第十二章振動(dòng)

第四篇振動(dòng)與波動(dòng)不同的振動(dòng)現(xiàn)象具有一些共同的物理特性振動(dòng)與波動(dòng)都是自然界最常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式各種波具有的共同特性稱為波動(dòng)性水面波超聲波胎兒圖像光導(dǎo)纖維傳導(dǎo)光波心電圖座鐘的鐘擺衛(wèi)星繞月周期運(yùn)動(dòng)振動(dòng)和波動(dòng)共同特征：運(yùn)動(dòng)在時(shí)間、空間上的周期性區(qū)別：振動(dòng):任何物理量在某一定值附近隨時(shí)間周期性變化波動(dòng):振動(dòng)在空間的傳播第十二章振動(dòng)只要一個(gè)物理量在一定的平衡值附近發(fā)生周期性的變化，都可認(rèn)為該物理量在作振動(dòng)振動(dòng)*§12-5兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成§12-4一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍現(xiàn)象*§12-3阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振§12-2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量§12-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)§12-6振蕩電路電磁振蕩一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.彈簧振子理想模型任何復(fù)雜的振動(dòng)m光滑輕彈簧不計(jì)空氣阻尼§12-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)都可以認(rèn)為是由幾個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧與質(zhì)量m的物體構(gòu)成彈簧振子.彈簧和物體組成振動(dòng)系統(tǒng).GN-A0AX彈簧振子的振動(dòng)（演示）平衡位置：合力為零。即G+N=0（G=N）GNF-A0AX彈簧振子的振動(dòng)GN-A0AX平衡位置：合力為零。即G+N=0（G=N）彈簧振子的振動(dòng)NGF-A0AX彈簧振子的振動(dòng)GN-A0AX平衡位置：合力為零。即G+N=0（G=N）彈簧振子的振動(dòng)

平衡位置O物體所受合外力為零的位置

胡克定律彈性力大小方向始終指向平衡位置O

以O(shè)為原點(diǎn)取Ox軸kmxO彈簧勁度系數(shù)x諧振子合外力為零位置坐標(biāo)x為物體相對(duì)于平衡位置的位移x是彈簧相對(duì)自然長(zhǎng)度的形變量.

物體所受合外力大小F=-kx

的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)定義令

加速度與位移成正比且方向相反的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移是時(shí)間的余弦（正弦）函數(shù)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程若令則上式變?yōu)楹?jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)等價(jià)判別式其中x—位移(displacement)(坐標(biāo)原點(diǎn)選在平衡位置）

x的正負(fù)表示位移的方向

A—振幅(amplitude)(最大位移的絕對(duì)值）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程本章采用余弦形式,即

—相位(phase)---角（圓）頻率(angularfrequencyor

circular

frequency)

---初相(originalphase)二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期及頻率振幅

A物體離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值周期

T物體作一次完全振動(dòng)所需的時(shí)間，單位s頻率

v單位時(shí)間內(nèi)所作完全振動(dòng)的次數(shù)，單位Hz角(圓)頻率ω2p秒內(nèi)物體作全振動(dòng)的次數(shù)kmxOAA單位rad/s或s-1（由初始條件決定）.單位m.相位：決定任意時(shí)刻t物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量.初相：決定初始時(shí)刻t=0時(shí)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量.

對(duì)彈簧振子

由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定T,也由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定.

kmmkkm

例如下圖系統(tǒng)處在三種狀態(tài)有相同的

，T,

。簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程可以表示為振動(dòng)周期和頻率可以表示為固有周期固有頻率與初始條件無(wú)關(guān)伽利略曾觀察的比薩教堂的吊燈符合定義的幾種簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型豎直彈簧振子Ol0彈簧無(wú)形變位置平衡位置平衡時(shí)單擺l振動(dòng)方程位移x時(shí)三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度位移速度加速度時(shí)間曲線tO四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位、初相和振幅的決定相位確定

t

時(shí)刻振動(dòng)物體位置和運(yùn)動(dòng)方向初相t=0時(shí)的相位

由初始條件（初始時(shí)刻(計(jì)時(shí)起點(diǎn))的位置和速度）確定A和設(shè)t=0時(shí)由振幅

由給出的兩個(gè)可能值

由的正負(fù)號(hào)，確定的值初相的決定或≤≤≤≤三角函數(shù)法例1(書P84)

彈簧振子k=1.60N/m，m=0.40kg。解振幅⑴角頻率mxOk時(shí)物體以向左的速度0.20m/s。⑵將物體從平衡位置向右移到x=0.10m處后并給⑴將物體從平衡位置向右移到x=0.10m處釋放。就下列情形分別求簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程。振動(dòng)方程振幅振動(dòng)方程⑵時(shí)，由時(shí)設(shè)平衡時(shí)鋼繩的伸長(zhǎng)量為

例2(書P85）卷?yè)P(yáng)機(jī)上吊著的重物，以解建立坐標(biāo)系當(dāng)m相對(duì)于O的位移為x時(shí)物理模型xl0Ox重物此后的運(yùn)動(dòng)方程。鋼繩的勁度系數(shù)，不計(jì)鋼繩質(zhì)量，求速度下降，鋼繩上端因故突然被卡住，這時(shí)故該振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng).令取鋼繩剛被卡住時(shí)t=0，運(yùn)動(dòng)方程

