第五章測量誤差基本知識

第五章測量誤差基本知識第五章測量誤差基本知識

學習要點◆測量誤差的概念◆偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律◆偶然誤差的分布◆衡量精度的數(shù)字指標◆精度數(shù)字指標的實際計算方法◆誤差傳播定律

◆誤差傳播定律應用

5-1測量誤差的概念一、什么是測量誤差

1.真誤差-----真值、觀測值

2.精度：反映誤差密集程度的指標。

二、測量誤差產生的原因2、測量設備的因素1、觀測者的因素3、觀測環(huán)境的因素觀測條件不等精度觀測等精度觀測三、測量誤差的分類1.系統(tǒng)誤差——若觀測過程中，觀測誤差在符號或大小上表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，在相同觀測條件下，該規(guī)律保持不變或變化可預測，則具有這種性質的誤差稱為系統(tǒng)誤差。處理方法：（1）、模型改正法----加改正數(shù)（2）、觀測程序法----采用適當?shù)挠^測方法（3）、檢校儀器2.偶然誤差——在相同觀測條件下，取得一系列等精度觀測值，若誤差的大小、符號沒有任何規(guī)律，即在一定限度內，不能對可能出現(xiàn)的誤差作任何預測，則這一類的誤差就稱為偶然誤差，又稱隨機誤差。3.粗差——特別大的誤差（錯誤）四、測量誤差的處理原則粗差——細心，多余觀測系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差5-2、偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律性例如：對同一量觀測了n次觀測值為l1,l2,l3,….ln如何取值？如何評價數(shù)據(jù)的精度？例如：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內角，三角形內角和的誤差i為i=i+i+i-180其結果如表5-1，圖5-1,分析三角形內角和的誤差I的規(guī)律。誤差區(qū)間負誤差正誤差誤差絕對值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表2-1偶然誤差的統(tǒng)計

誤差分布特點：參見課本P100（3點）5-3偶然誤差的分布-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d頻率直方圖偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，偶然誤差應小于限值。漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對稱性：絕對值相等的正負誤差概率相等抵償性：當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。5-4衡量精度的數(shù)字指標一、方差和標準差（中誤差）2.標準差：3.實際意義：參見課本P114

4.方差：1.正態(tài)分布概率密度函數(shù)：

二、相對中誤差（補充內容）

某些觀測值的誤差與其本身大小有關用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式描述觀測的質量，稱為相對誤差（全稱“相對中誤差”）

例，用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，但不能認為兩者的精度是相同的前者的相對中誤差為0．02／200＝1／10000

而后者則為0．02／40＝l／2000

前者的量距精度高于后者。三、容許誤差（補充內容）標準差常用m表示，在測繪界稱為中誤差。5-5、精度數(shù)字指標的實際計算方法中誤差：

注意：是一個定義式，難以實際應用，所以測量工作中是采用觀測值改正數(shù)來估算中誤差。按觀測值的真誤差計算中誤差

二、多余觀測數(shù)：設必要觀測數(shù)為t，實際觀測數(shù)為n，則稱r＝n－t為多余觀測數(shù)。

三、不符值：測量上將由于誤差導致觀測值不滿足函數(shù)關系，而產生的與理論值的差值，稱之為不符值，也稱為閉合差，通常用表示。四、觀測值改正數(shù)：觀測值經平差方法處理后，能得到符合最優(yōu)估值條件的平差值，設觀測值為，平差值為，則稱為觀測值改正數(shù)。

