第十二章振動

第四篇振動與波動不同的振動現象具有一些共同的物理特性振動與波動都是自然界最常見的運動形式各種波具有的共同特性稱為波動性水面波超聲波胎兒圖像光導纖維傳導光波心電圖座鐘的鐘擺衛(wèi)星繞月周期運動振動和波動共同特征：運動在時間、空間上的周期性區(qū)別：振動:任何物理量在某一定值附近隨時間周期性變化波動:振動在空間的傳播第十二章振動只要一個物理量在一定的平衡值附近發(fā)生周期性的變化，都可認為該物理量在作振動振動*§12-5兩個相互垂直的簡諧振動的合成§12-4一維簡諧振動的合成拍現象*§12-3阻尼振動受迫振動共振§12-2簡諧振動的能量§12-1簡諧振動§12-6振蕩電路電磁振蕩一、簡諧振動1.彈簧振子理想模型任何復雜的振動m光滑輕彈簧不計空氣阻尼§12-1簡諧振動都可以認為是由幾個或多個簡諧振動合成倔強系數為k的彈簧與質量m的物體構成彈簧振子.彈簧和物體組成振動系統.GN-A0AX彈簧振子的振動（演示）平衡位置：合力為零。即G+N=0（G=N）GNF-A0AX彈簧振子的振動GN-A0AX平衡位置：合力為零。即G+N=0（G=N）彈簧振子的振動NGF-A0AX彈簧振子的振動GN-A0AX平衡位置：合力為零。即G+N=0（G=N）彈簧振子的振動

平衡位置O物體所受合外力為零的位置

胡克定律彈性力大小方向始終指向平衡位置O

以O為原點取Ox軸kmxO彈簧勁度系數x諧振子合外力為零位置坐標x為物體相對于平衡位置的位移x是彈簧相對自然長度的形變量.

物體所受合外力大小F=-kx

的運動為簡諧振動2.簡諧振動定義令

加速度與位移成正比且方向相反的振動為簡諧振動位移是時間的余弦（正弦）函數的運動為簡諧振動簡諧振動的微分方程解為簡諧振動方程若令則上式變?yōu)楹喼C振動的三個等價判別式其中x—位移(displacement)(坐標原點選在平衡位置）

x的正負表示位移的方向

A—振幅(amplitude)(最大位移的絕對值）簡諧振動的運動方程本章采用余弦形式,即

—相位(phase)---角（圓）頻率(angularfrequencyor

circular

frequency)

---初相(originalphase)二、簡諧振動的振幅、周期及頻率振幅

A物體離開平衡位置的最大位移的絕對值周期

T物體作一次完全振動所需的時間，單位s頻率

v單位時間內所作完全振動的次數，單位Hz角(圓)頻率ω2p秒內物體作全振動的次數kmxOAA單位rad/s或s-1（由初始條件決定）.單位m.相位：決定任意時刻t物體運動狀態(tài)的物理量.初相：決定初始時刻t=0時物體運動狀態(tài)的物理量.

對彈簧振子

由系統本身性質決定T,也由系統本身性質決定.

kmmkkm

例如下圖系統處在三種狀態(tài)有相同的

，T,

。簡諧振動方程可以表示為振動周期和頻率可以表示為固有周期固有頻率與初始條件無關伽利略曾觀察的比薩教堂的吊燈符合定義的幾種簡諧振動模型豎直彈簧振子Ol0彈簧無形變位置平衡位置平衡時單擺l振動方程位移x時三、簡諧振動的速度和加速度位移速度加速度時間曲線tO四、簡諧振動的相位、初相和振幅的決定相位確定

t

時刻振動物體位置和運動方向初相t=0時的相位

由初始條件（初始時刻(計時起點)的位置和速度）確定A和設t=0時由振幅

由給出的兩個可能值

由的正負號，確定的值初相的決定或≤≤≤≤三角函數法例1(書P84)

彈簧振子k=1.60N/m，m=0.40kg。解振幅⑴角頻率mxOk時物體以向左的速度0.20m/s。⑵將物體從平衡位置向右移到x=0.10m處后并給⑴將物體從平衡位置向右移到x=0.10m處釋放。就下列情形分別求簡諧振動方程。振動方程振幅振動方程⑵時，由時設平衡時鋼繩的伸長量為

例2(書P85）卷揚機上吊著的重物，以解建立坐標系當m相對于O的位移為x時物理模型xl0Ox重物此后的運動方程。鋼繩的勁度系數，不計鋼繩質量，求速度下降，鋼繩上端因故突然被卡住，這時故該振動為簡諧振動.令取鋼繩剛被卡住時t=0，運動方程