當(dāng)取坐標(biāo)向上，可定出，因而振動(dòng)方程為可見(jiàn)，坐標(biāo)取向相反，兩振動(dòng)方程的相位相差.或

例3（書P86)證明：當(dāng)擺球偏角很小時(shí)，單擺的取擺線在平衡位置的右邊時(shí)，為正解擺球切向運(yùn)動(dòng)方程當(dāng)時(shí)，令故單擺作諧振動(dòng)，振動(dòng)周期運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其周期。lO五、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法

t=0時(shí)，與x軸夾角

t＞0時(shí)，

參考圓旋轉(zhuǎn)矢量末端的投影點(diǎn)tt=0xOMMP與x軸夾角逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)以為角速度在x

軸上,從坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)作一矢量,令其反時(shí)針以角速度勻速旋轉(zhuǎn)，規(guī)定：M點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，相當(dāng)于p點(diǎn)做一次全振動(dòng)。模振幅A角速度角頻率旋轉(zhuǎn)周期振動(dòng)周期T=2/上的投影在oxAr上的投影端點(diǎn)速度在oxAr上的投影端點(diǎn)加速度在oxAr位移速度加速度x=Acos(t+0)v=-

Asin(t+0)a=-

2Acos(t+0)旋轉(zhuǎn)矢量簡(jiǎn)諧振動(dòng)符號(hào)或表達(dá)式初相

0t=0時(shí)，與ox夾角相位t+

0t時(shí)刻，與ox夾角旋轉(zhuǎn)矢量

與諧振動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法

OXPM相位參考圓

OXPM參考圓簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM或參考圓簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位A.若某時(shí)刻t測(cè)得質(zhì)點(diǎn)的位移，向Ox軸負(fù)t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位

解1旋轉(zhuǎn)矢量法AxO

解2解析法方向運(yùn)動(dòng)。求該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位。例4（書P85)設(shè)質(zhì)點(diǎn)在Ox軸上作諧振動(dòng)，振幅為

作旋轉(zhuǎn)矢量圖

例5用旋轉(zhuǎn)矢量法求簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體在下列情況的初相.(1)起始時(shí),物體具有負(fù)最大位移.(2)t=0時(shí),物體在平衡位置且向負(fù)向運(yùn)動(dòng).(3)t=0時(shí),物體的位移為A/2且向正向運(yùn)動(dòng).解:(1)t=0時(shí)(2)t=0時(shí)(3)t=0時(shí)OXXOXOO2-2x(m)t(s)1已知某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)曲線如圖，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫出振動(dòng)方程.解：設(shè)振動(dòng)方程為解得由圖可知A=2m(1)當(dāng)t=0時(shí)(2)①②由②由①例6已知振動(dòng)曲線(x-t曲線)求振動(dòng)方程.解得當(dāng)t=1時(shí)有再用圖中另一時(shí)刻的已知條件求由m(3)①①②②由思考和討論：（1）如果兩彈簧串接在一起，再聯(lián)結(jié)m，情況如何？（2）如果兩彈簧并接在一起，再聯(lián)結(jié)m，情況如何？kmk1k2xOmkxExample7、有兩相同的彈簧，其倔強(qiáng)系數(shù)均為k。求：（1）把它們串聯(lián)起來(lái)，下面掛一個(gè)質(zhì)量為m的重物，此系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期。（2）把它們并聯(lián)起來(lái)，下面掛一個(gè)質(zhì)量為m的重物，此系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期。xxSolution：求等效倔強(qiáng)系數(shù)串聯(lián)：并聯(lián)：動(dòng)能勢(shì)能總能量§12-2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量

以彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量

因略去彈簧的質(zhì)量,物體的質(zhì)量就是系統(tǒng)的質(zhì)量,物體的動(dòng)能就是系統(tǒng)的動(dòng)能.設(shè)在某一時(shí)刻,振子速度為v則系統(tǒng)的該時(shí)刻物體的位移為x,則系統(tǒng)的勢(shì)能：

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能隨時(shí)間變化并相互轉(zhuǎn)換Ot動(dòng)能勢(shì)能總能量能量曲線振動(dòng)系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒位移變化一個(gè)周期，能量變化兩個(gè)周期.

例

彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k,一端固定,另一端連一質(zhì)量為M的物體,其振幅為A.在下列兩種情況下,一塊質(zhì)量為m的粘土從h高處自由落下,正好落在M上,問(wèn)(1)振動(dòng)周期有何變化?(2)系統(tǒng)的能量有何變化?情況之一:粘土是在M通過(guò)平衡位置時(shí)落至M;之二,粘土是在M位于最大位移處落至M.

解:振動(dòng)系統(tǒng)為彈簧+(M+m)振動(dòng)周期取決于系統(tǒng),故在兩種情形(M+m)系統(tǒng)振動(dòng)周期都相同.

