第六章頻域法

6.1頻率特性1.頻率特性的基本概念頻率特性又稱頻率響應（FrequencyResponse），它是系統(tǒng)（或元件）對不同頻率正弦輸入信號的響應特性。對線性系統(tǒng)，若其輸入信號為正弦量，則其穩(wěn)態(tài)輸出響應也將是同頻率的正弦量。但是其幅值和相位一般都不同于輸入量。若逐次改變輸入信號的（角）頻率ω，則輸出響應的幅值與相位都會發(fā)生變化，參見圖6-1。第6章頻域分析法圖6-1線性系統(tǒng)的頻率特性響應示意圖由圖6-1可見，若r1(t)=Asinω1t,其輸出為

c1(t)=A1sin(ω1t+φ1)=M1Asin(ω1t+φ1)，即振幅增加了M1倍，相位超前了φ1角。若改變頻率ω，使r2(t)=Asinω2t，則系統(tǒng)的輸出變?yōu)閏2(t)=A2sin(ω2t-φ2)=M2Ａsin(ω2t-φ2)，這時輸出量的振幅減少了(增加M2倍，但M2<1),相位滯后φ2角。因此，若以頻率ω為自變量，系統(tǒng)輸出量振幅增長的倍數(shù)M和相位的變化量φ為兩個因變量，這便是系統(tǒng)的頻率特性。若設輸入量為

r(t)=Ar

sinωt則輸出量將為c(t)=Ac

sin(ωt+φ)=MArsin(ωt+φ)一個穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，模M和相位移φ都是頻率ω的函數(shù)（隨ω的變化而改變），所以通常寫成M(ω)和φ(ω)。這意味著，它們的值對不同的頻率可能是不同的，參見圖6-2。圖4-2某自動控制系統(tǒng)的頻率特性(A)幅頻特性;(b)相頻特性M(ω)稱為幅值頻率特性，簡稱幅頻特性(MAGnitudeChArActeristic)。

φ(ω)稱為相位頻率特性，簡稱相頻特性(PhAseChArActeristic)。兩者統(tǒng)稱頻率特性(FrequencyChArActeristic)或幅相頻率特性(MAGnitudePhAseChArActeristic)。頻率特性常用G(jω)符號表示，幅頻特性M(ω)表示為|G(jω)|，相頻特性表示為∠G(jω)，三者可寫成下面的形式：

G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)(6-1)2.頻率特性與傳遞函數(shù)的關系

頻率特性和傳遞函數(shù)之間存在著密切關系。若系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)為G(s),則其頻率特性為G(jω)。這就是說，只要將傳遞函數(shù)中的復變量s用純虛數(shù)jω代替，就可以得到頻率特性。事實上，頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊情形。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)中的復變量s=σ+jω。若σ=0,則s=jω。所以，G(jω)就是σ=0時的G(s)。根據(jù)頻率特性和傳遞函數(shù)之間的這種關系，可以很方便地由傳遞函數(shù)求取頻率特性，也可由頻率特性來求取傳遞函數(shù)。即既然頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊情形，那么，傳遞函數(shù)的有關性質和運算規(guī)律對于頻率特性也是適用的。下面來證明這種本質聯(lián)系。線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達式為(6-2)由上式有若輸入量r(t)=Ar

sinωt,則將其拉氏式R(s)=Arω/(s2+ω2)代入式（6-2）有(6-3)式中，si為系統(tǒng)特征方程的特征根；Ci、B、D均為待定常系數(shù)。將式(6-3)進行拉氏反變換，即得系統(tǒng)輸出量(6-4)對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，特征根si將具有負實部。因此,c(t)的第一部分為暫態(tài)分量，將隨時間t的延續(xù)而逐漸趨于零。c(t)的第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，以cs(t)表示:

cs(t)=Be-jωt+Dejωt(6-5)式(6-5)恰是所要求解的部分。其中B、D可由待定系數(shù)法求得:

G(jω)為一復數(shù)量，它可寫成下列形式：

G(jω)=M(ω)ejφ(ω)(6-6)同理可得G(-jω)=M(ω)e-jφ(ω)把G(jω)和G(-jω)代入B和D，再把B和D代入式(6-5)，于是有由歐拉公式，上式可化為cs(t)=Ac

