第2章穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

第二章穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)2.1導(dǎo)熱基本定律-傅里葉定律2.2導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫2.3典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解2.4通過肋片的導(dǎo)熱2.5具有內(nèi)熱源的一維導(dǎo)熱問題2.6多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的求解傳熱學(xué)張克舫2.1導(dǎo)熱基本定律-傅里葉定律2.1.1各類物體的導(dǎo)熱機理2.1.2溫度場2.1.3導(dǎo)熱基本定律2.1.4導(dǎo)熱系數(shù)返回傳熱學(xué)張克舫2.1.1各類物體的導(dǎo)熱機理氣體：氣體分子不規(guī)則熱運動時相互碰撞的結(jié)果，高溫的氣體分子運動的動能更大

返回固體：

對于導(dǎo)電固體，自由電子的運動在導(dǎo)熱中起著重要的作用，電的良導(dǎo)體也是熱的良導(dǎo)體對于非導(dǎo)電固體，導(dǎo)熱是通過晶格結(jié)構(gòu)的振動，即原子、分子在其平衡位置附近的振動來實現(xiàn)的2.1.2溫度場一、溫度場定義 也稱溫度分布，是各個時刻物體中由各點溫度所組成的集合。一般情況下，物體的溫度場是空間坐標(biāo)和時間的函數(shù)，即等溫面（等溫線）：同一時刻、溫度場中所有溫度相同的點連接起來所構(gòu)成的面。三、溫度場表示按溫度場是否隨時間變化，分為穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)溫度場非穩(wěn)態(tài)溫度場：溫度隨時間變化的溫度場，其中的導(dǎo)熱稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)溫度場：溫度不隨時間變化的溫度場，其中的導(dǎo)熱稱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱按影響溫度場的空間維數(shù)的不同，分為一維、二維和三維溫度場二、溫度場分類反映導(dǎo)熱熱流量和導(dǎo)熱體溫度分布關(guān)系的公式是法國科學(xué)家傅里葉提出的，故稱為傅里葉定律。它是一個實驗定律，和熱力學(xué)第一定律一起構(gòu)成了采用理論分析方法求解導(dǎo)熱問題的理論基礎(chǔ)。熱流密度是矢量，描述某點熱流密度矢量的傅里葉定律一般形式為：傅里葉定律說明，在導(dǎo)熱過程中，單位時間內(nèi)通過導(dǎo)熱體內(nèi)某處的熱流密度矢量，方向與該處溫度梯度方向相反，數(shù)值大小正比于該處沿法線方向的溫度變化率是過該點的等溫線上的法向單位矢量，指向溫度升高方向，它與該點溫度梯度矢量方向相同（溫度升高最劇烈方向可用溫度梯度向量表示）。2.1.3導(dǎo)熱基本定律在直角坐標(biāo)系中，溫度梯度矢量可以表示為：i,j,k分別為直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸方向的單位向量在直角坐標(biāo)系中，傅里葉定律的矢量形式可以表示為：在一維情況下，傅里葉導(dǎo)熱定律可以寫成：傅里葉定律適用范圍：除了對溫度極低（接近0K）、傳熱時間極短（與材料本身的固有時間尺度接近）、導(dǎo)熱體的空間尺度極?。ㄅc微觀粒子的平均自由行程接近）的情況不能使用外，對其它導(dǎo)熱問題均能使用。不管導(dǎo)熱體的形狀、是否穩(wěn)態(tài)、是否有內(nèi)熱源等。這也是傅里葉定律稱為導(dǎo)熱基本定律的原因。2.1.4導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)是材料的固有屬性，即物性。其大小取決于材料的種類和溫度。除各向異性材料外，與材料的形狀大小等幾何因素?zé)o關(guān)。記住20℃幾種典型材料的導(dǎo)熱系數(shù)量級，單位：W/(m.℃)純銅：碳鋼：水：粘土實心磚：干空氣：保溫材料：《GB/T4272-92設(shè)備及管道保溫技術(shù)通則》規(guī)定W/(m.℃)溫度<=350℃時常用保溫材料：礦渣棉、硅藻土、巖棉板、巖棉玻璃布、膨脹珍珠巖。保溫材料一般是多孔材料，應(yīng)注意防水并且保持高的蓬松性返回導(dǎo)熱系數(shù)大小的定性比較：8(1)λ金屬

λ非金屬(2)λ純金屬

λ其合金合金：金屬中摻入任何雜質(zhì)將破壞晶格的完整性，干擾自由電子的運動。導(dǎo)電性能好的金屬,其導(dǎo)熱性能也好。(3）同種物質(zhì),

