第六節(jié)Rn 的標(biāo)準(zhǔn)正交基

向量空間的基第六節(jié)Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基向量的長度向量的內(nèi)積標(biāo)準(zhǔn)正交基正交矩陣1.基的定義定義2.16在Rn中，稱任意n個線性無關(guān)的向量1,2,…,n為Rn

的一組基.顯然Rn中的向量組1=(1,0,…,0)T,2=(0,1,…,0)T,…,n=(0,…,0,1)T為Rn的一組基，一般稱1,2,…,n為Rn的標(biāo)準(zhǔn)基或自然基.類似地，1=(1,0,…,0)T,2=(1,1,…,0)T,…,n=(1,1,…,1)T也是Rn的一組基.一、向量空間的基2.向量在基下的坐標(biāo)定義2.17設(shè)1,2,…,n為Rn

的一組基，則對于任意Rn，可以表為1,2,…,n的線性組合，且表示法唯一，使=a11+a22+…+ann即存在a1,a2,…,anR,

則稱組合系數(shù)a1,a2,…,an為在基1,2,…,n下的坐標(biāo)，記作(a1,a2,…,an).例1分別求向量=(d1,d2,…,dn)T

Rn，在標(biāo)準(zhǔn)基1,2,…,n和基1=(1,0,…,0)T,2=(1,1,…,0)T,…,n=(1,1,…,1)T下的坐標(biāo).二、向量的內(nèi)積1.內(nèi)積的定義定義2.18設(shè)

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2…,bn)T為Rn中的兩個向量，則稱為向量與的內(nèi)積.2.內(nèi)積的性質(zhì)(1)T=T;(2)(k)T=kT;(3)(+)T=T

+T;(4)T0

,且T=0

=0

.三、向量的長度1.長度的定義定義2.19設(shè)

=(a1,a2,…,an)T

Rn

，稱

為向量的長度(或模)，記作||||.即如果||||=1，則稱為單位向量.2.長度的性質(zhì)(1)||||0

,且||||=0

=0

;(2)||k||=|k|·||||;(3)

|T|||||·||||,且|T|=||||·||||

,線性相關(guān).其中

,為Rn中的向量，kR.3.非零向量的單位化若0，則為單位向量或標(biāo)準(zhǔn)化向量.四、標(biāo)準(zhǔn)正交基1.正交向量組的定義定義2.20

設(shè),Rn,如果T=0，則稱向量,正交.定義2.21

如果一個非零向量組(即該向量組中的向量都不是零向量)

1

,2

,

…,s

(s2)中的向量兩兩正交，則稱

1

,2

,

…,s為一個正交向量組.如果一個正交向量組中的每一個向量都是單位向量，則稱該向量組為正交單位向量組.顯然,(1)Rn中的零向量與任意向量都正交(2)T=0

=0(3)T=0

cos=0或即與

相互垂直.2.正交向量組的性質(zhì)定理2.17

設(shè)

1

,2

,

…,s是一個正交向量組，則

1

,2

,

…,s線性無關(guān).3.標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義定義2.22

如果Rn中的n個向量1

,2

,…,n滿足以下兩個條件：(1)1

,2

,

…,n中任意兩個向量都正交；(2)||j||=1,j=1,2,…,n,則稱1

,2

,

…,n為Rn的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.4.標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法定理2.18

設(shè)

1

,2

,…,s(s

2)是Rn中的一個線性無關(guān)的向量組，令則1

,2,…,s

是一個正交向量組，并且滿足{1

,2,…,s

}{1

,2

,…,s

}.1

,2,…,n標(biāo)準(zhǔn)化(或單位化)，即令就得到Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基1

,2,…,n.例2利用schmidt正交化方法將下列向量組化為正交單位向量組1

=(1,1,1,1)T,2

=(3,3,-1,-1)T,3

=(-2,0,6,8)T

五、正交矩陣1.定義定義2.23

設(shè)A為一個n階實矩陣，如果A滿足ATA=E則稱A為一個n階正交矩陣.2.矩陣為正交矩陣的條件定理2.19n階實矩陣A為正交矩陣的充分必要條件是A可逆，并且A-1=AT.推論

n階實矩陣A為正交矩陣的充分必要條件是AAT=E.n階實矩陣A為正交矩陣的充分必要條件是