彈性力學(xué)問題的建立和一般理論

彈性力學(xué)問題的建立和一般理論第一頁，共四十頁，2022年，8月28日

彈性靜力學(xué)的問題構(gòu)成了偏微分方程組的邊值問題，根據(jù)應(yīng)力或位移為求解的未知函數(shù)進(jìn)行簡化，得到基本方程。直接求解一般是十分困難的，還需要進(jìn)一步簡化為平面問題和對(duì)稱問題。基本方程還為彈性力學(xué)的數(shù)值解法奠定了基礎(chǔ)。第一節(jié)基本方程及其邊值問題第二節(jié)位移解法以位移表示的平衡微分方程第三節(jié)應(yīng)力解法以應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第四節(jié)彈性力學(xué)的一般原理第五節(jié)彈性力學(xué)的簡單問題第二頁，共四十頁，2022年，8月28日

第一節(jié)彈性力學(xué)的基本方程及其邊值問題

彈性力學(xué)基本方程包括平衡（運(yùn)動(dòng)）微分方程、幾何方程和物理方程。平衡（運(yùn)動(dòng)）微分方程：第三頁，共四十頁，2022年，8月28日張量形式：第四頁，共四十頁，2022年，8月28日幾何方程---應(yīng)變和位移的關(guān)系：張量形式：第五頁，共四十頁，2022年，8月28日物理方程---應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系：（1）用應(yīng)力表示應(yīng)變的關(guān)系式或張量形式：第六頁，共四十頁，2022年，8月28日（2）用應(yīng)變表示應(yīng)力的關(guān)系式

或第七頁，共四十頁，2022年，8月28日空間問題的未知數(shù)應(yīng)力分量6個(gè)應(yīng)變分量6個(gè)位移分量3個(gè)應(yīng)力邊界條件：在全部邊界上給定外力(面力)，應(yīng)力應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。在S邊界上未知函數(shù)15個(gè)，方程數(shù)也為15個(gè)。位移和應(yīng)力還應(yīng)該滿足單值條件求解方程所需的邊界條件:第八頁，共四十頁，2022年，8月28日張量形式為:

在S邊界上位移邊界條件在全部邊界上的已知位移。在S邊界上或(3)混合邊界條件既有應(yīng)力邊界，又有位移邊界。第九頁，共四十頁，2022年，8月28日第二節(jié)位移法以位移表示的平衡微分方程

基本方程的解法上述如此龐大的偏微分方程組的求解是不方便的，通常消去部分未知數(shù)，分為位移法和力法。位移解法是以位移分量作為基本變量求解，故必須從基本方程中消去應(yīng)力分量和應(yīng)變分量，得到只包含位移分量的方程。位移法應(yīng)用必須將邊界用位移分量表示。第十頁，共四十頁，2022年，8月28日位移法：以位移為未知量代入物理方程

σ=Dε得到右式將幾何方程第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日再代入平衡方程，就得到位移形式的平衡方程，稱為拉梅方程其中稱為體積應(yīng)變。是拉普拉斯算子第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日拉梅方程還可以表示為：其中：，矢量形式的方程：其中：

第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日第三節(jié)應(yīng)力解法以應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

力法：力法以應(yīng)力分量為未知函數(shù)1、平衡方程僅含應(yīng)力分量，但方程數(shù)只有3個(gè)，未知函數(shù)有六個(gè)，因此需要補(bǔ)充方程。2、應(yīng)力解法歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解平衡方程、物理方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。

3、要將所有方程中的應(yīng)變分量消去，使他們變成一組以應(yīng)力分量表示的方程第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日由應(yīng)力求解位移還需補(bǔ)充一組方程:

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程:

第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日補(bǔ)充方程可由位移應(yīng)變方程中消去位移得到，稱為變形協(xié)調(diào)條件，由此可得到相容方程。將二、三式分別對(duì)z,y求二階導(dǎo)數(shù)再相加，得第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日類似可以得到另外兩個(gè)方程第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日將右邊后三式分別對(duì)x,y,z求導(dǎo)，后兩式相加減去第一式，再對(duì)x求導(dǎo)，得第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日

將上面得到的六個(gè)方程中的應(yīng)變分量用應(yīng)力分量代替，簡化后得到密切爾相容方程類似可以得到另外兩個(gè)方程第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日其中第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日

對(duì)于以上貝爾特拉米（Beltrami,E）--米歇爾（Michell,J.H.）方程。如體力為常數(shù)，則可化簡為第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日1.以位移表示的平衡方程第二節(jié)彈性力學(xué)問題的基本解法

若采用位移法，則需變換平衡方程為以位移為未知量，在求解時(shí)不需要形變連續(xù)方程。如方程由本構(gòu)關(guān)系于是，平衡方程變?yōu)椋旱诙?，共四十頁?022年，8月28日

1.以位移表示的平衡方程第二節(jié)彈性力學(xué)問題的基本解法引入可得第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日1.以位移表示的平衡方程第二節(jié)彈性力學(xué)問題的基本解法如沒有體力，則上式為齊次方程，令可得

