第五章頻率法

引言第一節(jié)

頻率特性的基本概念及作圖第二節(jié)

典型環(huán)節(jié)頻率特性圖第三節(jié)

開環(huán)頻率特性繪制第四節(jié)

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)第五節(jié)穩(wěn)定裕度第六節(jié)開環(huán)頻率特性與時域指標間關(guān)系第七節(jié)

閉環(huán)頻率特性簡介本章小結(jié)第五章頻率分析法引 言頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率響應(yīng)法是以頻率特性為基礎(chǔ)研究系統(tǒng)的性能頻率分析法特點：應(yīng)用奈奎斯特判據(jù)，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性；根據(jù)頻率特性和性能指標的關(guān)系分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)定性指標；頻率特性可以通過實驗方法測得；可以推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)；圖解方法，直觀性強，在工程上得到廣泛應(yīng)用。5.1頻率特性的基本概念及作圖頻率特性定義頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系頻率特性作圖一、頻率特性定義例：一階RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性

微分方程：若則當時，有：比較輸入信號1、輸出電壓穩(wěn)態(tài)值是與輸入信號同頻率的正弦信號；2、幅值和相角與輸入不同，與頻率ω和系統(tǒng)參數(shù)T有關(guān)；令： A(ω)和φ(ω)反映了RC網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)的振幅和相位隨頻率變換的規(guī)律。A(ω)和φ(ω)聯(lián)合起來稱為系統(tǒng)的頻率特性。結(jié)論：為討論方便，不考慮重極點二、頻率特性和傳函的關(guān)系當系統(tǒng)穩(wěn)定時：寫出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表達式：幅頻特性：相頻特性：得到頻率特性和傳函的關(guān)系為：說明：頻率特性適合線性系統(tǒng)或元件；A(ω)和φ(ω)是頻率ω的函數(shù)，隨輸入頻率變化而變化，與輸入幅值和相角無關(guān)；微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性之間具有內(nèi)在聯(lián)系，可相互轉(zhuǎn)化。頻率特性是頻域中的數(shù)學(xué)模型。三、頻率特性作圖極坐標頻率特性曲線對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)幅相特性曲線代數(shù)式：極坐標式：指數(shù)式：——相頻特性；——幅頻特性；關(guān)系：頻率特性曲線：1、極坐標頻率特性曲線——奈奎斯特(Nyquist)曲線；2、對數(shù)頻率特性曲線——伯德(Bode)曲線；3、對數(shù)幅相特性曲線——尼柯爾斯(Nichols)曲線。極坐標頻率特性曲線ω：0→∞向量G(jω)在復(fù)平面上的運動軌跡。G(-jω)、

G(jω)共軛，頻率特性曲線對稱于實軸。繪制極坐標曲線的方法：方法一：計算實部和虛部，描點。方法二：計算幅值和相角，描點。繪制極坐標草圖的方法：

1、計算起點和終點；ω為0、∞時，G(jω) 2、計算關(guān)鍵點；

3、給出曲線走向；

4、畫出草圖。對數(shù)頻率特性曲線伯德(Bode)曲線，包括對數(shù)幅頻特性曲線和相頻特性曲線，應(yīng)用最多。對數(shù)坐標圖的橫坐標：橫坐標按ω的對數(shù)lgω線性分度，標以ω。橫軸上每一線性單位表示頻率的十倍變化，稱十倍頻或十倍頻程，用符號dec表示。如果ω變化1倍，在對數(shù)坐標上變化0.301，稱為倍頻程。頻率由1到10的對數(shù)分度：對數(shù)坐標圖的縱坐標：對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標：