sin［ωt+φ(ω)］(6-7)3.頻率特性的表示方式1)數(shù)學式表示方式頻率特性是一個復數(shù)，和其他復數(shù)一樣，可以表示為指數(shù)形式、直角坐標和極坐標等幾種，參見圖6-3。極坐標的橫軸為實軸(ReAlAxis)，標以Re，縱軸為虛軸(IMAGinAryAxis)，標以IM。頻率特性的幾種表示方式如以下各式所示。圖6–3頻率特性的幾種表示方式G(jω)=U(ω)+jV(ω)（直角坐標表示式）(4-8)=|G(jω)|∠G(jω)(極坐標表示式）(6-9)=M(ω)ejφ(ω)(指數(shù)表示式）(6-10)在以上各式中，通常稱U(ω)為實頻特性,V(ω)為虛頻特性,M(ω)為幅頻特性,φ(ω)為相頻特性,G(jω)為幅相頻率特性。顯然，幅頻特性(6-11)相頻特性(6-12)已知慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為由上式并參照式(6-8)、式(6-11)和式(6-12)可得:實頻特性幅頻特性相頻特性(6-14)(6-13)相頻特性2)圖形表示方式(1)極坐標圖（PolArPlot）。極坐標圖又稱奈奎斯特圖。當ω從0→∞變化時，根據(jù)頻率特性的極坐標表示式G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=M(ω)∠φ(ω)可以計算出每一個ω值下所對應的幅值M(ω)和相角φ(ω)。將它們畫在極坐標平面上，就得到了頻率特性的極坐標圖。如果把復數(shù)G(jω)表示成矢量，M(ω)即為矢量的模，φ(ω)即為矢量的幅角。而頻率特性的極坐標圖，就是矢量G(jω)的矢端在ω由0→∞時的運動軌跡。該軌跡又稱為幅相頻率特性曲線（或NyqUist圖）。下面以慣性環(huán)節(jié)為例來說明幅相頻率特性曲線的繪制方法。已知慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為在繪制幅相頻率特性曲線時，先選取幾個特殊點（如ω=0，ω=1/T，ω→∞等）求得對應的M與φ，然后再有選擇地選取若干個與ω數(shù)值點對應的M與φ，再按ω由0→∞的順序，逐點繪制出曲線圖形。如對慣性環(huán)節(jié):當ω=0時，M(ω)|ω=0=1，φ(ω)|ω=0=0；當ω=1/T時，M(ω)|ω=1/T=1/，φ(ω)|ω=1/T=-π/4；當ω→∞時，M(ω)|ω→∞=0，φ(ω)|ω→∞=-π/2。然后再求取與ω=1/4T、1/2T、2/T、4/T等數(shù)值點對應的M與φ，按ω由0→∞的順序，畫出如圖4-4所示的幅相頻率特性曲線來。圖6-4慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性圖由圖6-4可見，曲線上的每一點都表示著某一個ω數(shù)值時的G(jω)的幅值M(ω)和相角φ(ω)。矢量G(jω)的矢端軌跡就是幅相頻率特性曲線，矢量G(jω)在實軸上的投影即為其實部U(ω)，在虛軸上的投影即為其虛部V(ω)。不難證明，慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線正好是一個半圓。按照同樣的方法，可以畫出如圖6-5所示常見的二、三階系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。圖6-5常見的二、三階系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線(2)對數(shù)頻率特性和對數(shù)坐標圖(LoGArithMicPlot)。該坐標圖又稱BoDe圖。①對數(shù)頻率特性。對于頻率特性G(jω)=M(ω)ejφ(ω)，對它的模取常用對數(shù),并且令L(ω)=20lgM(ω)dB這樣，對數(shù)頻率特性可定義為L(ω)=20lgM(ω)dBφ(ω)=argG（jω）·(6-15)②伯德（BoDe）圖引入對數(shù)幅頻特性L(ω)，可以使串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘轉化為對數(shù)幅頻特性的相加，這對圖形的處理、分析、計算都會帶來很大方便。以后的分析將表明，L(ω)或它的漸近線大多與lgω成線性關系。因此，若以L(ω)為縱軸，lgω為橫軸，則其圖形將為直線，這可使頻率特性的計算和繪制過程大為簡化。另一方面，若以lgω為橫軸，則lgω每變化一個單位長度，ω將變化10倍(以后稱這為一個“10倍頻程”(DecADe)，記以“Dec”)。由于習慣上都以頻率ω作為自變量，因此將橫軸改為對數(shù)坐標，標以自變量ω。這樣，橫軸對lgω將是等分的，對ω將是對數(shù)的，兩者的對應關系參見圖6-6的橫軸對照圖。圖6-6伯德圖的橫坐標和縱坐標在應用對數(shù)頻率特性進行系統(tǒng)分析時，使用的是對數(shù)幅頻特性L(ω)，所以伯德圖的縱軸以等分坐標來標定L(ω),但要注意它的單位是分貝(dB)，而且要注意它是20lgM(ω)。L(ω)與M(ω)的對應關系參見圖4-6所示對照圖。由圖6-6可見，伯德圖是畫在縱軸為等分坐標、橫軸為對數(shù)坐標的特殊坐標紙上的。這種坐標紙稱“半對數(shù)坐標紙”，橫軸對數(shù)坐標的每一個等分稱為一級，圖6-7橫軸有三個相等的等分，因此稱為三級“半對數(shù)坐標紙”。圖6-7三級“半對數(shù)坐標紙”在使用對數(shù)坐標時要特別注意以下兩點：(1)它是不均勻坐標，是由疏到密周期性變化排列的。(2)對數(shù)坐標的每一級代表10倍頻程，即每一個等分的級的頻率差10倍，若第一個“1”處為0.1，則以后的“1”處便分別為1、10、100、1000等等。６.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=K則其頻率特性為G(jω)=K=K∠0°(６-16)1)極坐標圖由比例環(huán)節(jié)的頻率特性知，幅頻特性M(ω)=K，相頻特性φ(ω)=0°。從比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達式可見，M(ω)和φ(ω)均為常數(shù)，與頻率無關。其極坐標圖是實軸上的一個點K，如圖6-8所示。2)伯德圖根據(jù)對數(shù)頻率特性的定義，有L(ω)=20lgM(ω)=20lgK(6-17)φ(ω)=0°(6-18)式(6-17)表示一條水平直線，若K值增加，則L(ω)直線向上平移。式(6-18)表示一條與0°重合的直線，其伯德圖如圖6-9所示。圖6-8比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線圖6-9比例環(huán)節(jié)的伯德圖2.積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為則其頻率特性為(6-19)1)極坐標圖根據(jù)式(6-19)，分析如下：當ω=0時，M(ω)→∞，φ(ω)=-90°；當ω=1時，M(ω)=1，φ(ω)=-90°；當ω→∞時，M(ω)=0，φ(ω)=-90°。由以上分析可知，幅頻特性M(ω)與ω成反比，相頻特性φ(ω)恒等于-90°。積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線如圖6-10所示。當頻率ω從0→∞時，特性曲線由虛軸的-j∞→０原點變化。圖6-10積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線2)伯德圖根據(jù)式(6-19)可得積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為(6-20)由于對數(shù)頻率特性的頻率軸是以lgω分度的，顯然上式L(ω)與lgω的關系是一條直線，其斜率為-20dB/Dec，并且經(jīng)過點(1，0)。