λ固

λ液

λ氣（4）同種物質(zhì),

λ濕

λ干（5）同種物質(zhì),

λ實心

λ多孔9

（6）一般地,所有物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)都是溫度的函數(shù)。溫度范圍變化不大時,絕大多數(shù)材料的熱導(dǎo)率可以近似地認為隨溫度線性變化,表示為熱導(dǎo)率λ與溫度t

的關(guān)系

溫度對導(dǎo)熱系數(shù)的影響

思考題：分析雙層玻璃、潮濕被子、空心磚的保溫特性傳熱學(xué)張克舫2.2導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫2.2.1導(dǎo)熱微分方程2.2.2定解條件2.2.3熱擴散率的物理意義2.2.4導(dǎo)熱微分方程的適用范圍返回傳熱學(xué)張克舫2.2.1導(dǎo)熱微分方程確定導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布是導(dǎo)熱理論的首要任務(wù)。傅里葉定律：確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場:112、推導(dǎo)基本方法：傅里葉定律+能量守恒定律1、假設(shè)：物質(zhì)是均質(zhì)且各向同性；比熱容和密度為常數(shù)；物體中進行純導(dǎo)熱；物體內(nèi)具有均勻的內(nèi)熱源，內(nèi)熱原強度[W/m3]。一、直角坐標(biāo)中的導(dǎo)熱微分方程式在導(dǎo)熱體中取一微元體進入微元體的總能量+微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的能量-離開微元體的總能量=微元體內(nèi)儲存能的增加12

d時間段內(nèi)：沿x軸方向、經(jīng)x表面導(dǎo)入的能量13沿x軸方向、經(jīng)x+dx表面導(dǎo)出的能量：對Φx+dx在x的dx鄰域內(nèi)作泰勒級數(shù)展開，可以得到同理

整理得到：導(dǎo)熱微分方程式、導(dǎo)熱過程的能量方程1、如為常數(shù)，則有：稱為熱擴散率或?qū)叵禂?shù)式中，二、導(dǎo)熱微分方程的簡化2、常導(dǎo)熱系數(shù)且無內(nèi)熱源

4、常物性穩(wěn)態(tài)且無內(nèi)熱源3、常物性且穩(wěn)態(tài):5、一維穩(wěn)態(tài)常物性且無內(nèi)熱源三、其它正交坐標(biāo)系下的形式柱坐標(biāo)系:球坐標(biāo)系:返回17導(dǎo)熱微分方程式是能量守恒定律在導(dǎo)熱過程中的應(yīng)用，是一切導(dǎo)熱過程的共性，是通用表達式。完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程+定解條件2.2.2定解條件定解條件包括初始條件和邊界條件兩大類，穩(wěn)態(tài)問題無初始條件初始條件：初始時刻的狀態(tài)表示為：

=0，t=f(x,y,z)邊界條件：給出了物體在邊界上與外界環(huán)境之間在換熱上的聯(lián)系或相互作用

（１）第一類邊界條件：直接給出了導(dǎo)熱物體在邊界上的溫度最簡單的第一類邊界條件是邊界上的溫度保持恒定不變，即18

（2）第二類邊界條件：給出了導(dǎo)熱物體在邊界上的熱流密度分布如果邊界面上的熱流密度保持為常數(shù)，則當(dāng)邊界上的熱流密度為零時，稱為絕熱邊界條件

（3）第三類邊界條件給出了物體在邊界上與和它直接接觸的流體之間的換熱狀況。

根據(jù)能量守恒，有：

熱擴散率越大，說明物體導(dǎo)熱能力越強，而物體蓄熱能力越小，因此物體內(nèi)部溫度扯平的能力越大。a越大，材料中溫度變化傳播越迅速，因此a是反映材料傳播溫度變化能力大小的一個物性指標(biāo)，也稱導(dǎo)溫系數(shù)2.2.3熱擴散率的物理意義返回2.2.4導(dǎo)熱微分方程的適用范圍導(dǎo)熱微分方程和傅里葉定律的適用范圍基本一致，對超低溫、超極速及微尺度傳熱不能適用。本書中的導(dǎo)熱微分方程對于木材、石墨等各向異性材料不能適用。一般我們工程上遇到的各向同性連續(xù)介質(zhì)導(dǎo)熱問題導(dǎo)熱微分方程均適用2.3典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解2.3.1通過平壁的導(dǎo)熱2.3.2通過圓筒壁的導(dǎo)熱2.3.3通過球殼的導(dǎo)熱2.3.4帶第二、三類邊界條件的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題2.3.5變截面或變導(dǎo)熱系數(shù)的一維問題

