+=+____))((__BABA++=ABBABABA.=+_________BAABBBBAABAA+=+++=2.邏輯函數(shù)不同形式的轉換

邏輯函數(shù)的表達形式通常可分為五種：與或表達式、與非-與非表達式、與或非表達式、或與表達式、或非-或非表達式。不同的表達式之間可以相互轉換。例4將函數(shù)與或表達式轉換為其它形式。解(1)與非-與非式

(2)與或非式(３)或與式(4)或非-或非式CABACAABF+=+=CAABF_+=CAABCAABF__.=+=___CABAF+=))((_______CABACABACABAF++==+=CABACABAF+++=++=__))((多余項定律&B&AC&AF&AB&C≥1AFA&BCAF≥1ABCA&F≥1≥1BAAC≥1≥1≥1與或CAABFa_)(+=與非CAABFb____)(.=與或非___)(CABAFc+=或與))(()(_CABAFd++=或非_________)(CABAFe+++=3.2邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡3.2.1邏輯函數(shù)與邏輯圖圖3–2函數(shù)的邏輯圖&AB&≥1F11__BAAB+BCBBACBACABF++++=___CBA_+A≥1&&&&&BCABCABCABBCBFF=AC+B&AC≥1FB圖3–4函數(shù)化簡后的邏輯圖圖3–3原函數(shù)邏輯圖3.2.2邏輯函數(shù)化簡的原則

邏輯函數(shù)化簡，通常遵循以下幾條原則：

(1)邏輯電路所用的門最少；(2)各個門的輸入端要少；(3)邏輯電路所用的級數(shù)要少；(4)邏輯電路能可靠地工作。3.2.3與或邏輯函數(shù)的化簡1.應用吸收定律1例5解例6解所以)(_ABAAB=+DA+=原式DCBACDABF__+++=,_____________DCBADCBACDBADCBADCBAF++++=_______________________________CBADCBADCBADBADCBADCBADCADCBADCBADCBDCBADCBA=+=+=+=+_________CBADBADCADCBF+++=2.應用吸收定律2、3例8解例9解令ABABB+=+=__原式)(_BABAAAABA+=+=+CDBABABABACDBAABBABA)()(________+++=+++=原式則,__GBABA=+3.應用多余項定律例10化簡解例11化簡解DCBACABDCBACABDABCBACDBACBAC++=+++=+++=+++=_________)(原式DCACABBDDCACAB____+=++=原式)(__CAABBCCAAB+=++4.綜合例子例12化簡解EGBBDCADEGHEGBBDCADEGHEGBBDCAADEGHEGBACEGBDCAABA______+++=++++=++++=++++++=原式)(多余項定律5.拆項法例13化簡此例就是用和分別去乘第三項和第四項，然后再進行化簡。_________________)()(CBCABACBABCACBACBACBBACCBAAACBCBBA++=+++++=+++++=原式直接用公式已無法再化簡時，可采用拆項法。拆項法就是用去乘某一項，將一項拆成兩項，再利用公式與別的項合并達到化簡的目的。)(_xx+)(_CC+)(_AA+6.添項法

在函數(shù)中加入零項因子，利用加進的新項，進一步化簡函數(shù)。例14化簡

解)(__.....ABfxxxx或____________________________________________________)(ABCABABCABCABABABCCABABABABCCABABAB=+=.++=.++=原式3.3卡諾圖化簡3.3.1卡諾圖化簡的基本原理例15解BCABCBABA+=++=____原式________________CBAABCBCACBACBAF++++=__BCA+1.最小項標準式定義

最小項：對于一個給定變量數(shù)目的邏輯函數(shù)，所有變量參加相“與”的項叫做最小項。在一個最小項中，每個變量只能以原變量或反變量出現(xiàn)一次。例如,一個變量A有二個最小項：二個變量AB有四個最小項：

3.3.2邏輯函數(shù)的標準式——最小項

以此類推，四個變量ABCD共有24=16個最小項，n變量共有2n個最小項。。_1,)2(AA。ABBABABA,,,)2(____22.由一般式獲得最小項標準式(1)代數(shù)法：對邏輯函數(shù)的一般式采用添項法。由上式可看出，第二項缺少變量A，第三項缺少變量B，我們可以分別用和乘第二項和第三項，其邏輯功能不變。例如)(_AA+)(_BB+(2)真值表法。將原邏輯函數(shù)A、B、C取不同值組合起來，得其真值表，而該邏輯函數(shù)是將F=1那些輸入變量相或而成的，如表3-3所示。表3–3某邏輯函數(shù)的真值表從真值表上得到表3–4三變量最小項的編號3.最小項的性質(zhì)(1)對任何變量的函數(shù)式，全部最小項之和為1，即(2)兩個不同最小項之積為0，即(3)n變量有項最小項，且對每一最小項而言，有n個最小項與之相鄰。?-==1201niim0=.jimm)(ji1n23.3.3卡諾圖的結構卡諾圖的結構特點是需保證邏輯函數(shù)的邏輯相鄰關系，即圖上的幾何相鄰關系，因此卡諾圖的變量標注均采用循環(huán)碼。一變量卡諾圖：有=2個最小項，因此有兩個方格。0表示取A的反變量，1表示取A的原變量。二變量、三變量、四變量、五變量卡諾圖分別有4、8、16和32個最小項，卡諾圖如下圖所示。12圖3–51－5變量的卡諾圖3.3.4邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法若將邏輯函數(shù)式化成最小項表達式，則可在相應變量的卡諾圖中，表示出這函數(shù)。如

