第20章貝塞爾函數(shù)柱函數(shù)

在用分離變量法一章介紹了拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下分離變量得到了一種特殊類型的常微分方程:貝塞爾方程．第二十章貝塞爾函數(shù)柱函數(shù)

通過冪級數(shù)解法得到了另一類特殊函數(shù)，稱為貝塞爾函數(shù)．

貝塞爾函數(shù)具有一系列性質(zhì)，在求解數(shù)學(xué)物理問題時主要是引用貝塞爾函數(shù)的正交完備性．20.1貝塞爾方程及其解20.1.1貝塞爾方程

拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下的分離變量得出了一般的貝塞爾方程?？紤]固定邊界的圓膜振動，可以歸結(jié)為下述定解問題

（20.1.1）

其中為已知正數(shù)，為已知函數(shù)．

這個定解問題宜于使用柱坐標(biāo)，從而構(gòu)成柱面問題．（由于是二維問題，即退化為極坐標(biāo)）設(shè)

對泛定方程分離變量（?。┑?/p>

（20.1.2）（20.1.3）再令

，得到

(20.1.4)

（20.1.5）

令

于是(20.1.5)得到

（20.1.6）邊界條件為方程（20.1.6）稱為階貝塞爾微分方程．這里和可以為任意數(shù)．20.1.2

貝塞爾方程的解通過數(shù)學(xué)物理方程的冪級數(shù)求解方法可以得出結(jié)論：

（1）當(dāng)整數(shù)時，貝塞爾方程(20.1.6)的通解為

（20.1.7）

其中

為任意常數(shù)，

定義為階第一類貝塞爾函數(shù)

但是當(dāng)

整數(shù)時，有

故上述解中的

與是線性相關(guān)的，所以(20.1.7)成為通解必須是整數(shù).

（2）當(dāng)取任意值時：定義第二類貝塞爾函數(shù)，這樣貝塞爾方程的通解可表示為

（20.1.8）

(3)當(dāng)取任意值時：由第一、二類貝塞爾函數(shù)還可以構(gòu)成線性獨立的第三類貝塞爾函數(shù)

，又稱為漢克爾函數(shù)．

（20.1.9）

分別將稱為第一種和第二種漢克爾函數(shù)．

于是貝塞爾方程的通解又可以表示為

（20.1.10）

最后，總結(jié)階貝塞爾方程的通解通常有下列三種形式：

（i）整數(shù)）

（ii）可以取任意數(shù)）

（iii）可以取任意數(shù)）

20.2三類貝塞爾函數(shù)的表示式及性質(zhì)20.2.1第一類貝塞爾函數(shù)的表示式第一類貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表示式為

（20.2.1）式中

是伽馬函數(shù)．滿足關(guān)系

當(dāng)為正整數(shù)或零時，當(dāng)取整數(shù)時

所以當(dāng)

整數(shù)時，上述的級數(shù)實際上是從的項開始，即

(20.2.2)而

(20.2.3)所以

（20.2.4）同理可證

（20.2.5）

因此有重要關(guān)系

（20.2.6）可得幾個典型的貝塞爾函數(shù)表示式

當(dāng)x很小時，保留級數(shù)中前幾項，可得

（20.2.7）

特別是

(20.2.8)當(dāng)x很大時

（20.2.9）例20.2.1試證半奇階貝塞爾函數(shù)證明：由公式(20.2.1)有

而

故

同理可證

20.3貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)20.3.1貝塞爾函數(shù)的遞推公式

由貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表達式（20.2.1）容易推出

(20.3.1)

(20.3.2)以上兩式都是貝塞爾函數(shù)的線性關(guān)系式.

諾伊曼函數(shù)和漢克爾函數(shù)也應(yīng)該滿足上述遞推關(guān)系

若用代表階的第一或第二或第三類函數(shù),總是有

(20.3.3)

(20.3.4)把兩式左端展開,又可改寫為

(20.3.5)

(20.3.6)從(20.3.5)和(20.3.6)消去或消去可得

即為從和推算的遞推公式.上式也可以寫成為

（20.3.7）

（20.3.8）

任一滿足一組遞推關(guān)系的函數(shù)統(tǒng)稱為柱函數(shù)

例20.3.1

證明柱函數(shù)滿足貝塞爾方程【證明】以滿足（20.3.7）和（20.3.8）這一組遞推公式來進行證明：將(20.3.7)與（20.3.8）相加或相減消去或分別得到

(20.3.9)

（20.3.10）將(20.3.9)式中的換成，得到

（20.3.11）將（20.3.10）代入上式，立即得到

滿足階貝塞爾方程．例20.3.2求

【解】根據(jù)公式(20.3.8)