對數(shù)相頻特性為φ(ω)=-90°(6-21)它是一條平行于實軸的一條直線，位于-90°位置。積分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖6-11所示。圖6-11積分環(huán)節(jié)的伯德圖

3.微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)=s則其頻率特性為

G(jω)=jω=ω∠+90°(6-22)1)極坐標圖根據(jù)式(6-22)可知

M(ω)=ω(6-23)φ(ω)=+90°(6-24)當ω從0→∞時，M(ω)從0→∞，φ(ω)=+90°，其極坐標圖如圖6-12所示，特性曲線與正虛軸重合。圖6-12微分環(huán)節(jié)的幅相頻率圖6-13微分環(huán)節(jié)的伯德圖2)伯德圖由式(6-23)可得微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為L(ω)=20lgω(6-25)可見，L(ω)與lgω成直線關系，其斜率為20dB/Dec，并且與0dB線（ω軸）相交于ω=1點。對數(shù)相頻特性為φ(ω)=+90°，它是一條與ω軸平行的直線，位于+90°處。微分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖6-13所示。

4.慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為則其頻率特性為(6-26)1)極坐標圖根據(jù)式(6-26)，給定一個頻率ω，可求得相對應的M(ω)和φ(ω)，便可在極坐標圖中畫出一個點。通常,當ω=0時，取M(ω)=1，φ(ω)=0；當ω=1/T時，取M(ω)=/2，φ(ω)=-45°；當ω→∞時，取M(ω)=0，φ(ω)=-90°。根據(jù)上述各點，便可得到該環(huán)節(jié)的ω從0→∞的幅相頻率特性曲線，如圖6-14所示。因極坐標與直角坐標有著對應的關系，上述繪制過程也可以在直角坐標中表示。即G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=U(ω)+jV(ω)(6-27)

