第一章引力場論xiu

第一章引力場§

1.1萬有引力定律與引力場強度1、萬有引力定律萬有引力定律表述式k是引力常數(shù)，其值為

Z

萬有引力定律表明，兩個質(zhì)點間的作用力大小與質(zhì)點質(zhì)量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線。

兩質(zhì)點之間的作用力符合牛頓第三定律。

萬有引力定律只能直接用于質(zhì)點。所謂質(zhì)點，是指當物體的線度遠小于它們之間的距離時，將其質(zhì)量集中于一點的理想化模型。兩個物體之間的作用力和反作用力，總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上.力不能離開物體單獨存在。2、引力場強度

用引力場強度來描述引力場。定義：場中某點的場強度等于一單位質(zhì)點在該處所受到的力。

特點：僅是坐標函數(shù)，與試探質(zhì)點（質(zhì)量很少，幾何尺度很?。o關(guān)。由萬有引力定律，在點質(zhì)量m的場中與m相距r處，試探質(zhì)點受到的引力為3、點質(zhì)量場強度注：力不是質(zhì)點本身而是它們的場的作用。（用場的觀念去理解）4、場強疊加原理對于離散的質(zhì)點系，由場強疊加原理有對于體分布的質(zhì)量，可將其視為一系列質(zhì)點的疊加，把質(zhì)量體積V分成無數(shù)個dv，則(1)觀察點P在質(zhì)量體外對整個體積積分得思考：場強在X,Y,Z三軸上投影Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為什么？(2)觀察點P在質(zhì)量體內(nèi)或邊界上P點周圍一變域V0，徑度為去除奇點后V-V0則為P點外域，則場強度用旁義（廣義）積分定義：可以證明若為連續(xù)函數(shù)，上式為一收斂性之旁義積分。結(jié)論：無論P點在質(zhì)量分布區(qū)以外或以內(nèi)，只要為一連續(xù)函數(shù)，P點的場強總可以用尋常積分或由旁義積分來表示，而旁義積分的極限值完全和尋常積分相同。同理，面質(zhì)量產(chǎn)生的引力場強度為5、引力場分布的幾何描述——引力場線引力場線方程(力線上的線元應(yīng)該平行)引力場線分布★例1求薄球殼的場強§

1.2引力場第一基本定律（場強度的通量和散度）1、質(zhì)點的場強通量

場強度F的通量是這樣規(guī)定的，等于場強度的法線分量面積分

將一點質(zhì)量的場強度公式代入上式，即得規(guī)定立體角的正負號如下：如果從角點看到的是ds的內(nèi)側(cè)，則為正，相反為負。立體角質(zhì)點的場強通量當S為一閉合面時：

這就是引力場強第一定律（高斯定理），其含義為場強矢量F

對于任意一閉合面S的通量S等于S所包圍質(zhì)量的倍。2、任意分布質(zhì)量場強通量其中一組質(zhì)點體分布質(zhì)量代入高斯定理得3、引力場的散度散度的定義所以引力場場強的散度根據(jù)散度定理：結(jié)論：場中每一點上場強度散度只與該點質(zhì)量密度成比例，引力場場源點在場強散度不為零之處?！?/p>

1.3引力場第二基本定律（場強度的環(huán)流和旋度）1、場力所作的功對于單位質(zhì)量，場力作的功為當移動路徑為L

對一質(zhì)點m的場來說2、功與路徑無關(guān)因為式中rA、rB分別表示點質(zhì)量m到路徑L的起點A和終點B的距離。結(jié)論：該式表明點質(zhì)量沿任意路徑在引力場中作的功與路徑的起點和終點位置有關(guān)，而與路徑的形狀無關(guān)。引力場的場強度的環(huán)流等于零，這就是引力場第二定律。引力場第二定律實質(zhì)上是能量守恒定律在引力場的特殊形式。3、場強度的環(huán)流由斯托克斯定理得

式中S是以回路L為周界的任意曲面。4、場強度的旋度引力場的旋度等于零，即引力場是無旋的場。5、引力場的基本方程引力場是無旋的場引力場是有散的場，產(chǎn)生引力場的源是質(zhì)量§

1.4引力場的勢及梯度1、勢的定義或選取無窮遠處為勢為零場中任意P點的勢等于將一單位質(zhì)量從無限遠處移至P點時場力所作的功。勢的特點：A、勢的單值性B、勢的相對性將點質(zhì)量的場強代入勢的定義中，即得點質(zhì)量m的場中任一點P點的勢2、點質(zhì)量的勢或?qū)τ谝毁|(zhì)點組而言，場中任一P點的勢3、體質(zhì)量分布的勢P點在質(zhì)量分布區(qū)域外P點在質(zhì)量分布區(qū)域內(nèi)旁義積分（收斂）當B無限靠近A時，此增量可寫成一微分4、勢的梯度與場強度的關(guān)系