一、必要觀測數(shù):根據(jù)每確定一個待定量，需要一個觀測值的原則，要解算出全部的待定量，必須有數(shù)量足夠，函數(shù)獨立的觀測值，稱為必要觀測值。其個數(shù)叫必要觀測數(shù)。如：γ=180o-（α+β）五、等精度觀測值改正數(shù)計算中誤差其證明見下8張PPT(一)集中趨勢的測度（最優(yōu)值）1.中位數(shù)：設把n個觀測值按大小排列，這時位于最中間的數(shù)就是“中位數(shù)”。2.眾數(shù)：在n個數(shù)中，重復出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是“眾數(shù)”。3.切尾平均數(shù)：去掉lmax,lmin以后的平均數(shù)。4.調和平均數(shù)：5.算術平均數(shù)：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解證明中誤差的公式證明（x是最或然值）nnlXlXlX-=D-=D-=D2211將上列等式相加，并除以n,得到證明中誤差的公式（二）觀測值的改正值若被觀測對象的真值不知，則取平均數(shù)為最優(yōu)解x改正值的特性：定義改正值：證明中誤差的公式標準差可按下式計算：中誤差：證明中誤差的公式下面開始證明：證明：將上列左右兩式方便相減，得證明中誤差的公式取和證明中誤差的公式計算標準差例子證明中誤差的公式小結一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則二、中誤差二、中誤差證明中誤差的公式5-6誤差傳播定律

誤差傳播定律：測量學中闡述觀測值中誤差與其函數(shù)中誤差之間數(shù)學關系的定律稱為中誤差傳播定律。已知：mx1,mx2,---mxn求：my=?式中f′有正有負全微分：

my2m12m22

mn2中誤差關系式：小結：第一步：寫出函數(shù)式第二步：寫出全微分式第三步：寫出中誤差關系式注意：只有自變量微分之間相互獨立才可以進一步寫出中誤差關系式。一、線性函數(shù)

二、非線性函數(shù)由觀測值中誤差求其函數(shù)的中誤差的步驟如下：（1）、按問題的要求，寫出觀測值與其函數(shù)的關系式：（2）、若函數(shù)是非線性的，則對其求全微分以觀測量近似值（j=1,2,…,n）代入全微分式，得到常系數(shù)（3）、應用誤差傳播定律（5－12），由觀測值中誤差求其函數(shù)中誤差：5.7、誤差傳播定律應用一、距離測量的中誤差結論：距離丈量結果的中誤差與所用尺段數(shù)的平方根成正比。二、水準測量高差的中誤差結論：在假設每站觀測高差精度相等的前提下，水準測量高差的中誤差等于一站觀測高差中誤差的倍，即與測站數(shù)的平方根成正比三、算術平均值及其中誤差算術平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx誤差傳播定律

補充舉例1觀測值：斜距S和豎直角v待定值：高差hSvhD誤差傳播定律

補充舉例2觀測值：斜距S和豎直角v待定值：水平距離DSvhD例1:在1：500比例尺地形圖上，量得A、B兩點間的距離S=163.6mm，其中誤差ms=0.2mm。求A、B兩點實地距離D及其中誤差mD。解：D=MS=500×163.6(mm)=81.8(m)(M為比例尺分母)∴D=81.1±0.1(m)mD=MmS=500×0.2(mm)=±0.1(m)例2

某水準路線各測段高差的觀測值中誤差分別為h1=18.316m±5mm,h2=-8.171m±4mm，h3=6.625m±3mm，試求該水準路線高差及其中誤差?！鄅=16.882m±7.1mm解h=h1+h2+h3=16.862(ｍ)

m2h=m21+m22＋m23=52+42+32

mh=±7.1(mm)例3：用三角形內角和求測角中誤差

例4：在O點觀測了3個方向，測得方向值l1、l2、l3，設各方向的中誤差均為m，求、和。

例5：一個邊長為l的正方形，若測量一邊中誤差為ml＝±1cm，求周長的中誤差？若四邊都測量，且測量精度相同，均為ml，則周長中誤差是多少？

誤差傳播定律應用舉例

1、測回法觀測水平角時盤左、盤右的限差不超過40秒；2、用DJ6經緯儀對三角形各內角觀測一測回的限差；3、兩次儀器高法的高差限差。

用DJ6經緯儀進行測回法觀測水平角，那么用盤左盤右觀測同一方向的中誤差為±6”。注意，6秒級經緯儀是指一個測回方向觀測的平均值中誤差，不是指讀數(shù)的時候估讀到6”。

即

假設盤左瞄準A點時讀數(shù)為，盤右瞄準A點時讀數(shù)為，那么瞄準A方向一個測回的平均讀數(shù)應為