根據(jù)式(6-27)，式(6-26)的頻率特性可表示為(6-28)當ω=0時，U(ω)=1，V(ω)=0；當ω=1/T時，U(ω)=1/2，V(ω)=-1/2；當ω→∞時，U(ω)=0,V(ω)=0。當ω從0→∞時，U(ω)和V(ω)作相應變化，同樣可得到圖6-14所示頻率特性曲線。圖6-14慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線可以證明，當ω從0→∞時，慣性環(huán)節(jié)的極坐標圖是個以(1/2,j0)為圓心，以1/2為半徑的一個半圓。從數(shù)學的角度看，可令ω從-∞→+∞，則該曲線為一個圓。即(6-29)如圖6-14所示，用虛線表示ω從-∞→0的曲線，由于ω為負，因此已無實際物理意義。2)伯德圖由式(4-26)可得慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為(4-30)(4-31)圖6-15慣性環(huán)節(jié)的伯德圖式(6-30)表示慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線是一條曲線，若采用逐點描繪法將很繁瑣，常常采用分段直線的近似繪制方法。即先作出L(ω)的漸近線，然后再根據(jù)特殊點（如ω=1/T）的數(shù)值，進行最大誤差處的修正，便可得到該環(huán)節(jié)的較精確的特性曲線。通常采用三個頻率段的辦法，方法如下：(1)低頻段。當ω<<1/T，即Tω<<1時，可忽略(Tω)2，即認為(Tω)2≈0，于是有(2)高頻段。當ω>>1/T，即Tω>>1時，這時可忽略1，同樣有(3)交接頻率段。交接頻率又稱轉折頻率，即高頻段與低頻段的交接處。當ω=1/T，即Tω=1時，認為L(ω)≈0dB。慣性環(huán)節(jié)的實際L(ω)曲線，在ω=1/T時，出現(xiàn)最大誤差，即表6-1慣性環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性誤差修正表

式(6-31)為慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性，為便于計算，可作如下近似處理：當ω<<1/T時，取φ(ω)=0°；當ω>>1/T時，取φ(ω)=-90°；當ω=1/T時，φ(ω)=-45°。慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線如圖6-15所示。5.一階微分環(huán)節(jié)

一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

G(s)=Ts+1則其頻率特性為(6-32)1)極坐標圖一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線由復平面上的點(1，j0)出發(fā)，平行于虛軸，隨ω從0→∞而逐漸向上直到+∞處，如圖6-16所示。2)伯德圖由式（6-32）知，一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為(4-33)對數(shù)相頻特性為φ(ω)=arctan(Tω)(6-34)圖6-16一階微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線圖6-17一階微分環(huán)節(jié)的伯德圖6.振蕩環(huán)節(jié)（二階環(huán)節(jié)）

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其中，T為時間常數(shù)，ωn=1/T為無阻尼自然振蕩頻率。則其頻率特性為(6-35)式中:(6-36)(6-37)圖6-18振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線1)極坐標圖根據(jù)式(6-36)和式(6-37)，設典型二階系統(tǒng)的阻尼比ζ為參變量，ω從0→∞時，計算得到對應的M(ω)和φ(ω)值，如：當ω=0時，M(ω)=1，φ(ω)=0°；當ω=ωn=1/T時，M(ω)=1/2ζ，φ(ω)=-90°；當ω→∞時，M(ω)=0，φ(ω)=-180°。即可繪制二階環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線，如圖6-18所示。由圖6-18可見，特性曲線起源于點(1，j0)。當ω=ωn=1/T時，G(jωn)=1/2ζ∠-90°，此時特性曲線正好與負虛軸相交，且ζ值越小，M(ω)的模值越大，曲線離原點越遠。隨著ω的增加，特性曲線以-180°的角度趨向于原點。2)伯德圖由式(6-36)可得振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為(4-38)也采用近似方法繪制如下各段:(1)低頻段。當ω<<ωn，即Tω<<1時，

L(ω)≈-20lg=0dB，即振蕩環(huán)節(jié)低頻段的漸近線也是一條0dB線。(2)高頻段。當ω>>ωn，即Tω>>1時，

L(ω)≈-20lg=-40lg(Tω)，L(ω)是一條斜率為-40dB/Dec的直線。(3)交接頻率段。當ω=ωn=1/T時，高、低頻段兩直線在此相交。振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖6-19所示。圖6–19振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖用漸近線代替實際L(ω)曲線，在交接頻率處有

L(ω)=-20lg(2ζ)(6-39)由上式可見，在ω=ωn=1/T附近，其誤差大小與ζ有關，ζ越小，誤差越大。按式(6-39)計算，結果列于表6-2中。表6-2振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性誤差修正表

由表6-2可知，當0.4<ζ<0.7時，誤差小于3dB；當ζ<0.4或ζ>0.7時，誤差較大，應當進行修正。當ζ<0.707時，對數(shù)幅頻特性曲線在ω=ωn=1/T附近將出現(xiàn)峰值。對數(shù)相頻特性曲線由式(6-37)確定，分析可得：當ω=0時，φ(ω)=0°；當ω=ωn=1/T時，φ(ω)=-90°；當ω→∞時，φ(ω)=-180°。對數(shù)相頻特性曲線也因阻尼比ζ值的不同而不同，其曲線如圖6-19所示。