在上式方程變換過程中，引進(jìn)幾何特性因素及物理特性，因此，是彈性理論問題的三個(gè)方面(力學(xué)、幾何、物理)的綜合結(jié)果。第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日1.以位移表示的平衡方程第二節(jié)彈性力學(xué)問題的基本解法邊界條件作變換，得用位移表示的邊界條件如下：其中

是函數(shù)u沿物體表面法線V的導(dǎo)數(shù)。第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日2.以應(yīng)力表示的形變連續(xù)方程第二節(jié)彈性力學(xué)問題的基本解法

應(yīng)力平衡方程以應(yīng)力為未知量。現(xiàn)將形變連續(xù)方程加以變換，以應(yīng)力分量代替形變分量：及應(yīng)力平衡方程

對(duì)x積分，可得到以應(yīng)力表示的形變連續(xù)方程。(參考王龍甫《彈性力學(xué)》)第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日2.以應(yīng)力表示的形變連續(xù)方程第二節(jié)彈性力學(xué)問題的基本解法

在沒有體積力或體積力為常量，則形變連續(xù)方程為：第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日3.以位移表示的平衡方程和以應(yīng)力表示的形變連續(xù)方程的特性第二節(jié)彈性力學(xué)問題的基本解法

對(duì)于以位移表示的方程為：分別對(duì)x、y、z進(jìn)行微分并相加可得：第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日3.以位移表示的平衡方程和以應(yīng)力表示的形變連續(xù)方程的特性第二節(jié)彈性力學(xué)問題的基本解法

則：均滿足拉普拉斯方程，因此是調(diào)和函數(shù)。同樣可以推證:(自證)第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日3.以位移表示的平衡方程和以應(yīng)力表示的形變連續(xù)方程的特性第二節(jié)彈性力學(xué)問題的基本解法

對(duì)形變連續(xù)方程，作拉普拉斯算子的運(yùn)算，則有：(自證)都是雙調(diào)和函數(shù)。

可見，在沒有體力或體力為常量時(shí)，平衡方程和形變連續(xù)方程均可歸結(jié)為雙調(diào)和方程，基本未知函數(shù)第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日

在沒有體力的情況下，彈性力學(xué)的平衡方程和形變連續(xù)方程都是齊次的，如平衡方程的解已經(jīng)求得，以后就只要去解形變連續(xù)方程，使求解過程得到簡化。如果應(yīng)力分量用包含x，y，z的函數(shù)來表達(dá)，稱這些函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)。下面介紹兩種應(yīng)力函數(shù)。第三節(jié)平衡方程的齊次解應(yīng)力函數(shù)取三個(gè)任意函數(shù)1.Maxwell應(yīng)力函數(shù)用這些應(yīng)力函數(shù)表達(dá)剪應(yīng)力：第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日第三節(jié)平衡方程的齊次解應(yīng)力函數(shù)代入平衡方程，并求積分得：1.Maxwell應(yīng)力函數(shù)這里稱為應(yīng)力函數(shù)。第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日第三節(jié)平衡方程的齊次解應(yīng)力函數(shù)以應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程為：1.Maxwell應(yīng)力函數(shù)式中第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日第三節(jié)平衡方程的齊次解應(yīng)力函數(shù)1.Maxwell應(yīng)力函數(shù)此時(shí)，可解彈性力學(xué)中的平面問題，函數(shù)稱為艾雷(Airy)應(yīng)力函數(shù)，協(xié)調(diào)方程可化為：為雙調(diào)和函數(shù)。第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日第三節(jié)平衡方程的齊次解應(yīng)力函數(shù)2.馬立拉(Morera)函數(shù)第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日第三節(jié)平衡方程的齊次解應(yīng)力函數(shù)2.馬立拉(Morera)函數(shù)以應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程可表示為：式中：第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日第四節(jié)彈性理論的一般原理1.局部影響原理(圣維南原理)2.迭加原理解為：設(shè)物體的表面力為及體積力，按方程求得的于是又設(shè)同一物體有表面力及體積力求得應(yīng)力解為：表示的應(yīng)力由于表面力和體積力所產(chǎn)生。

可證明，基本方程及邊界條件是線性的，即迭加原理，其適用條件為：小變形情況。第三十七頁，共四十頁，2022年，8月28日第四節(jié)彈性理論的一般原理3.形變能定理

過去我們已討論過形變能的變分形式，引入拉梅常數(shù)，并利用應(yīng)力分量和形變分量表示，則有：討論外力作功時(shí)，

表示在變形過程中，形變能等于產(chǎn)生彈性位移時(shí)，外力所作功的一半，即形變能定理。如逐漸施加載荷，則形變能等于外力所作的功。第三十八頁，共四十頁，2022年，8月28日第四節(jié)彈性理論的一般原理4.功的互等定理

設(shè)在彈性物體上作用著兩個(gè)外力系