有

例20.3.3證明下式成立

(20.3.17)特別是

(20.3.18)【證明】利用遞推公式(20.3.2)即

，令則兩邊積分，故得到其中取，即為（22.3.18）式。20.3.2貝塞爾函數(shù)與本征問題

拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下的分離變量，得到了方程(14.6.7)即

（20.3.19）

在自然周期邊界條件下，取整數(shù)，其它情況下可取任意復(fù)數(shù)

對另一本征值分三種情況：，和進行討論：

（１）．方程（20.3.19）是歐拉方程；

（２）．作代換

，則得到

（20.3.21）

即為階貝塞爾(Bessel)方程．（３）．記，以代入，并作代換則方程化為

(20.3.22)

這叫作虛宗量貝塞爾方程．如把貝塞爾方程（20.3.22）的宗量改成虛數(shù)，就

成了方程（20.3.21）

貝塞爾方程本征值問題（即本征值的情況）：

1.第一類邊界條件的貝塞爾方程本征值問題

(20.3.23)根據(jù)圓柱的周期性邊界條件，則方程（20.3.23）中的

上述方程(20.3.23)可進一步化為施—劉型本征值問題的形式

(20.3.24)

相應(yīng)于施－劉型方程中的

故施－劉型本征值問題的結(jié)論對于貝塞爾方程的本征值問題也成立．貝塞爾方程(20.3.24)的通解為

(20.3.25)

若用表征的第個正根，于是本征值

(20.3.26)代入邊界條件決定本征值及本征函數(shù)．因為故又，要，則必須則就是決定本征值的方程.施－劉型本征值問題的結(jié)論

(1)本征值存在，且都是非負的實數(shù)；(2)本征值可編成單調(diào)遞增的序列本征值即(20.3.27)本征函數(shù)(20.3.28)（3）對于每一個本征值

有一個相應(yīng)的本征函數(shù)

且本征函數(shù)在區(qū)間上有個零點

若在區(qū)間

（4）即，則貝塞爾函數(shù)有無窮個零點．的零點與的零點是彼此相間分布的，即的任意兩個相鄰零點之間必有且僅有一個的零點

（5）以

(6)零點還可以用下面的公式計算表示的第n個正零點，則，即幾乎是以為周期的周期函數(shù)．其中

2.第二類齊次邊界條件

這個條件就是（20.3.30）對于

不過，

，則本征值

(20.3.31)其中是的第個零點.的零點在一般的數(shù)學(xué)用表中并未列出.的特例還是容易得到的：由公式(20.3.12)得到這樣，

至于

的零點不過就是的零點，可從許多數(shù)學(xué)用表中查出．的情況,的零點可以利用遞推公式(20.3.8)這樣的零點可從曲線和的交點得出．對于

其中的情況,的零點還可以用下面的公式計算：＝

這個條件就是

(3)第三類齊次邊界條件記并引用（20.3.5）可將上式改寫為

，其中

所以本征值是方程（20.3.33）的第N個根

20.3.3貝塞爾函數(shù)正交性和模1．正交性對應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)分別滿足將(20.3.34)乘以

,將(20.3.35)乘以(20.3.34)（20.3.33）兩式相減，再積分，利用分部積分法得到故當(dāng)2．貝塞爾函數(shù)的模

(20.3.36)為了用貝塞爾函數(shù)作基進行廣義傅立葉級數(shù)展開，需要先計算貝塞爾函數(shù)的模(20.3.37)注意

對于把記為記作=

(20.3.38)第一類齊次邊界條件

則式（20.3.38）成為

(20.3.39)以（20.3.5）代入上式，并且考慮到第一類齊次邊界條件

故得（20.3.40）第二類齊次邊界條件

（20.3.38）成為

（20.3.41）第三類齊次邊界條件

(20.3.38)成為（20.3.42）20.3.3廣義傅立葉－貝塞爾級數(shù)按照施－劉型本征值問題的性質(zhì)，本征函數(shù)族

是完備的，可作為廣義傅立葉級數(shù)展開的基．定義在區(qū)間上的函數(shù)可以展開為廣義的傅立葉－貝塞爾級數(shù)（20.3.43）其中廣義傅氏系數(shù)

(20.3.44)例20.3.4

在區(qū)間

上，以為基，把函數(shù)（常數(shù)）展開為傅里葉－貝塞爾級數(shù).說明：

其中是本征函數(shù)對應(yīng)的本征值.【解】根據(jù)(20.3.43)和(20.3.44)

則其中系數(shù)這里的

由第一類邊界條件所對應(yīng)的模公式(20.3.40)給出．本征值

而是0階貝塞爾函數(shù)