當取坐標向上，可定出，因而振動方程為可見，坐標取向相反，兩振動方程的相位相差.或

例3（書P86)證明：當擺球偏角很小時，單擺的取擺線在平衡位置的右邊時，為正解擺球切向運動方程當時，令故單擺作諧振動，振動周期運動為簡諧振動，并求其周期。lO五、簡諧振動的旋轉矢量表示法

t=0時，與x軸夾角

t＞0時，

參考圓旋轉矢量末端的投影點tt=0xOMMP與x軸夾角逆時針方向旋轉以為角速度在x

軸上,從坐標原點O點作一矢量,令其反時針以角速度勻速旋轉，規(guī)定：M點旋轉一周，相當于p點做一次全振動。模振幅A角速度角頻率旋轉周期振動周期T=2/上的投影在oxAr上的投影端點速度在oxAr上的投影端點加速度在oxAr位移速度加速度x=Acos(t+0)v=-

Asin(t+0)a=-

2Acos(t+0)旋轉矢量簡諧振動符號或表達式初相

0t=0時，與ox夾角相位t+

0t時刻，與ox夾角旋轉矢量

與諧振動的對應關系簡諧振動的旋轉矢量表示法

OXPM相位參考圓

OXPM參考圓簡諧振動的旋轉矢量表示法相位

OXPM參考圓簡諧振動的旋轉矢量表示法相位

OXPM參考圓簡諧振動的旋轉矢量表示法相位

OXPM參考圓簡諧振動的旋轉矢量表示法相位

OXPM參考圓簡諧振動的旋轉矢量表示法相位

OXPM參考圓簡諧振動的旋轉矢量表示法相位

OXPM參考圓簡諧振動的旋轉矢量表示法相位

OXPM或參考圓簡諧振動的旋轉矢量表示法相位A.若某時刻t測得質點的位移，向Ox軸負t時刻質點振動的相位

解1旋轉矢量法AxO

解2解析法方向運動。求該時刻質點振動的相位。例4（書P85)設質點在Ox軸上作諧振動，振幅為

作旋轉矢量圖

例5用旋轉矢量法求簡諧振動物體在下列情況的初相.(1)起始時,物體具有負最大位移.(2)t=0時,物體在平衡位置且向負向運動.(3)t=0時,物體的位移為A/2且向正向運動.解:(1)t=0時(2)t=0時(3)t=0時OXXOXOO2-2x(m)t(s)1已知某質點作簡諧運動，振動曲線如圖，試根據圖中數據寫出振動方程.解：設振動方程為解得由圖可知A=2m(1)當t=0時(2)①②由②由①例6已知振動曲線(x-t曲線)求振動方程.解得當t=1時有再用圖中另一時刻的已知條件求由m(3)①①②②由思考和討論：（1）如果兩彈簧串接在一起，再聯結m，情況如何？（2）如果兩彈簧并接在一起，再聯結m，情況如何？kmk1k2xOmkxExample7、有兩相同的彈簧，其倔強系數均為k。求：（1）把它們串聯起來，下面掛一個質量為m的重物，此系統作簡諧振動的周期。（2）把它們并聯起來，下面掛一個質量為m的重物，此系統作簡諧振動的周期。xxSolution：求等效倔強系數串聯：并聯：動能勢能總能量§12-2簡諧振動的能量

以彈簧振子為例討論簡諧振動的能量

因略去彈簧的質量,物體的質量就是系統的質量,物體的動能就是系統的動能.設在某一時刻,振子速度為v則系統的該時刻物體的位移為x,則系統的勢能：

簡諧振動的動能和勢能隨時間變化并相互轉換Ot動能勢能總能量能量曲線振動系統的總機械能守恒位移變化一個周期，能量變化兩個周期.

例

彈簧的倔強系數為k,一端固定,另一端連一質量為M的物體,其振幅為A.在下列兩種情況下,一塊質量為m的粘土從h高處自由落下,正好落在M上,問(1)振動周期有何變化?(2)系統的能量有何變化?情況之一:粘土是在M通過平衡位置時落至M;之二,粘土是在M位于最大位移處落至M.

解:振動系統為彈簧+(M+m)振動周期取決于系統,故在兩種情形(M+m)系統振動周期都相同.

