第三章測試信號3

3.3-五離散傅立葉變換DFT上式反應(yīng)了采樣信號與原信號的關(guān)系，如何根據(jù)采樣的離散數(shù)據(jù)來計算信號的頻譜？為了用計算機對信號進行分析，要求信號在時域和頻域都是離散的和有限長度的。時域：采樣轉(zhuǎn)換成離散的；實際中只能對信號采樣有限長的數(shù)據(jù)進行分析，稱為離散時間序列，它是有限長的。頻域：對進行周期延拓，使之在時域上成為周期信號，周期信號的頻譜是離散的；對以上信號采樣前進行濾波，保證帶寬有限（頻域有限長度）；在時域上對N點的采樣信號進行周期延拓，就成為離散的周期信號，在頻域其頻譜也成為離散的周期頻譜。（時域離散<->頻域周期，時域周期<->頻域離散）頻域上的離散化實際上就是將頻域上的橫軸進行了離散化，，T為時域采集周期。DFT：X(k)具有周期性：在一個周期內(nèi)求其逆變換多對信號進行周期延拓時，相當(dāng)于對頻譜進行采樣，使頻譜變成原來的1/T，故應(yīng)乘以T倍。離散傅立葉變換的特性：★離散性：在時域具有重復(fù)周期，故頻譜是離散的?！镏C波性：諧波頻率是基波頻率的整數(shù)倍★周期性：采樣導(dǎo)致其周期性，共有N條譜線有效，前N/2條是主分量，后N/2條是高頻分量。

DFT的計算次數(shù)與FFT4個采樣值根據(jù)DFT變換可知，計算一條譜線需進行N次復(fù)數(shù)乘法和（N-1）次復(fù)數(shù)加法，N條譜線需進行N2次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法，當(dāng)N=4，總計需28次運算。當(dāng)N=1024時，需進行2096068次運算。早期不太可能在實際工程中應(yīng)用。FFT：將長序列的離散傅立葉變換逐次分解成長度較短的序列來計算傅立葉變換，然后按一定的規(guī)律組合起來，得到原來序列的傅立葉變換?！锖喕擞嬎悖嬎懔看蟠鬁p少，減小了計算機字長對乘積結(jié)果舍入誤差，使得計算精度提高了。4DFT的相關(guān)問題（1）DFT的頻率分辨率（2）柵欄效應(yīng)與補零的問題（3）頻譜泄露與周期信號的整周期截短的問題1、DFT的頻率分辨率用DFT對采樣信號進行分析時，相鄰譜線之間的間距為越小，則分析出來的頻譜與原來模擬信號的頻譜越接近，反應(yīng)出對原來信號的分辨率越好。f1=2Hz、f2=2.02Hz、f3=2.07Hz三個頻率，fs=10HzΔf1=0.0390625Hz,Δf2=0.009765Hz；f1-f2=-0.02,f1-f3=-0.07,f2-f3=-0.052、柵欄效應(yīng)與補零計算機采樣根據(jù)采樣頻率fs和采樣點數(shù)N對原信號進行了截短，信號長度為tp=fs*N，并以此長度轉(zhuǎn)化成周期信號。相應(yīng)的原來的連續(xù)頻譜變成離散頻譜，在離散頻譜之間的頻率分量就被擋住了而無法得到，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。如：信號長度為tp=0.5s，可以獲得頻譜頻率為0Hz，2Hz，4Hz，6Hz，8Hz，10Hz…等。如果原來信號中有一個7Hz的頻率分量，就無法檢出。此時就需增加信號的長度到1s的整數(shù)倍或補零。對采樣數(shù)據(jù)補零可以改善柵欄效應(yīng)，補零起到對沒補零的DFT結(jié)果做插值的作用，可以使譜線的外觀得到平滑，改善柵欄效應(yīng)。但是補零并沒改善頻率分辨率，并沒有增加數(shù)據(jù)的有效長度，分辨率是根據(jù)采樣信號的實際長度來決定的，與DFT計算的點數(shù)無關(guān)。補零后的長度是DFT的長度，增加了頻域譜線的點數(shù)，但譜線之間還是同樣存在一定的重疊。補零還經(jīng)常用于把采樣點數(shù)湊成2的整數(shù)次冪，以便于用FFT算法。譜線外觀平滑，克服柵欄效應(yīng)。由于截短造成頻譜泄露，頻譜中出現(xiàn)一些難以確認(rèn)的譜峰，補零可以消除這種現(xiàn)象。細化FFTZOOM-FFT3、頻譜泄露與周期信號的整周期截短問題