例題講解返回傳熱學(xué)張克舫求解導(dǎo)熱問題的一般步驟確定導(dǎo)熱問題的類型（物理描述）導(dǎo)熱問題類型一般從六個方面來確定：坐標(biāo)系類型、維數(shù)、穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)、是否常物性、是否有內(nèi)熱源、邊界條件類型建立導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)描述）對導(dǎo)熱微分方程根據(jù)導(dǎo)熱問題的具體類型進行簡化從而得到導(dǎo)熱控制方程，寫出單值性條件（初始條件和邊界條件）數(shù)學(xué)模型求解（解常微分或偏微分方程）利用數(shù)學(xué)方法求解導(dǎo)熱問題數(shù)學(xué)模型，得到導(dǎo)熱體內(nèi)溫度分布；根據(jù)傅里葉定律進一步根據(jù)得到的溫度分布求出通過導(dǎo)熱體的熱流量對求解結(jié)果進行有關(guān)分析討論22厚的大平壁，無內(nèi)熱源，兩側(cè)溫度不同且分別均勻并保持不變，一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。大平壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱研究平壁導(dǎo)熱的基本任務(wù)是：

（1）計算通過平壁的導(dǎo)熱量Φ（2）確定平壁內(nèi)的溫度分布

t=f(x)

2.3.1通過平壁的導(dǎo)熱一、通過單層平壁的導(dǎo)熱問題1、問題物理描述：直角坐標(biāo)系一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源、第一類邊界條件２、問題數(shù)學(xué)描述控制方程：邊界條件：3、模型求解：熱流密度為：（溫度分布為線性變化）導(dǎo)熱體中熱流量與位置x無關(guān)方程積分兩次得通解：代入邊界條件得積分常數(shù)值：導(dǎo)熱體內(nèi)溫度分布為：通過導(dǎo)熱體熱流量：25二、多層平壁三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱房屋的墻壁—白灰內(nèi)層、水泥沙漿層、紅磚（青磚）主體層等組成。多層平壁：由幾層不同材料組成。假設(shè)各層之間接觸良好，可以近似地認為接合面上各處的溫度相等1.如何計算層間的壁溫tw2、tw3？2.多層平壁的溫度分布形狀？3.哪層溫度變化平緩？

三、邊界條件為第二、三類邊界條件的問題如果沒有內(nèi)熱源，上述問題其實就是一個傳熱過程的問題，可以用熱阻分析法來求解。如果有內(nèi)熱源，則應(yīng)當(dāng)重新建立和求解數(shù)學(xué)模型，2.5節(jié)有相應(yīng)例題27若導(dǎo)熱系數(shù)λ

=f(t)，如四、變導(dǎo)熱系數(shù)λm為平壁平均導(dǎo)熱系數(shù)，

28解：通過平底鍋的導(dǎo)熱可看作是無限大平壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。

結(jié)垢前，只有一層鋁鍋底，導(dǎo)熱熱流密度為結(jié)垢后，鍋底的內(nèi)外表面分別結(jié)有水垢和煙炱，熱流密度為結(jié)垢前后熱流密度之比為

例題用厚1.5mm的平底鋁鍋燒水，鍋底的內(nèi)、外表面分別結(jié)了一層0.2mm厚的水垢和0.1mm厚的煙炱。若溫差不變，試問鍋底結(jié)垢后的導(dǎo)熱量變化了多少？已知鋁、水垢和煙炱的導(dǎo)熱系數(shù)分別為λ=200W/(mK)、λ1=1.5W/(mK)和λ2=0.1W/(mK)。

29管長度為l，圓管內(nèi)、外壁面溫度分別維持均勻恒定，圓筒壁的外半徑小于長度的1/10，近似為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2.3.2通過圓筒壁的導(dǎo)熱一、通過單層圓筒壁的導(dǎo)熱問題1、問題物理描述 柱坐標(biāo)系下的一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源、第一類邊條導(dǎo)熱問題2、問題數(shù)學(xué)描述控制方程：邊界條件：故溫度分布:3、模型求解：代入邊界條件解得：思考：t1大于t2和t1小于t2兩種情形的溫度分布曲線形狀有何不同？方程積分兩次得:圓筒壁內(nèi)的溫度分布為對數(shù)函數(shù)關(guān)系變化計算公式:熱流量可以用Fourier定律對任意半徑處求解得到:長l的圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻33單位管長的熱流量，記作ql，單位W/m顯然，溫度呈對數(shù)曲線分布圓筒壁內(nèi)溫度分布曲線的形狀？圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱34由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁，其導(dǎo)熱熱流量可按總溫差和總熱阻計算通過單位長度圓筒壁的熱流量為