因能量與振幅的平方成正比,所以核心是根據(jù)初始條件定出A.

hm粘上M之前:水平速度m為0,M為m粘上M之后:(M+m)水平速度為v.t=0時(shí)情形一:略去摩擦,M+m系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒之一:m是在M通過(guò)平衡位置時(shí)落至M情形二:略去摩擦,M+m系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒m粘上M之前:水平速度m為0,M為0.之二:m是在M位于最大位移處落至M.m粘上M之后:(M+m)水平速度為.t=0時(shí)有小結(jié)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征

1)動(dòng)力學(xué)特征：受彈性回復(fù)力或準(zhǔn)彈性回復(fù)力2)運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：3)能量特征：一、阻尼振動(dòng)振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)表明，流體中運(yùn)動(dòng)物體所受的粘滯阻力由牛頓第二定律令阻力系數(shù)阻尼系數(shù)固有角頻率運(yùn)動(dòng)微分方程*§12-3阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振1.弱阻尼振動(dòng)曲線有阻尼作用時(shí)的角頻率微分方程解為xtOT阻尼振動(dòng)的周期2.強(qiáng)阻尼及臨界阻尼強(qiáng)阻尼臨界阻尼位移時(shí)間曲線xtO臨界阻尼強(qiáng)阻尼二、受迫振動(dòng)共振1.受迫振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下發(fā)生的振動(dòng)最簡(jiǎn)單的驅(qū)動(dòng)力可表示為驅(qū)動(dòng)力的振幅驅(qū)動(dòng)力的角頻率2.運(yùn)動(dòng)微分方程周期性的外力稱為驅(qū)動(dòng)力令受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程其中穩(wěn)態(tài)解暫態(tài)解振幅與驅(qū)動(dòng)力相位差3.共振由得A取最大值時(shí)，共振角頻率振幅A最大的現(xiàn)象稱為最大振幅AO較小較大穩(wěn)定受迫振動(dòng)共振長(zhǎng)850米、寬12米的美國(guó)華盛頓州TacomaNarrows橋，于1940年，在通車幾個(gè)月后，由凌晨的風(fēng)引起大幅擺動(dòng)因共振而垮塌O

x2

x1

x

xM振幅初相位合振動(dòng)位移兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)§12-4一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍現(xiàn)象一、兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與由圖可見(jiàn)x=x1+x2兩式相比得：Ox2

x1

xXMM1M2在三角形OM1M中，由余弦定律有：

所以合振動(dòng)的振幅和初相分別為：1.相位相同

2.相位相反3.一般情況下相位差的影響討論：

例1.（書P94自學(xué)）物體同時(shí)參與N個(gè)同方向、同頻率的解設(shè)N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為COMNPQ旋轉(zhuǎn)矢量表示都等于成等差級(jí)數(shù)。求合振動(dòng)振幅。簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅都等于a，每相鄰二振動(dòng)的相位差合振動(dòng)的振幅COMNPQN個(gè)等腰三角形全等，每個(gè)三角形底角均=每個(gè)三角形頂角均=其中解：作平行四邊形如圖o例2：已知:求：二、兩個(gè)同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍現(xiàn)象兩個(gè)同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可表示為合振動(dòng)的位移為若|w1

-

w2|<<w1+w2

合振動(dòng)可看作角頻率為振幅為合成后振幅時(shí)大時(shí)小的現(xiàn)象，稱為拍

拍頻w拍=|w2

–

w1|拍的周期雙簧管的兩個(gè)簧片的頻率相差無(wú)幾，能產(chǎn)生悅耳的拍音哨片雙簧管一、兩個(gè)互相垂直的、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)互相垂直、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)可表示為合振動(dòng)的軌道方程為一橢圓*§12-5兩個(gè)互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.兩振動(dòng)相位差時(shí)，軌道方程為質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅為xyOxy軌道是過(guò)原點(diǎn)斜率為的直線2.兩振動(dòng)相位差時(shí)，軌道方程質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅為xOy軌道是過(guò)原點(diǎn)斜率為的直線3.兩振動(dòng)相位差時(shí)，軌道方程

其軌道是一以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)點(diǎn)在橢圓上沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)xOy4.兩振動(dòng)相位差時(shí)，軌道方程其軌道是一以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓，質(zhì)點(diǎn)在橢圓上沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)xOy二、兩個(gè)互相垂直的、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成李薩如圖形稱為電磁振蕩最簡(jiǎn)單的振蕩電路——LC振蕩電路電容器開始放電I=0Wm=

0CL++++++-

-

-

-

-

-q0一、LC振蕩電路振蕩過(guò)程§12-6振蕩電路電磁振蕩

電路中電壓和電流（或電荷）的周期性變化產(chǎn)生電磁振蕩的電路稱為振蕩電路前一瞬間計(jì)為t=0LC電路的充、放電過(guò)程q0++++-

-

-

--

-

-

-++++I0I0q0++-

-Iq++-

-Iq++-

-IqI++-

-q當(dāng)電容器極板上帶電量為q，電路中電流為I時(shí)線圈的自感電動(dòng)勢(shì)為不計(jì)電路中內(nèi)阻時(shí)，有二、LC振蕩電路振蕩過(guò)程的定量描述電容器兩端電勢(shì)差