因能量與振幅的平方成正比,所以核心是根據初始條件定出A.

hm粘上M之前:水平速度m為0,M為m粘上M之后:(M+m)水平速度為v.t=0時情形一:略去摩擦,M+m系統在水平方向動量守恒之一:m是在M通過平衡位置時落至M情形二:略去摩擦,M+m系統在水平方向動量守恒m粘上M之前:水平速度m為0,M為0.之二:m是在M位于最大位移處落至M.m粘上M之后:(M+m)水平速度為.t=0時有小結：簡諧振動的特征

1)動力學特征：受彈性回復力或準彈性回復力2)運動學特征：3)能量特征：一、阻尼振動振幅隨時間減小的振動實驗表明，流體中運動物體所受的粘滯阻力由牛頓第二定律令阻力系數阻尼系數固有角頻率運動微分方程*§12-3阻尼振動受迫振動共振1.弱阻尼振動曲線有阻尼作用時的角頻率微分方程解為xtOT阻尼振動的周期2.強阻尼及臨界阻尼強阻尼臨界阻尼位移時間曲線xtO臨界阻尼強阻尼二、受迫振動共振1.受迫振動系統在周期性外力作用下發(fā)生的振動最簡單的驅動力可表示為驅動力的振幅驅動力的角頻率2.運動微分方程周期性的外力稱為驅動力令受迫振動的運動方程其中穩(wěn)態(tài)解暫態(tài)解振幅與驅動力相位差3.共振由得A取最大值時，共振角頻率振幅A最大的現象稱為最大振幅AO較小較大穩(wěn)定受迫振動共振長850米、寬12米的美國華盛頓州TacomaNarrows橋，于1940年，在通車幾個月后，由凌晨的風引起大幅擺動因共振而垮塌O

x2

x1

x

xM振幅初相位合振動位移兩個同方向、同頻率簡諧振動§12-4一維簡諧振動的合成拍現象一、兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成

一質點同時參與由圖可見x=x1+x2兩式相比得：Ox2

x1

xXMM1M2在三角形OM1M中，由余弦定律有：

所以合振動的振幅和初相分別為：1.相位相同

2.相位相反3.一般情況下相位差的影響討論：

例1.（書P94自學）物體同時參與N個同方向、同頻率的解設N個簡諧振動的振動方程為COMNPQ旋轉矢量表示都等于成等差級數。求合振動振幅。簡諧振動，其振幅都等于a，每相鄰二振動的相位差合振動的振幅COMNPQN個等腰三角形全等，每個三角形底角均=每個三角形頂角均=其中解：作平行四邊形如圖o例2：已知:求：二、兩個同方向、不同頻率的簡諧振動的合成拍現象兩個同方向、不同頻率的簡諧振動可表示為合振動的位移為若|w1

-

w2|<<w1+w2

合振動可看作角頻率為振幅為合成后振幅時大時小的現象，稱為拍

拍頻w拍=|w2

–

w1|拍的周期雙簧管的兩個簧片的頻率相差無幾，能產生悅耳的拍音哨片雙簧管一、兩個互相垂直的、同頻率的簡諧振動的合成兩個互相垂直、同頻率的簡諧振動可表示為合振動的軌道方程為一橢圓*§12-5兩個互相垂直的簡諧振動的合成1.兩振動相位差時，軌道方程為質點簡諧振動振幅為xyOxy軌道是過原點斜率為的直線2.兩振動相位差時，軌道方程質點簡諧振動振幅為xOy軌道是過原點斜率為的直線3.兩振動相位差時，軌道方程

其軌道是一以坐標軸為主軸的橢圓，質點在橢圓上沿順時針方向運動xOy4.兩振動相位差時，軌道方程其軌道是一以坐標軸為主軸的橢圓，質點在橢圓上沿逆時針方向運動xOy二、兩個互相垂直的、不同頻率的簡諧振動的合成李薩如圖形稱為電磁振蕩最簡單的振蕩電路——LC振蕩電路電容器開始放電I=0Wm=

0CL++++++-

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-

-q0一、LC振蕩電路振蕩過程§12-6振蕩電路電磁振蕩

電路中電壓和電流（或電荷）的周期性變化產生電磁振蕩的電路稱為振蕩電路前一瞬間計為t=0LC電路的充、放電過程q0++++-

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--

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-++++I0I0q0++-

-Iq++-

-Iq++-

-IqI++-

-q當電容器極板上帶電量為q，電路中電流為I時線圈的自感電動勢為不計電路中內阻時，有二、LC振蕩電路振蕩過程的定量描述電容器兩端電勢差