多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

二、通過多層圓筒壁的導(dǎo)熱問題三、邊界條件為第二、三類邊界條件的問題如果沒有內(nèi)熱源，上述問題其實就是一個傳熱過程的問題。如果有內(nèi)熱源，則應(yīng)當(dāng)重新建立和求解數(shù)學(xué)模型，2.5節(jié)有相應(yīng)例題控制方程：邊界條件：四、變導(dǎo)熱系數(shù)無內(nèi)熱源的多層圓筒壁導(dǎo)熱當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)時，如果要求熱流量，只要取計算區(qū)域平均溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)值作為常導(dǎo)熱系數(shù)時熱流量計算公式中的導(dǎo)熱系數(shù)，能得到的熱流量計算結(jié)果是精確的。返回2.3.3通過球殼的導(dǎo)熱一、問題物理描述球坐標(biāo)系下一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內(nèi)熱源、第一類邊條導(dǎo)熱問題二、問題數(shù)學(xué)描述：控制方程：邊界條件：溫度分布:三、模型求解結(jié)果：熱流量:導(dǎo)熱熱阻:返回2.3.4帶第二類、第三類邊界條件的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題方法前面已介紹，教材中內(nèi)容自己學(xué)習(xí)。如無內(nèi)熱源，則也可采用熱阻分析法來求解熱流量。返回前面的例子都是按照分析法求解導(dǎo)熱問題的一般步驟來進行求解的對于沿導(dǎo)熱方向熱流量為常數(shù)的一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源導(dǎo)熱問題，也可以不從導(dǎo)熱微分方程簡化得到控制方程，而直接根據(jù)熱力學(xué)第一定律和傅里葉定律建立問題的控制方程；然后，不用求解溫度分布，直接分離變量積分得出熱流量大小。該方法(積分傅里葉定律)對于變導(dǎo)熱系數(shù)問題及沿導(dǎo)熱方向?qū)崦娣e變化的問題非常有效。（用常規(guī)方法求解這兩類問題時比較麻煩）注意：一維導(dǎo)熱問題的核心是導(dǎo)熱體內(nèi)溫度僅沿一個坐標(biāo)軸方向變化，而不用考慮是否幾何形狀是否為一維2.3.5變截面或變導(dǎo)熱系數(shù)的一維問題一、問題物理描述：二、問題數(shù)學(xué)描述：三、模型求解：采用分離變量法積分得到：變截面積一維、穩(wěn)態(tài)、變物性、無內(nèi)熱源、第一類邊條導(dǎo)熱問題四、對于導(dǎo)熱面積不變的變導(dǎo)熱系數(shù)問題：當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)是溫度函數(shù)時，如果要求熱流量，只要取計算區(qū)域平均導(dǎo)熱系數(shù)值作為常導(dǎo)熱系數(shù)時熱流量計算公式中的導(dǎo)熱系數(shù)，得到的熱流量計算結(jié)果是精確的。當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)時，計算區(qū)域平均導(dǎo)熱系數(shù)容易得出。先求出計算區(qū)域的算術(shù)平均溫度，然后以該溫度得出的導(dǎo)熱系數(shù)便為計算區(qū)域的平均導(dǎo)熱系數(shù)思考：對于導(dǎo)熱面積不變的變導(dǎo)熱系數(shù)問題，如何求解導(dǎo)熱體內(nèi)溫度分布？如何定性分析導(dǎo)熱體內(nèi)溫度分布（設(shè)t1>t2）？b>0時，溫度曲線上凸b=0時，溫度曲線為直線b<0時，溫度曲線下凹思考：如何得出導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布規(guī)律？如何定性分布導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布規(guī)律？