的第個零點，可由貝塞爾函數(shù)表查出．這樣令

，則故20.3.4貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)

（生成函數(shù)）1.母函數(shù)（生成函數(shù)）考慮解析函數(shù)在

內(nèi)的羅朗展式.注意

此處的為參變數(shù)，不是復(fù)變數(shù)的實部.， 對于固定的

，以上兩級數(shù)在

內(nèi)是可以相乘的，且可按任意方式并項．稱

2.平面波用柱面波的形式展開(20.3.45)為貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)（或生成函數(shù)）．式（20.3.45）

這公式是函數(shù)

的傅氏余弦展開式．

（20.3.46）當(dāng)

（20.3.46）式可以理解為用柱面波來表示平面波，并可寫為為實數(shù)時，在物理意義上,

3.加法公式利用母函數(shù)公式

比較兩邊的

4．貝塞爾函數(shù)的積分表達式項的系數(shù)，即得加法公式(20.3.49)利用母函數(shù)公式(20.3.30)和羅朗展式的系數(shù)表達式，得到是圍繞點的任意一條閉曲線．如果取

從而得到

為單位圓，則在上，有（20.3.50）其中積分式中的的項已被省去.因為在

20.4虛宗量貝塞爾方程上其積分為零．式(20.3.35)就是整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的積分表達式．時，有20.4.1虛宗量貝塞爾方程的解

在前面一節(jié)中，我們提到拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下的

虛宗量貝塞爾方程也稱為修正貝塞爾方程．分離變量方程，在的情況下，應(yīng)滿足虛宗量貝塞爾方程即為（20.3.22）式(20.4.1)若令，代入上方程得到貝塞爾方程形式

令(20.4.2)即可得到虛宗量貝塞爾方程(20.4.1)的解.定義虛宗量貝塞爾方程的解具有下列形式式中的引入是為了確保是實函數(shù).利用的級數(shù)形式(20.2.1)(20.4.4)稱為

討論

階第一類虛宗量貝塞爾函數(shù).也稱為第一類修正貝塞爾函數(shù)(1)當(dāng)整數(shù)時，方程(20.4.1)的通解為

(20.4.5)為任意常數(shù).(2)當(dāng)取任意值時：由于任意值中可能包含整數(shù).根據(jù)

線性相關(guān)因此要求方程(20.4.1)的通解，必須先求出與線性無關(guān)的另一特解.為此我們定義(20.4.6)為

又稱為麥克唐納(Macdonale)函數(shù)，

或第二類修正貝塞爾函數(shù)．

這樣定義后，不管是否為整數(shù)，和一起總能構(gòu)成虛宗量貝塞爾方程(20.4.1)的兩個線性無關(guān)的通解．故得到當(dāng)取任意值時球貝塞爾方程的通解為（

任意值）

其中是兩任意常數(shù)．階第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)，

20.4.2第一類虛宗量貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)

由第一類虛宗量貝塞爾函數(shù)的級數(shù)形式（20.4.4）知

奇數(shù)為奇函數(shù)偶數(shù)為偶函數(shù)(20.4.8)（1）特殊值

所有的項都是正的．

（2）由級數(shù)表達式知，當(dāng)是大于零的實數(shù)時，

沒有實零點;(3)遞推公式(20.4.9)

20.4.2第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)整數(shù)時的級數(shù)形式：

根據(jù)定義式(20.4.5)，給出當(dāng)(20.4.10)是歐拉常數(shù).遞推公式：

(20.4.11)20.5球貝塞爾方程20.5.1.球貝塞爾方程用球坐標(biāo)系對亥姆霍茲方程進行分離變量，得球貝塞爾方程(14.4.25)即

(20.5.1)稱為階球貝塞爾方程．

因為對于

把自變量

和函數(shù)分別換作和，令

則(20.5.2)即為（

）階貝塞爾方程．而對于

，方程(20.5.1)即為

歐拉型方程,解為

20.5.2球貝塞爾方程的解

根據(jù)并貝塞爾方程(20.5.2）的解，可得球貝塞爾方程(20.5.1)的兩個線性獨立解為或再將它們每一個乘以

即得到下列定義：

(20.5.3)稱之為球貝塞爾方程的解，并且稱

第三類球貝塞爾函數(shù)或球漢克爾函數(shù)可定義為

為第一類球貝塞爾函數(shù)，為第二類球貝塞爾函數(shù)或球諾依曼函數(shù)．

(20.5.4)球貝塞爾方程的通解為或

(20.5.5)(20.5.6)其中為兩個任意實數(shù)

20.5.3球貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表示根據(jù)球貝塞爾函數(shù)的定義式和貝塞爾函數(shù)