統(tǒng)計(jì)學(xué)第十一章一元線性回歸

統(tǒng)計(jì)學(xué)第十一章一元線性分析相關(guān)關(guān)系的分析方法一元線性回歸的基本原理和參數(shù)的最小二乘估計(jì)回歸直線的擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗(yàn)利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)用Excel進(jìn)行回歸學(xué)習(xí)目標(biāo)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)11.1

變量間關(guān)系的度量11.2一元線性回歸11.3利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)11.4殘差分析11.1變量間關(guān)系的度量變量間的關(guān)系1相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度2相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)3變量間關(guān)系的度量是一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系設(shè)有兩個(gè)變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x，當(dāng)變量x取某個(gè)數(shù)值時(shí)，y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量各觀測(cè)點(diǎn)落在一條線上xy函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系某種商品的銷售額y與銷售量x之間的關(guān)系可表示為y=px(p為單價(jià))圓的面積S與半徑R之間的關(guān)系可表示為S=R2

企業(yè)的原材料消耗額y與產(chǎn)量x1、單位產(chǎn)量消耗x2、原材料價(jià)格x3之間的關(guān)系可表示為y=x1x2x3xy相關(guān)關(guān)系(correlation)變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達(dá)一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定當(dāng)變量x取某個(gè)值時(shí)，變量y的取值可能有幾個(gè)各觀測(cè)點(diǎn)分布在直線周圍xy父親身高y與子女身高x之間的關(guān)系收入水平y(tǒng)與受教育程度x之間的關(guān)系糧食單位面積產(chǎn)量y與施肥量x1、降雨量x2、溫度x3之間的關(guān)系商品的消費(fèi)量y與居民收入x之間的關(guān)系商品銷售額y與廣告費(fèi)支出x之間的關(guān)系相關(guān)關(guān)系(correlation)相關(guān)關(guān)系(類型)變量間的關(guān)系1相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度2相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)3變量間關(guān)系的度量相關(guān)分析及其假定相關(guān)分析要解決的問題變量之間是否存在關(guān)系？如果存在關(guān)系，它們之間是什么樣的關(guān)系？變量之間的關(guān)系強(qiáng)度如何？樣本所反映的變量之間的關(guān)系能否代表總體變量之間的關(guān)系？為解決這些問題，在進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，對(duì)總體有以下兩個(gè)主要假定兩個(gè)變量之間是線性關(guān)系兩個(gè)變量都是隨機(jī)變量散點(diǎn)圖(scatterdiagram)不相關(guān)負(fù)線性相關(guān)正線性相關(guān)非線性相關(guān)完全負(fù)線性相關(guān)完全正線性相關(guān)散點(diǎn)圖(例題分析)【例】一家大型商業(yè)銀行在多個(gè)地區(qū)設(shè)有分行，其業(yè)務(wù)主要是進(jìn)行基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、國(guó)家重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)、固定資產(chǎn)投資等項(xiàng)目的貸款。近年來，該銀行的貸款額平穩(wěn)增長(zhǎng)，但不良貸款額也有較大比例的增長(zhǎng)，這給銀行業(yè)務(wù)的發(fā)展帶來較大壓力。為弄清楚不良貸款形成的原因，管理者希望利用銀行業(yè)務(wù)的有關(guān)數(shù)據(jù)做些定量分析，以便找出控制不良貸款的辦法。下面是該銀行所屬的25家分行的有關(guān)業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖(例題分析)散點(diǎn)圖(不良貸款對(duì)其他變量的散點(diǎn)圖)變量間的關(guān)系1相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度2相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)3變量間關(guān)系的度量相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)度量變量之間關(guān)系強(qiáng)度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)兩個(gè)變量之間線性相關(guān)強(qiáng)度的度量稱為簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體相關(guān)系數(shù)，記為若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱為相關(guān)系數(shù)，記為r也稱為線性相關(guān)系數(shù)(linearcorrelationcoefficient)或稱為Pearson相關(guān)系數(shù)

(Pearson’scorrelationcoefficient)相關(guān)系數(shù)

(計(jì)算公式)

樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式或化簡(jiǎn)為相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：r

的取值范圍是[-1,1]

|r|=1，為完全相關(guān)r=1，為完全正相關(guān)r=-1，為完全負(fù)正相關(guān)

r=0，不存在線性相關(guān)關(guān)系

-1r<0，為負(fù)相關(guān)0<r1，為正相關(guān)|r|越趨于1表示關(guān)系越強(qiáng)；|r|越趨于0表示關(guān)系越弱相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2：r具有對(duì)稱性。即x與y之間的相關(guān)系數(shù)和y與x之間的相關(guān)系數(shù)相等，即rxy=ryx性質(zhì)3：r數(shù)值大小與x和y原點(diǎn)及尺度無關(guān)，即改變x和y的數(shù)據(jù)原點(diǎn)及計(jì)量尺度，并不改變r(jià)數(shù)值大小性質(zhì)4：僅僅是x與y之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，它不能用于描述非線性關(guān)系。這意為著，r=0只表示兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說明變量之間沒有任何關(guān)系性質(zhì)5：r雖然是兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，卻不一定意味著x與y一定有因果關(guān)系相關(guān)系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)解釋

|r|0.8時(shí)，可視為兩個(gè)變量之間高度相關(guān)0.5|r|<0.8時(shí)，可視為中度相關(guān)0.3|r|<0.5時(shí)，視為低度相關(guān)|r|<0.3時(shí)，說明兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度極弱，可視為不相關(guān)上述解釋必須建立在對(duì)相關(guān)系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)的基礎(chǔ)之上相關(guān)系數(shù)

(例題分析)用Excel計(jì)算相關(guān)系數(shù)變量間的關(guān)系1相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度2相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)3變量間關(guān)系的度量相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

(檢驗(yàn)的步驟)1. 檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系等價(jià)于對(duì)回歸系數(shù)b1的檢驗(yàn)采用R.A.Fisher提出的t檢驗(yàn)檢驗(yàn)的步驟為提出假設(shè)：H0：；H1：0

計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：

確定顯著性水平，并作出決策若t>t，拒絕H0

若t<t，不拒絕H0相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

(例題分析)對(duì)不良貸款與貸款余額之間的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)(0.05)提出假設(shè)：H0：；H1：0計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量3.