五、對于導(dǎo)熱面積變化的常導(dǎo)熱系數(shù)問題：如果已知A(x)的函數(shù)關(guān)系，則通過積分可以得出熱流量大小返回返回2.4通過肋片的導(dǎo)熱肋片是依附于基礎(chǔ)表面上的擴展表面，其作用是增加對流傳熱的面積。計算肋片對流傳熱量的關(guān)鍵是確定肋片高度方向的溫度分布，因此肋片的計算屬于導(dǎo)熱問題研究范疇2.4.1通過等截面直肋的導(dǎo)熱2.4.2肋效率與肋面總效率一、問題物理描述已知條件：肋片的高度H、厚度δ和寬度L；周圍流體溫度t∞及肋片與周圍流體的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h；肋片根部溫度t0（設(shè)t0>t∞）。求取：肋片內(nèi)的溫度分布及肋片與周圍流體的對流傳熱量2.4.1通過等截面直肋的導(dǎo)熱導(dǎo)熱體內(nèi)溫度不隨時間變化，即穩(wěn)態(tài)在任一肋片截面上沿寬度和厚度方向溫度認為均勻，肋片內(nèi)溫度僅沿高度方向變化，即為一維導(dǎo)熱問題材料的導(dǎo)熱系數(shù)、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)及沿肋高方向截面積均為常數(shù)肋片頂端可視為絕熱在肋片高度方向上取一微元體，在單位時間內(nèi)對該微元體進行熱平衡分析。二、問題數(shù)學(xué)描述由于肋片的側(cè)面與周圍流體進行對流傳熱，故與一般的一維導(dǎo)熱問題控制方程推導(dǎo)方法有所不同。兩種辦法解決：一是直接根據(jù)熱平衡和傅里葉定律建立肋片導(dǎo)熱的控制方程；二是將肋片側(cè)面的對流傳熱用一個假想的內(nèi)熱源來代替。我們用第一種方法來推導(dǎo)，教材采用了第二種方法，自己閱讀。x處導(dǎo)入熱量-(x+dx)處導(dǎo)出熱量-控制體側(cè)面對流散熱量=控制體熱力學(xué)能增量x處導(dǎo)入熱量:控制體熱力學(xué)能增量:0x+dx處導(dǎo)出熱量:代入熱平衡方程得微分方程：控制體側(cè)面對流散熱量：x處導(dǎo)入熱量-(x+dx)處導(dǎo)出熱量-控制體側(cè)面對流散熱量=控制體熱力學(xué)能增量該方程為二階非齊次常微分方程，為轉(zhuǎn)變?yōu)辇R次方程，引入過余溫度邊界條件:并令：得到控制方程：方程通解:代入邊界條件，得到積分常數(shù):三、分析求解肋片中的溫度分布為:肋片散熱量:肋片散熱量方法可采用不同的方法，結(jié)果相同肋片內(nèi)溫度分布:上述肋片內(nèi)溫度分布及散熱量結(jié)果對于t0<t∞的情況也完全適用。當(dāng)肋端為第三類邊界條件時，邊界條件變?yōu)?仍按照肋端絕熱公式計算肋片散熱量，但用一個折合的肋片高度來取代實際的肋片高度。肋片折合高度為：可以采用與肋端為絕熱邊界條件時類似的方法來計算肋片散熱量。另外一種工程上采用的近似處理方法如下：該方法思想是認為肋端仍然絕熱，而把肋端的散熱量折合到肋片側(cè)面四、考慮肋端散熱時肋片散熱量的計算五、解的應(yīng)用如何減小測溫套筒的測量誤差根據(jù)公式：要想減少測溫誤差，即減少(tH-tf)，應(yīng)降低(t0-tf)，同時加大ch(mH)。1、增加t0，可以降低(t0-tf)2、雙曲余弦是遞增函數(shù)，因此應(yīng)當(dāng)加大m和H

加大m，可以通過降低導(dǎo)熱系數(shù)和測溫套筒截面積(厚度），以及加大h和P來實現(xiàn)返回2.4.2肋效率肋效率定義：肋片的實際散熱量可以表示為:對于截面形狀比較復(fù)雜的肋片，其肋效率計算結(jié)果已經(jīng)被整理為線算圖，如教材中圖2-19、2-20所示。根據(jù)肋片的有關(guān)幾何及工作條件可以查得肋片效率，從而計算出肋片散熱量從圖中可知，肋片越高，肋效率越低。這說明材料的利用效率隨肋高的增加而降低。因此，一般肋片不能太長返回2.5具有內(nèi)熱源的一維導(dǎo)熱問題2.5.1具有內(nèi)熱源的平板導(dǎo)熱2.5.2具有內(nèi)熱源的圓柱體導(dǎo)熱返回2.5.1具有內(nèi)熱源的平板導(dǎo)熱直角坐標(biāo)系下一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、有內(nèi)熱源，兩側(cè)為第三類邊界條件。由于對稱性，可只取一半導(dǎo)熱體進行分析，