7.極坐標圖的一般作圖方法

由以上典型環(huán)節(jié)的極坐標圖的繪制，大致可歸納極坐標圖的一般作圖方法如下：(1)寫出|G(jω)|和∠G(jω)的表達式；(2)分別求出ω=0和ω→∞時的G(jω)；(3)求極坐標圖與實軸的交點，交點可利用Im［G(jω)］=0的關系式求出，也可以利用關系式∠G(jω)=n·180°(其中n為奇數(shù))求出；(4)求極坐標圖與虛軸的交點，交點可利用Re［G(jω］=0的關系式求出，也可以利用關系式∠G(jω)=n·90°(其中n為整數(shù))求出；(5)必要時可畫出極坐標圖中間的幾個點；(6)勾畫出大致曲線。

補充：6.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

1.系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性

1)繪制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標圖的原理

一個單位負反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)為回路中各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積，即則其開環(huán)頻率特性為故可得其開環(huán)幅頻特性(6-40)開環(huán)相頻特性(6-41)2)繪制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標圖舉例

【例1】

設某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制該系統(tǒng)的開環(huán)極坐標圖。圖6-20例1系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖

【例2】

某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制該系統(tǒng)的開環(huán)極坐標圖。圖6-21例2系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖【例3】

繪制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標圖，其開環(huán)傳遞函數(shù)為圖6-22例3系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖3)繪制開環(huán)極坐標圖的一般規(guī)律設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般形式為式中，n>M；ν為積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；τ為微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。為簡單起見，此處開環(huán)傳遞函數(shù)未考慮更復雜的環(huán)節(jié)，如二階以上的環(huán)節(jié)等。上述系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為(6-42)(1)開環(huán)極坐標圖的起點。當ω→0時,GK(jω)為特性曲線的起點。由式(6-42)可得(6-43)圖6-23開環(huán)極坐標圖曲線的起點由于不同的ν值，特性曲線的起點將來自極坐標軸的四個不同的方向，如圖6-23所示。式(6-43)表明，開環(huán)極坐標圖曲線的起點只與系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K、積分環(huán)節(jié)個數(shù)ν有關，而與慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)等無關。通常依據(jù)積分環(huán)節(jié)數(shù)目ν將開環(huán)系統(tǒng)定義成“型”別如下：①0型系統(tǒng)，ν=0，開環(huán)極坐標圖曲線起始于點K處；②Ⅰ型系統(tǒng)，ν=1，開環(huán)極坐標圖曲線起于始點-90°處（負虛軸的∞處）；

③Ⅱ型系統(tǒng)，ν=2，開環(huán)極坐標圖曲線起于始點-180°處（負實軸的∞處）；

④Ⅲ型系統(tǒng)，ν=3，開環(huán)極坐標圖曲線起于始點-270°處（正實軸的∞處）。

(2)開環(huán)極坐標圖的終點。由式(6-42)可得(4-44)圖6-24開環(huán)極坐標圖曲線的終點【例4】

設某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標圖。圖6-25例4系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖2.系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性

由式(6-40)可知，系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性(6-45)系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性(6-46)【例5】

已知試繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。解由傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為對數(shù)幅頻特性表達式為對數(shù)相頻特性表達式為

φ(ω)=0-arctanω-arctan(0.2ω)=φ1(ω)+φ2(ω)+φ3(ω)由以上兩式，可以畫出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻和相頻特性曲線，如圖6-26所示。圖6-26例5系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線【例6】

某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制其開環(huán)對數(shù)頻率特性圖。解

該系統(tǒng)是由一個比例、一個積分、一個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的，其頻率特性為對數(shù)幅頻特性為對數(shù)相頻特性為

φ(ω)=0°-90°-arctan(0.1ω)=φ1(ω)+φ2(ω)+φ3(ω)圖6-27例6開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的步驟一般如下：(1)由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出各典型環(huán)節(jié)的交接頻率（轉折頻率），并從低到高依次排列；(2)當ω=1時，曲線高度為L(ω)=20lgK(若第一個交接頻率ω1<1，則為其延長線)；(3)根據(jù)ω=1，L(ω)=20lgK的點，繪制斜率為-20νdB/Dec的低頻段直線(漸近線)；(4)在ω軸上，ω從低到高，每遇到一個典型環(huán)節(jié)，其頻率特性曲線的斜率就改變一次?！纠?】

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制該系統(tǒng)的伯德圖，并求出ω=ωc時的相角φ(ωc)。解