，

在卡諾圖相應的方格中填上1，其余填0。0ABC000111100110100111567____mmmmCBACBACABABCF+++=+++=例將用卡諾圖表示。解：在B=1,C=0對應的方格(不管A，D取值)，得m4、m5、m12、m13，在對應位置填1；：在C=1,D=0所對應的方格中填1，即m2、m6、m10、m14；：在B=0，C=D=1對應方格中填1，即m3、m11；：在A=C=0,D=1對應方格中填1，即m1、m5；

ABCD

：在A=B=C=D=1對應方格中填1，即m15。_CB_DCCDB_DCA__圖3–7邏輯函數(shù)直接用卡諾圖表示CCBBAADD111111111111ABCD00011110000111103.3.5相鄰最小項合并規(guī)律

(1)兩相鄰項可合并為一項，消去一個取值不同的變量，保留相同變量；(2)四相鄰項可合并為一項，消去兩個取值不同的變量，保留相同變量，標注為1→原變量，0→反變量；(3)八相鄰項可合并為一項，消去三個取值不同的變量，保留相同變量，標注與變量關系同上。圖3–8相鄰最小項合并規(guī)律1111ABCD0001111000011110ABDACD(a)11111111ABCD0001111000011110BDCD(b)11111111ABCD0001111000011110BDBD(c)11111111ABCD0001111000011110B(d)3.3.6與或邏輯化簡運用最小項標準式，在卡諾圖上進行邏輯函數(shù)化簡，得到的基本形式是與或邏輯。其步驟如下：(1)將原始函數(shù)用卡諾圖表示；(2)根據(jù)最小項合并規(guī)律畫卡諾圈，圈住全部“１”方格；(3)將上述全部卡諾圈的結果，“或”起來即得化簡后的新函數(shù)；(4)由邏輯門電路，組成邏輯電路圖。例22化簡解第一步：用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。：對應m3、m11對應m4、m5、m12、m13對應m1、m5對應m10、m11圖3-9例22函數(shù)的卡諾圖表示11111111ABCD0001111000011110第二步：畫卡諾圈圈住全部“１”方格。圖3－10化簡過程11111111ABCD0001111000011110ABDABCBC第三步：組成新函數(shù)。每一個卡諾圈對應一個與項，然后再將各與項“或”起來得新函數(shù),故化簡結果為

第四步：畫出邏輯電路。&AB&≥1F&BCCABD圖3－11例22化簡后的邏輯圖DBACBACBF____++=例23化簡解在卡諾圈有多種圈法時，要注意如何使卡諾圈數(shù)目最少，同時又要盡可能地使卡諾圈大。邏輯圖如圖3-13所示。其化簡函數(shù)為(a)111111111ABCD0001111000011110ABCBDABCABDACD(b)111111111ABCD0001111000011110ABCBDACDABC圖3–12例23化簡過程______DCABDCABCBAF+++=圖3–13例23邏輯圖&AB&≥1F&ACCBD&ACDB例24化簡圖3–14例24的化簡過程1111111111ABCD0001111000011110ACDABCDBCABACDBCD(b)(c)1111111111ABCD0001111000011110ACDABCDBDBCACDAB例26化簡圖3–15例26化簡過程及邏輯圖&AC&≥1F&ACDAC&ACDBB11111111ABCD0001111000011110ABCABCACDACD(b)11111111ABCD0001111000011110(a)(c)3.3.7其它邏輯形式的化簡1.與非邏輯形式與非式就是全由與非門實現(xiàn)該邏輯，將與或式兩次求反即得與非式。其化簡步驟如下：第一步：在卡諾圖上圈“１”方格，求得最簡與或式；第二步：將最簡與或式兩次求反，用求反律展開一次，得到與非表示式；第三步：根據(jù)與非式，用與非門組成邏輯電路。例27將例22-26用與非門實現(xiàn)。解例22與或結果為圖3–16例22用與非門實現(xiàn)&AB&F&BCCABD&(例23)___________________DCADBCABCBADCABDCABCBADCABDCABCBAF...=+++=+++=AFACCBDADBBC&&&&&(a)圖3–17例23用與非門實現(xiàn)(例24)________________________DBBACBDCADCACDBADBBACBDCADCACDBADBBACBDCADCACDBAF.....=+++++=+++++=AFADDBCBDCACBCDBA&&&&&&&(b)圖3–18例24用與非門實現(xiàn)2.或與邏輯形式

首先從卡諾圖上求其反函數(shù)，其方法是圈“０”方格，然后再用摩根定律取反即得或與式。例28求的反函數(shù)和或與式。1111011001100010ABCD0001111000011110ACDBCBD圖3–19例28的反函數(shù)解求反函數(shù)過程如圖3-19所示。再由反函數(shù)求得原函數(shù)，利用摩根定律就得或與式?？偨Y如下：

在卡諾圖上圈“0”方格，其化簡結果：變量為0→原變量；變量為1→反變量，然后變量再相“或”起來，就得每一或項，最后再將每一或項“與”起來而得或與式。故此例可不通過求反函數(shù)，直接由上述過程得到或與式(如圖3-20所示)：圖3–20從卡諾圖上直接圈得或與式1111011001100010ABCD0001111000011110A+C+DB+CB+DBFBDCACD≥1&≥1≥1圖3–21或與邏輯圖3.或非邏輯形式

將或與邏輯兩次求反即得或非表示式：圖3–22例28的或與邏輯圖BFBDCACD≥1≥1≥1≥1DCACBDBDCACBDBF++++++=++++==______))()((