相頻特性曲線的縱坐標：

一般以度或弧度為單位進行線性分度。對數(shù)頻率特性曲線一般畫在半對數(shù)坐標紙上。均勻分度，單位分貝(db)采用對數(shù)坐標圖的優(yōu)勢：可以展寬頻帶；對數(shù)特性將乘除變?yōu)榧訙p運算；典型環(huán)節(jié)可用分段直線（或漸近線）近似表示；可用實驗方法確定系統(tǒng)的頻率特性表達式。對數(shù)幅相特性曲線尼柯爾斯(Nichols)曲線。對數(shù)幅相圖的橫坐標為相角，縱坐標為對數(shù)幅頻特性幅值的分貝數(shù)。橫坐標、縱坐標都是線性分度。而ω作為參變量標在曲線相應(yīng)點的旁邊。5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性（1）傳遞函數(shù)：頻率特性：1、極坐標頻率特性曲線：比例環(huán)節(jié)的頻率特性（2）2、對數(shù)頻率特性曲線：積分環(huán)節(jié)的頻率特性（1）1、極坐標頻率特性曲線：積分環(huán)節(jié)的頻率特性（2）2、對數(shù)頻率特性曲線：慣性環(huán)節(jié)的頻率特性（1）1、極坐標頻率特性曲線：慣性環(huán)節(jié)的頻率特性（2）當ω由0變化到∞時，慣性環(huán)節(jié)的極坐標特性曲線是一個半圓。證明：圓心(K/2,0)，半徑K/2，實軸下方半圓。慣性環(huán)節(jié)的頻率特性（3）2、對數(shù)頻率特性曲線：低頻段時，ω很小，ωT<<1，低頻漸近線：高頻段時，ω很大，ωT>>1，高頻漸近線：慣性環(huán)節(jié)的頻率特性（4）交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率慣性環(huán)節(jié)的頻率特性（5）誤差：Δ=真實值-近似值處存在最大誤差：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性（1）不妨取K=1振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性（2）1、極坐標頻率特性曲線：以ξ為參變量，繪制振蕩環(huán)節(jié)極坐標曲線曲線與負虛軸相交曲線沿負實軸方向趨向原點，且與負實軸相切。振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性（3）時，A(ω)具有最大值，振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性（4）ωp與ξ有關(guān)，ωp稱為諧振頻率或峰值頻率。振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性（5）2、對數(shù)頻率特性曲線：低頻段，低頻漸近線高頻段，高頻漸近線兩漸近線相交，振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性（6）相頻特性曲線：微分環(huán)節(jié)的頻率特性（1）1、純微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)對比？微分環(huán)節(jié)的頻率特性（2）2、一階微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性（3）3、二階微分環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)5.3開環(huán)頻率特性繪制極坐標特性曲線的繪制對數(shù)頻率特性曲線的繪制最小相與非最小相系統(tǒng)一、極坐標特性曲線的繪制例：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：1）列寫實頻特性和虛頻特性的表達式；2）當K=10、T1=1、T2=5時，試繪制極坐標圖。將G(jω)有理化：帶入K=10、T1=1、T2=5，取ω為不同值計算，描點一般地：起點：與虛軸交點：終點：例：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：試繪制極坐標特性曲線。將G(jω)有理化：起點：與實軸交點：終點：極坐標特性曲線：1、保持準確曲線的重要特征，如起點、終點、與實軸或虛軸的交叉點；2、在重要點的附近有足夠準確性。一般系統(tǒng)：1、起點：起點與系統(tǒng)類型和增益有關(guān)2、終點：對于實際的物理系統(tǒng)，一般n>m3、與實、虛軸交點：4、中頻部分曲線形狀和頻率特性的參數(shù)密切相關(guān)。零點的影響：二、對數(shù)頻率特性曲線的繪制

已知各環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性，開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為：將開環(huán)系統(tǒng)寫成典型環(huán)節(jié)時間常數(shù)的實系數(shù)形式2）繪制對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線，即ω→0對數(shù)幅頻實際繪制時按以下步驟一次完成：1）確定K、v以及各個環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。將各轉(zhuǎn)折頻率從小到大標注在頻率軸上。4）分段直線的最后一段5）在轉(zhuǎn)折頻率附近進行修正，可得到較準確曲線。斜率：

