離散小波變換與正交小波

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§2.5離散小波變換

與正交小波設(shè)為母小波，記1.離散小波變換則稱為離散小波變換2.正交小波

定義：設(shè)有允許小波

，記

，其中為任意的整數(shù)。如果函數(shù)族構(gòu)成空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基,則稱是正交小波母函數(shù)或簡(jiǎn)稱正交小波稱為正交小波基。

函數(shù)族正交小波

對(duì)任意

，存在唯一的展式：其中稱為

的小波系數(shù)正交小波級(jí)數(shù)分解

小波系數(shù)實(shí)質(zhì)上是離散小波變換，前面所得的二進(jìn)離散小波與連續(xù)小波雖不會(huì)損失信息，但會(huì)產(chǎn)生冗余，而正交小波則可以使變換后所產(chǎn)生的冗余消失。

正交小波

正交小波的例：例5.1經(jīng)過二進(jìn)伸縮與平移可得到是

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，但此小波基是一族階梯函數(shù)，連續(xù)性較差，不適合分析光滑性較好的信號(hào)。它的時(shí)間局部性非常好，但頻域局部性不好

Haar小波定理5.1函數(shù)系

為標(biāo)準(zhǔn)正交系當(dāng)且僅當(dāng)3.平移正交判定定理證明：標(biāo)準(zhǔn)正交

而

周期正交小波

Shannon小波

的一切平移所生成的函數(shù)系構(gòu)成了子空間

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基

尺度函數(shù)令，則具有標(biāo)準(zhǔn)正交基

例5.2正交小波

且對(duì)任意有

于是正交小波

令在時(shí)域，Shannon小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。它的整的平移族

的標(biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基對(duì)任意

Shannon小波基

例5.3考慮線性樣條函數(shù)從幾何上看，顯然是一個(gè)基本小波

易知這里是個(gè)帳篷函數(shù)

定理4.2平移正交構(gòu)造定理若不構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交基，則可令于是

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