由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)由一個比例、一個積分、一個一階微分和兩個慣性環(huán)節(jié)組成。(1)求其交接頻率：(2)在ω=1時，有L(ω)=20lgK=20lg10=20dB；(3)在ω=ω1=1時，由于慣性環(huán)節(jié)1/(s+1)的作用，使L(ω)特性曲線的斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/Dec；(4)在ω=ω2=2時，由于一階微分環(huán)節(jié)0.5s+1的作用，使L(ω)特性曲線的斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec;(5)在ω=ω3=20時，由于慣性環(huán)節(jié)1/(0.05s+1)的作用，使L(ω)特性曲線的斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec。因此，該系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖4-28所示。圖6-28例7系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性(6)由開環(huán)對數(shù)相頻特性表達式

φ(ω)=-90°+arctan(0.5ω)-arctanω-arctan(0.05ω)可繪制對數(shù)相頻特性圖，如圖6-28所示。(7)求解穿越頻率ωc：方法1：在特性曲線ω1～ω2之間，由于漸近線特性的特點，其斜率為-40dB/dec，有得K′=2.5同理，在特性曲線ω2～ωc之間，其斜率為-20dB/dec，有解得ωc=5rad/s方法2：因為L(ωc)=0dB或M(ωc)=1,同時，考慮到ωc>ω1、ωc>ω2及ωc<ω3，即ωc對于ω1和ω2來說屬高頻段，一階微分和慣性環(huán)節(jié)1取高頻近似直線；ωc對于ω3來說，屬低頻段，慣性環(huán)節(jié)2取低頻近似直線。所以解之得ωc=5rad/s(8)求相位角φ(ωc):

φ(ωc)=-90°+arctan(0.5×5)-arctan5-arctan(0.05×5)=-114.5°【例8】

某最小相位系統(tǒng)，其開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖6-29所示。試寫出該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。圖6-29例8系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性圖6.4奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定性判據(jù)1.奈氏圖下的表述及應用

奈氏判據(jù)說明，如果系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：它的開環(huán)幅相頻率特性曲線不包圍（-1，j0）點。反之，若曲線包圍（-1，j0）點，則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的;若曲線穿過（-1，j0）點，則閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界,參見圖6-30。圖6-30用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性(a)穩(wěn)定;(b)穩(wěn)定邊界;(c)不穩(wěn)定表6-3為常見二階和三階系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。應用奈氏穩(wěn)定性判據(jù)，可以很直觀地判斷它們的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由表6-3可見，系統(tǒng)的穩(wěn)定狀況大致有三類情況：(1)穩(wěn)定系統(tǒng)：其特點是不論系統(tǒng)的參數(shù)怎樣改變，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。一般的二階系統(tǒng)都是穩(wěn)定系統(tǒng)，如表6-3中的(a)和(b)。(2)不穩(wěn)定系統(tǒng)：其特點是不論系統(tǒng)的參數(shù)怎樣調整，系統(tǒng)仍將是不穩(wěn)定的。如表6-3中的(e)，這種系統(tǒng)又稱為結構不穩(wěn)定系統(tǒng)。(3)系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的：如表6-3中的(c)和(d)，當系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K小于臨界放大倍數(shù)Kc時，系統(tǒng)穩(wěn)定;反之，當K大于Kc時，系統(tǒng)將變?yōu)椴环€(wěn)定。表6-3奈氏穩(wěn)定性判據(jù)應用舉例2

2.伯德圖下的表述

奈氏判據(jù)是在奈氏圖的基礎上進行的，而作奈氏圖一般都比較麻煩，所以在工程上一般都是采用系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的，這就是對數(shù)頻率判據(jù)。它實質上是奈氏穩(wěn)定性判據(jù)在伯德圖上的表示形式。伯德圖與奈氏圖有下列對應關系(參見圖6-31)。圖6-31奈氏穩(wěn)定性判據(jù)在奈氏圖和伯德圖上的對照(a)奈氏圖判據(jù);(b)伯德圖判據(jù)(1)奈氏圖上以原點為圓心的單位圓對應于伯德圖上的0dB線(M(ω)=1時，L(ω)=0)。L(ω)在ωc處穿越0dB線，因此又稱ωc為穿越頻率(CrossOverFrequency)。(2)奈氏圖上的負實軸對應于伯德圖上的φ(ω)=-180°線。這樣，奈氏圖上的(-1,j0)點便和伯德圖上的0dB線及-180°線對應了起來。某系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的奈氏圖和伯德圖的對照如圖6-31所示。從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面的極點且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點越遠，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低，這就是通常所說的相對穩(wěn)定性通過乃氏曲線對點(-1,j0)的靠近程度來度量其定量表示為相角裕量和增益裕度Kg