在直角坐標系中，場強度沿坐標軸的三分量應(yīng)為

根據(jù)梯度定義

根據(jù)全微分定義我們有

引力場中任一點的場強F等于該點的勢的梯度

5、等勢面

凡勢之值相等的各點所構(gòu)成的曲面稱為等勢面。

即等勢面上任意兩點間的勢差為零。

而

所以在任意點的F恒與通過該點的等勢面垂直，即力線與等勢面正交。

所以

例題求一點質(zhì)量場的等勢面

設(shè)點質(zhì)量位于直角坐標系原點（0，0，0），則它在任意點P(x,y,z)的勢：

等勢面時其方程為

因而等勢面的方程式為表示球心位于原點的球面方程式，因此點質(zhì)量周圍場中的等勢面為以該質(zhì)點為中心的球面。§

1.5引力場場強通過面分布的連續(xù)性或F1F21、引力場場強法向分量的連續(xù)條件

在面質(zhì)量兩邊相鄰兩點上的場強矢量F的法線分量發(fā)生一突變，其值等于面質(zhì)量密度的引力場法向分量的邊界條件用引力勢可表示為或2、引力場場強度切向分量的連續(xù)條件即此式表明：在任意曲面質(zhì)量兩側(cè)，引力場場強度的切向分量是連續(xù)的。

★例2一均勻圓薄板的場強和勢，面質(zhì)量密度為§

1.6泊松方程和拉普拉斯方程1、泊松方程和拉普拉斯方程因為而所以

若討論的區(qū)域ρ=0（沒有質(zhì)量分布），則泊松方程變?yōu)槔绽狗匠?/p>

在直角坐標系中，

泊松方程2、引力場的邊值問題A、正演問題：已知體密度和面密度時，可根據(jù)邊界條件對泊松方程和拉普拉斯方程求解，確定出場的勢，進而求出場強。B、反演問題：已知場的勢或場強時，可根據(jù)泊松方程來確定場中某點的體質(zhì)量密度及面質(zhì)量密度。正演和反演是地球物理理論研究兩大核心內(nèi)容3、唯一性定理：如果在空間中某一區(qū)域v內(nèi)，各點的質(zhì)量密度和該區(qū)域邊界面S上各點的勢為已知時，那么這個區(qū)域內(nèi)由泊松方程求解的勢是唯一的證明（反證法）：假設(shè)滿足上述條件的解不是唯一的，而是有兩組解U1和U2,只要證明U1=U2即可。設(shè)區(qū)域內(nèi)解不唯一為U1和U2,U’=U1-U2,U1和U2都滿足泊松方程，則設(shè)因為U,V是任意函數(shù)，設(shè)U=V=U’在S面上為已知值，且已知值只有一個，所以S面上U’=U1-U2=0當點由任意方向趨向S面時，U’=c=U’邊界=0如果在空間中某一區(qū)域v內(nèi)，各點的質(zhì)量密度和該區(qū)域邊界面S上各點的場強度為已知時，那么這個區(qū)域內(nèi)由泊松方程求解的場強度是唯一的，但勢可以相差任一常數(shù)S面上場強度為已知，則V內(nèi)地球物理反演具有多解性?例、用泊松方程（拉普拉斯方程）求解均勻質(zhì)量球體的場

解：由于質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ，勢只與離開O點的距離r有關(guān)，即U=U(r)。引入球坐標系，則§

1.7重力場1、重力及重力場的概念

地球的重力主要是由地球內(nèi)部質(zhì)量的萬有引力和因地球自轉(zhuǎn)所引起的離心力二者所決定：即

即：由于離心力的存在，重力一般不指向地心。重力概念中包含了試驗質(zhì)量m的因素，消除m的影響可得重力場強度：重力場強度等于物體受重力產(chǎn)生的重力加速度，其中第一項為引力加速度，第二項為離心力加速度，即

即：重力場強度的變化可以分為在空間上的變化和在時間上的變化。重力在空間上的變化主要表現(xiàn)為：地球不是一個正球體，而是一個近似于兩極壓縮的扁球體，而且地表又是起伏不平的，這將引起約6萬g.u的重力場強度變化（兩極引力大，赤道引力小）；地球的自轉(zhuǎn)也能使重力產(chǎn)生3.4萬g.u的變化（兩極離心力小，赤道離心力大）；地下物質(zhì)密度分布不均勻可產(chǎn)生幾千g.u的重力變化。重力勘探正是利用地下物質(zhì)分布不均勻這一因素所引起的重力變化，來研究地質(zhì)構(gòu)造和達到勘探礦產(chǎn)資源的目的。重力在時間上的變化可以分為短周期變化和長周期變化兩種。短周期變化主要指重力日變。地面上的一點受到太陽，月亮的引力作用，由于地球的自轉(zhuǎn)，地表各點與日月的相對位置不斷改變，日月對這些點的引力的變化引起重力的變化，這種變化不僅可以造成海洋潮汐，還可以引起地殼形變，既所謂的“固體潮”，固體潮使大地水準面發(fā)生位移，這種位移也造成重力的變化。這兩種變化的周期均為一天，其總和