-20(n-m)dB/dec3）以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻段開始沿頻率增大的方向，每遇到一個交接頻率改變一次分段直線的斜率。當遇到ωi時，斜率變化量為+20dB/dec；當遇到ωk時，斜率變化量為+40dB/dec；當遇到ωj時，斜率變化量為-20dB/dec；當遇到ωl時，斜率變化量為-40dB/dec；對數(shù)相頻特性曲線的繪制：利用典型環(huán)節(jié)的各對數(shù)相頻特性相加，或直接利用相頻特性表達式計算。例：設(shè)某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：試繪制開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。整理：1）K=10,v=0慣性環(huán)節(jié)：T1=0.25,ω1=1/T1=4振蕩環(huán)節(jié)：

T2=0.5,ω2=1/T2=22）低頻段3）繪制近似對數(shù)幅頻特性曲線相頻特性：例：設(shè)某系統(tǒng)的頻率特性為：試繪制用分段直線表示的對數(shù)幅頻特性。1）轉(zhuǎn)折頻率2）低頻段斜率: -40dB/dec3）繪制近似對數(shù)幅頻曲線例：延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試繪制開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性。三、最小相與非最小相系統(tǒng)定義：系統(tǒng)的開環(huán)傳函在右半s平面上沒有極點或零點的系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)。

在右半s平面上具有極點或零點的系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。

有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)也屬于非最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)的特性：若系統(tǒng)穩(wěn)定，具有相同的幅頻特性的系統(tǒng)中，對于任意給定的頻率，最小相位系統(tǒng)的相位滯后最小。例：最小相位系統(tǒng)相頻特性與對數(shù)幅頻特性之間存在有確定的關(guān)系。因此，在利用對數(shù)頻率特性對系統(tǒng)進行分析和綜合時，常常只需畫出和利用對數(shù)幅頻特性曲線。

繪制非最小相位系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性時，必須分別繪出對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性。利用對數(shù)幅頻特性曲線確定最小相位系統(tǒng)傳函最小相位系統(tǒng)當ω→∞時，對數(shù)幅頻特性的最高頻漸近線斜率為-20(n-m)dB/dec，相角為-90°(n-m)。

可用于判斷最小相位系統(tǒng)。5.4Nyquist穩(wěn)定判據(jù)輔助函數(shù)F(s)與開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)零點和極點的關(guān)系幅角定理奈氏(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)奈氏判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)引言1932年，奈奎斯特(Nyquist)提出了頻率法的穩(wěn)定判據(jù)——奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。

奈氏判據(jù)由開環(huán)系統(tǒng)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在控制理論中占有重要地位。一、輔助函數(shù)F(s)與開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)零點和極點的關(guān)系系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：構(gòu)造一輔助函數(shù)：F(s)特點:

1、

F(s)零點是閉環(huán)極點；

2、

F(s)極點是開環(huán)極點；

3、

由于n>=m，因此系統(tǒng)閉環(huán)極點的數(shù)目等于開環(huán)極點的數(shù)目

（即F(s)零點數(shù)等于極點數(shù)）。如何求F(s)零點？二、幅角定理1、映射關(guān)系S平面上的任一條不通過F(s)奇異點的封閉曲線Г，F(xiàn)(s)平面上存在與其相對應(yīng)的封閉曲線Г’。Г’變化主要由兩個因素決定：

1）Г所包圍的區(qū)域；

2）F(s)形式

F(s)平面原點被包圍的次數(shù)和方向，對穩(wěn)定性有重要意義。2、幅角定理由幅角變化，導(dǎo)出F(s)平面原點被包圍的次數(shù)和方向。例：當s沿封閉曲線Г變化時，復(fù)數(shù)F(s)的幅角變化：問題：

s沿封閉曲線Г順時針移動一周，a）z1、p1未被Г包圍不包圍原點b）z1被Г包圍順時針包圍原點一周N=1c）p1被Г包圍逆時針包圍原點一周N=-1幅角原理：

設(shè)s平面上不通過任何F(s)奇點的封閉曲線Г包圍s平面上的Z個零點和P個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線Г移動一周時，則在F(s)平面上相對應(yīng)于封閉曲線Г的象Г’將以順時針的方向圍繞原點旋轉(zhuǎn)N圈。如何判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性？三、奈氏(Nyqusit)穩(wěn)定判據(jù)1、奈氏路徑