由于窗函數(shù)對原信號的截短，導(dǎo)致截短后的信號頻譜中包含了窗函數(shù)旁瓣的頻譜，這就是頻譜的泄露。譜間干擾因截短而使在主譜線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量之間的干擾，稱為譜間干擾。這不僅影響譜分辨率，嚴(yán)重時強信號譜的旁瓣可能淹沒弱信號的主譜線，或者把強信號的旁瓣誤認(rèn)為另外的一個信號的譜線，形成假信號。矩形窗譜線過零點：譜線過零點搬移之后譜線過零點為當(dāng)某一頻率分量的輸出譜線中除主分量外其他輸出譜線均為0，則在與其他頻率分量輸出譜線疊加時不會引起其失真。即過零點譜線的頻率等于輸出譜線的頻率。即為了防止產(chǎn)生泄漏，應(yīng)使窗的寬度為信號周期T的整數(shù)倍。

★如果對信號分析中選擇的采樣頻率和截取的信號長度不合適，就會導(dǎo)致分析結(jié)果不是實際的頻譜，而是泄露的頻譜。頻譜的泄漏主要是矩形窗邊界的突變特性造成的，這種突變在頻域就會產(chǎn)生高頻成分。如果用其它類型的邊緣較平緩的窗函數(shù)（如海寧窗、海明窗、三角窗等）來代替矩形窗，可以使高頻分量減弱，從而減少由于泄漏產(chǎn)生的誤差。(矩形窗主瓣與第一旁瓣的幅度比為100:25，海寧窗為100:2.5,但是海寧窗的主瓣寬度是矩形窗的兩倍)但在N一定時，旁瓣越小的窗主瓣越寬，頻譜變得“模糊”，這就使減小譜間干擾與提高譜分辨率矛盾，只能折衷。例：設(shè)余弦信號的頻率為f0＝100Hz，以下采用不同的采樣頻率fs（或采樣周期Ts）和截取不同的信號長度T（或采樣點數(shù)N）對其進行分析。⑴設(shè)Ts＝78.125μs,N=256，則：窗的寬度＝NTs＝20ms；譜線間距；譜線的過零點為：0、50、150、200…（Hz）；輸出的譜線：0、50、100、150、200，…（Hz）共計256條；

100Hz余弦信號的譜線在輸出譜線之列，故2次諧波的輸出即是所分析的信號的頻譜，其余輸出譜線均為0，此時頻譜的泄漏得以消除。3.4濾波器定義：濾波器是指允許某一特定頻帶內(nèi)的有用的信號通過而濾除無用信號的系統(tǒng)。更廣意義上的濾波器是指把某種信號處理成另外一種信號的系統(tǒng)，因此任何一個系統(tǒng)都可以看成一個濾波器，它按照所要求的功能對輸入的信號進行轉(zhuǎn)換和處理。分類：所處理的數(shù)據(jù)類型將濾波器分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器是指其輸入輸出均是離散時間信號的濾波器按照濾波器的幅頻特性可將濾波器分為四種，即低通濾波器（LPF）、高通（HPF）、帶通（BPF）和帶阻（BEF）濾波器通帶：能通過的信號頻率范圍阻帶：受阻或衰減的頻率范圍截止頻率：通帶和阻帶之間的界限頻率。過渡帶：對于理想的濾波器在通帶內(nèi)具有零衰減的幅頻響應(yīng)，而在阻帶內(nèi)具有無限大的衰減，這種突變的衰減在物理上是不可實現(xiàn)的，實際的濾波器通常在通帶和阻帶之間有一過渡，而且在通帶內(nèi)無法實現(xiàn)沒有衰減，在阻帶內(nèi)無法實現(xiàn)無限大衰減，通常有一個容限。濾波器的衰減定義為：濾波器的傳遞函數(shù)與線性時不變系統(tǒng)類似，可表示為：根據(jù)濾波器系統(tǒng)的階數(shù)可以把濾波器分為一階、二階等濾波器。根據(jù)設(shè)計時實際濾波器逼近理想濾波器的方法又可分為巴特沃思（Butterworth）濾波器、切比雪夫（Cheyshev）濾波器以及橢圓濾波器等不同的設(shè)計方法，線形