6.4穩(wěn)定裕量與系統(tǒng)相對穩(wěn)定性

增益裕度意義：增益裕度用于表示G(jω)H(jω)曲線在負實軸上相對于(-1,j0)點的靠近程度定義：G(jω)H(jω)曲線與負實軸交于G點時，G點的頻率ωg稱為相位穿越頻率，此時ωg處的相角為-180°，幅值為|G(jωg)H(jωg)|，開環(huán)頻率特性幅值|G(jωg)H(jωg)|的倒數(shù)稱為增益裕度(或幅值裕度)，用Kg表示。見下圖（a）（a）最小相位系統(tǒng)的Nyquist圖（b）對數(shù)頻率特性表示：

式中ωg滿足下式∠G(jωg)H(jωg)=-180°

增益裕度用分貝數(shù)來表示:Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|dB見上圖（b）應用：對于最小相位系統(tǒng)當|G(jωg)H(jωg)|<1或20lg

|G(jωg)H(jωg)|<0時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當|G(jωg)H(jωg)|>1或20lg|G(jωg)H(jωg)|>0時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定當|G(jωg)H(jωg)|=1或20lg

|G(jωg)H(jωg)|=0時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)

對于開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，那么為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，G(jω)H(jω)曲線應包圍(-1,j0)點，此時

Kg=-20lg

|G(jωg)H(jωg)|<0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定結論增益裕度Kg表示系統(tǒng)到達臨界狀態(tài)時，系統(tǒng)增益所允許增大的倍數(shù)相角裕量意義：為了表示系統(tǒng)相角變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，引入相角裕量的概念引入ωc：ωc稱增益穿越頻率，也稱剪切頻率或截止頻率，在（a）圖中G(jω)H(jω)與單位圓相交于c點，c點處的頻率為ωc。此時|G(jωc)H(jωc)|=1定義：使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，尚可增加的滯后相角，稱為系統(tǒng)的相角裕度或相角裕量，表示為應用：

相角裕量γ為增益穿越頻率ωc處相角與-180°線之距離對于最小相位系統(tǒng)當γ＞0時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當γ＜0時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定增益裕度和相角裕度通常作為設計和分析控制系統(tǒng)的頻域指標，如果僅用其中之一都不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

用幅相頻率特性曲線分析系統(tǒng)穩(wěn)定性采用幅相頻率特性曲線時，當G(jω)H(jω)的開環(huán)增益變化時，曲線僅是上下簡單平移，而當對G(jω)H(jω)增加一恒定相角，曲線為水平平移，這對分析系統(tǒng)穩(wěn)定性和系統(tǒng)參數(shù)之間的相互影響是很有利的。6.5應用MATLAB進行頻域分析1.Bode函數(shù)功能：求連續(xù)系統(tǒng)的Bode(伯德)頻率響應。格式：［MAG，phase，w］＝Bode（a，b，c，d，iu，w）［MAG，phase，w］＝Bode（nun，den）［MAG，phase，w］＝Bode（nun，den，w）

【例1】

有一個二階系統(tǒng)，其自然頻率ωn=1，阻尼因子ζ=0.2，要繪制出系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線，可輸入：%Thisprogramdisplaybodegraph［a,b,c,d］=ord2(1,0.2);bode(a,b,c,d);gridon;title(′bodePlot′);執(zhí)行后得到如圖4-45所示的bode圖。圖4-45連續(xù)系統(tǒng)的bode圖

【例2】

典型二階系統(tǒng)：繪制出ζ取不同值時的bode圖。解取ωn=6，ζ?。?.1:1.0］時二階系統(tǒng)的bode圖可直接采用bode得到。MATLAB程序(因程序無下標、斜體和希臘字母，所以不能和正文嚴格保持一致)為：wn=6;kosi=［0.1:0.2:1.0］;w=logspace(-1,1,100);figure(1);num=［wn.^2］;forkos=kosiden=［1,2*kos*wn,wn.^2］;［mag,pha,w1］=bode(num,den,w);subplot(2,1,1);holdonsemilogx(w1,mag);subplot(2,1,2);holdonsemilogx(w1,pha);endsubplot(2,1,1);gridontitle(′bodePlot′);xlabel(′Frequency(rad/sec)′);ylabel(′gaindb′);subplot(2,1,2);gridonxlabel(′Frequency(rad/s)′);ylabel(′Phasedeg′)holdoff執(zhí)行后得如圖4-46所示的bode圖。圖4-46典型二階系統(tǒng)的bode圖圖4-47系統(tǒng)bode圖【例3】