為判斷右半平面F(s)零點個數(shù)，取如下包圍整個右半s平面的封閉曲線為奈氏路徑。1)正虛軸，由s=jω;ω:0→+∞;2)半徑無窮大的正半圓，由3)負虛軸，由s=-jω;ω:0→-∞;2、奈氏路徑在F(s)平面上的映射1)半徑無窮大的右半圓一個點2)正虛軸3)負虛軸與F(jω)對稱于實軸。3、F(s)平面轉(zhuǎn)化為G(s)平面奈氏曲線F(jω)曲線對原點的包圍情況與G(jω)曲線對(-1,j0)點的包圍情況相當。奈氏路徑順時針包圍了F(s)的Z個零點和P個極點，則G(s)平面上的映射曲線G(jω)(開環(huán)頻率特性曲線)順時針包圍點(-1,j0)N次4、奈氏判據(jù)設(shè)開環(huán)傳函在右半s平面上的極點數(shù)為P，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：在G(s)平面上的開環(huán)頻率特性曲線G(jω)當ω：-∞→+∞時，將以逆時針的方向圍繞(-1,j0)點P圈，即若閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上的極點個數(shù)：N——開環(huán)頻率特性曲線順時針方向包圍(-1,j0)點的圈數(shù)。推論：開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是N=0，即開環(huán)頻率特性曲線G(jω)當ω:-∞→+∞時不包圍點(-1,j0)。例1：例2：1、概略繪制奈氏曲線2、判斷穩(wěn)定性何時處于臨界穩(wěn)定？例3：P=1，穩(wěn)定N=-1，即逆時針包圍(-1,j0)一圈，K>1四、奈氏判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用開環(huán)系統(tǒng)傳函：1、重新選取奈氏路徑半徑為無窮小的右半圓2、奈氏曲線的畫法半徑為無窮小的半圓上的點Ⅰ型系統(tǒng)：Ⅱ型系統(tǒng)：含有積分環(huán)節(jié)完整的極坐標頻率特性曲線：1）ω：0+→∞2）ω=0+

逆時針補畫v90°圓弧3）以實軸為對稱軸，畫出ω：-∞→0時的奈氏曲線例1：例2：

若

？

注：1）簡便起見，G(jω)，ω：0→∞對點(-1,j0)的包圍N’——G(jω)，ω：0→∞變化，順時針圍繞(-1,j0)圈數(shù)。穩(wěn)定2）利用正負穿越討論對點(-1,j0)的包圍

穿越：極坐標曲線穿過點(-1,j0)以左的負實軸。正穿越：ω↑,φ(ω)↑自上向下，逆時針N+表示半次穿越設(shè)開環(huán)傳函在右半s平面上極點個數(shù)為P，則穩(wěn)定<=>當ω：0→+∞變化時，頻率特性曲線在實軸(-∞,-1)段負穿越次數(shù)之差為P/2。例：判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，已知P=03）開環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點五、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)1、奈氏圖與伯德圖關(guān)系單位圓<—>零分貝線負實軸<—>-180°穿越數(shù)：L(ω)>0區(qū)間內(nèi)相頻穿越-180°線2、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)設(shè)開環(huán)傳函在右半s平面的極點數(shù)為P，則穩(wěn)定<=>在開環(huán)對數(shù)幅頻特性L(ω)>0的所有頻段內(nèi)有積分環(huán)節(jié)的處理例1：例2：2、對數(shù)幅相圖多回路系統(tǒng)的分析例：求臨界穩(wěn)