第八章特征值問題的計算方法1

第八章特征值問題計算

一、特征值和特征向量的基本概念與性質(zhì)§1基本概念與性質(zhì)設，若存在向量和復數(shù)滿足，則稱是矩陣的特征值，是特征值相應的特征向量。特征多項式的根的集合：譜集矩陣A的特征根模的最大值稱為矩陣A的譜半徑：于是得到兩個特征根分別為：例8.1求矩陣A的特征根與特征向量特征多項式為：對應的特征向量分別為：于是得到兩個特征根分別為：例8.2求矩陣A的特征根與特征向量特征多項式為：對應的特征向量分別為：其中稱為的代數(shù)重數(shù)（簡稱重數(shù)）；為的幾何重數(shù)。設，對于矩陣的特征值，如果，則稱該特征值為的一個半單特征值。若的所有特征值都是半單的，則稱是非虧損的。是非虧損的等價條件是有n個線性無關的特征向量一般的，對矩陣A，其特征多項式可表示為設，若存在矩陣，使得則稱和是相似的。相似矩陣有相同的特征值設尋求已知矩陣的相似矩陣，要求：矩陣的特征值和特征向量容易計算本章QR算法的計算思想：關于矩陣相似，有后面的結論設，有r個互不相同的特征值，其重數(shù)分別為，則一定存在非奇異矩陣使得（Jordan分解）其中且除了的排列次序外，是唯一的。稱作的Jordan標準型設，則存在酉矩陣，使得：（Schur分解）其中是上三角矩陣，且適當選擇，可使的元素按任意指定的順序排列。設，令（圓盤定理）/*DiscTheorem*/則設為對稱矩陣，則存在正交矩陣（譜分解定理）/*SpectralDecomposition*/其中是的n個特征值。使得設為對稱矩陣，且的特征值為（極大極小定理）其中表示中所有k維子空間的全體。則有設為對稱矩陣，其特征值分別為（Weyl定理）則有說明：對稱矩陣的特征值總是良態(tài)的。注意：實際問題中矩陣一般都是由計算或?qū)嶒灥玫?，本身必然存在誤差，不妨假設例8.3求矩陣A的特征根與特征向量其特征多項式為：于是得到兩個特征根分別為：若取初始向量為：先做xk+1=A*xk迭代，并計算||

xk+1||

/||

xk||可發(fā)現(xiàn)對應的特征向量分別為：||

xk||表示的分量模長的最大值，即取無窮范數(shù)1.500000000000001.666666666666671.800000000000001.888888888888891.941176470588241.969696969696971.984615384615381.992248062015501.996108949416341.998050682261211.99901.99951.99981.99991.9999||

xk+1||

/||

xk||xk0.5,1.51.5,2.53.5,4.57.5,8.515.5,16.531.5,32.563.5,64.5127.5,128.5255.5,256.5511.5,512.51023.5,1024.52047.5,2048.54095.5,4096.58191.5,8192.51638.4,1638.5結果表明||

xk+1||

/||

xk||收斂到最大特征根，xk收斂到對應的特征向量。k123456789101112131415但xk的絕對值越來越大，xk/||

xk||即為對應特征向量[1;1]考慮對每次迭代結果歸一化，若做如下迭代：xk+1=A*xk/||

A*xk||則有xk收斂到對應的特征向量，||A*xk||收斂到最大特征根。1.500000000000001.666666666666671.800000000000001.888888888888891.941176470588241.969696969696971.984615384615381.992248062015501.996108949416341.998050682261211.99901.99951.99981.99991.9999||A*xk

||

xk0.3333,1.00000.6000,1.00000.7778,1.00000.8824,1.00000.9394,1.00000.9692,1.00000.9845,1.00000.9922,1.00000.9961,1.00000.9980,1.00000.9990,1.00000.9995,1.00000.9998,1.00000.9999,1.00000.9999,1.0000結果表明||A*xk

||

收斂到A的最大特征根，xk收斂到對應的特征向量。k123456789101112131415由此得到冪法的思想：任取初始向量x0做以下迭代：xk+1=A*xk/||

A*xk||若干步后，用||

A*xk||作為最大特征根的近似，用xk作為對應的特征向量的近似?！?冪法/*PowerMethod*/冪法是計算一個矩陣的模最大的特征值和對應的特征向量的一種迭代方法（又稱為乘冪法）。基本思想假設是可對角化的，即存在如下分解：其中不妨假設對于說明：當k充分大時,的一個近似特征向量為特征向量可以相差一個倍數(shù)因為向量中含有未知量，實際不能計算但我們關心的僅是的方向，故作如下處理：令其中為的模最大分量若用下式迭代，收斂性依然成立冪法迭代算法：Fork=1,2,3,…if輸出和設和均收斂，由算法知冪法可以計算矩陣的模最大的特征值和對應的特征向量因解：Step1例4：利用冪法求下列矩陣的模最大的特征值及相應的特征向量.(取初始向量為)Step2Step3Step4特征值及相應的特征向量精確值為:冪法的收斂性：設有p個互不相同的特征值滿足：且模最大特征值是半單的，如果初始向量在的特征子空間上的投影不為零，則由冪法算法產(chǎn)生的向量序列收斂到的一個特征向量，且數(shù)值序列收斂到。特征子空間：證明：設有如下Jordan分解：是屬于的Jordan塊構成的塊上三角矩陣是半單的特征值令將和如下分塊：記是屬于的一個特征向量幾點說明：定理8.2.1條件不滿足時，冪法產(chǎn)生的向量序列可能有若干個收斂于不同向量的子序列；冪法的收斂速度取決于的大??；加速方法：適當選取，對應用冪法稱之為原點平移法原點平移法不改變矩陣的特征向量冪法可以計算第二個模最大特征值常用的方法：降階方法（收縮技巧）設已經(jīng)計算出模最大特征值及其特征向量根據(jù)對稱矩陣的性質(zhì)，有如何求出其他特征值，及其特征向量于是

例8.5用冪法計算的最大特征值和相應的特征向量.計算過程如表8-1.表8-1的結果是用8位浮點數(shù)字進行運算得到的，的分量值是舍入值.于是得到及相應的特征向量和相應的特征向量的真值（8位數(shù)字）為冪法的加速

原點平移法

由前面討論知道，應用冪法計算的主特征值的收斂速度主要由比值來決定，但當接近于1時，收斂可能很慢.一個補救的辦法是采用加速收斂的方法.引進矩陣其中為選擇參數(shù).設的特征值為，則的相應特征值為，而且的特征向量相同.如果要計算的主特征值，就要適當選擇使仍然是的主特征值，且使對應用冪法，使得在計算的主特征值的過程中得到加速.這種方法通常稱為原點平移法.

例設有特征值比值.作變換則的特征值為應用冪法計算的主特征值的收斂速度的比值為選擇有利的值，雖然能夠使冪法得到加速，但問題在于如何選擇適當?shù)膮?shù).設的特征值滿足（2.10）則不管如何，的主特征值為或.當希望計算及時，首先應選擇使且使收斂速度的比值顯然，當,即時為最小，這時收斂速度的比值為當?shù)奶卣髦禎M足（2.10）且能初步估計時，就能確定的近似值.當希望計算時，應選擇

例6計算矩陣的主特征值.使得應用冪法計算