某系統(tǒng)：繪制出系統(tǒng)的Bode圖。解MATLAB程序為：k=100;z=［-2］;p=［0,-1,-20］;［num,den］=zp2tf(z,p,k);bode(num,den);title(′bodePlot′);執(zhí)行后得如圖4-47所示的Bode圖。2.nyquist函數(shù)功能：求連續(xù)系統(tǒng)的Nyquist（奈奎斯特）頻率曲線。格式：［re，im，w］=nyquist（a，b，c，d，iu，w）［re，im，w］=nyquist（num，den）［re，im，w］=nyquist（num，den，w）【例4】

某二階系統(tǒng)：繪制系統(tǒng)的Nyquist曲線，并繪制單位負反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應曲線。解MATLAB程序為：k=5;z=［］;p=［0,-0.5］;［num,den］=zp2tf(z,p,k)figure(1)nyquist(num,den);title(′NyquistPlot′);figure(2)［num1,den1］=cloop(num,den);step(num1,den1);title(′StepResponse′);執(zhí)行后得如圖4-48所示的Nyquist曲線和如圖4-49所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應。由于曲線沒有包圍(-1,j0)點且開環(huán)傳遞函數(shù)位于s平面右半部分的極點個數(shù)為0，所以由g(s)構成的單位負反饋閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。這可從圖4-49得到證實。圖4-48二階系統(tǒng)的Nyquist曲線圖4-49二階系統(tǒng)的階躍響應曲線【例5】

某開環(huán)系統(tǒng)：繪制系統(tǒng)Nyquist曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并繪制出單位負反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應。解根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，利用nyquist函數(shù)繪出系統(tǒng)的Nyquist曲線，并根據(jù)奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最后利用cloop函數(shù)構成閉環(huán)系統(tǒng)，并用step函數(shù)求出系統(tǒng)的單位階躍響應以驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性結論。MATLAB程序為：k=5;z=［］;p=［-1,-0.5］;［num,den］=zp2tf(z,p,k);figure(1)nyquist(num,den);title(′NyquistPlot′);figure(2)［num1,den1］=cloop(num,den);step(num1,den1);title(′StepResponse′);執(zhí)行后得如圖4-50所示的Nyquist曲線和如圖4-51所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應。從圖4-50中可以看出，系統(tǒng)的Nyquist曲線沒有包圍(-1,j0)點且開環(huán)傳遞函數(shù)位于s平面右半部分的極點個數(shù)為0，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。這可由圖4-51中得到證實。圖4-50系統(tǒng)Nyquist曲線圖4-51閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應

【例6】

某開環(huán)系統(tǒng)：繪制系統(tǒng)Nyquist曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并繪制出單位負反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應。解MATLAB程序為：k=250;z=［-1］;p=［0,0,-10,-5］;［num,den］=zp2tf(z,p,k);figure(1)nyquist(num,den);title′NyquistPlot′);figure(2)［num1,den1］=cloop(num,den);step(num1,den1);title(′StepResponse′);執(zhí)行后得如圖4-52所示的Nyquist曲線和如圖4-53所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應。該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)，從圖4-52中可以看出，系統(tǒng)的Nyquist曲線沒有包圍（-1,j0）點，增加輔助曲線后，Nyquist曲線仍沒有包圍（-1,j0）點，且開環(huán)傳遞函數(shù)沒有位于右半s平面的極點，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。這可由圖4-53中得到證實。圖4-52系統(tǒng)Nyquist曲線圖4-53閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應【例7】

某開環(huán)系統(tǒng)：繪制系統(tǒng)Nyquist曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并繪制出單位負反饋閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應。解MATLAB程序為：k=12500;z=［］;p=［0,-100,-5］;［num,den］=zp2tf(z,p,k);figure(1)nyquist(num,den);title(′NyquistPlot′);figure(2)［num1,den1］=cloop(num,den);step(num1,den1);title(′StepResponse′);圖4-54系統(tǒng)Nyquist曲線圖4-55閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應執(zhí)行后得如圖4-54所示的Nyquist曲線和如圖4-55所示的閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應。該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，從圖4-54中可以看出，系統(tǒng)的Nyquist曲線沒有包圍（-1,j0）點，增加輔助曲線后，Nyquist曲線仍沒有包圍（-1,j0）點，且開環(huán)傳遞函數(shù)沒有位于右半s平面的極點，因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。這可由圖4-55中得到證實。習題4-1應用頻率特性來描述系統(tǒng)（或元件）特性的前提條件是什么？4-2頻率特性有哪幾種分類方法？4-3采用半對數(shù)坐標紙有哪些優(yōu)點？