應力狀態(tài)與強度理論

第九章應力狀態(tài)與材料力學第九章應力狀態(tài)與強度理論§9–1引言§9–2二向應力狀態(tài)分析——解析法§9–3二向應力狀態(tài)分析——圖解法§9–4三向應力狀態(tài)簡介§9–5

廣義虎克定律§9–6復雜應力狀態(tài)的應變能密度§9–8莫爾強度理論§9–7四種常用的強度理論§9–１引言應力狀態(tài)與強度理論一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP四、普遍狀態(tài)下的應力表示

三、單元體：單元體——構件內(nèi)的點的代表物，是包圍被研究 點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體的性質(zhì)——a、各側面上，應力均布；b、平行面上，應力相等, 方向相反。二、一點的應力狀態(tài)：

過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

ytxy應力狀態(tài)與強度理論xyzs

xsz

s

ytxy五、切應力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的切應力分量,則兩個面上的這兩個切應力分量一定等值、方向相對或相離。應力狀態(tài)與強度理論tzx五、原始單元體（已知單元體）：例1畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。

PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx應力狀態(tài)與強度理論六、主單元體、主面、主應力：主單元體(Principalbody)：各側面上切應力均為零的單元體。主平面(PrincipalPlane)：切應力為零的截面。主應力(PrincipalStress）：主平面上的正應力。主應力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，s1s2s3xyzsxsysz應力狀態(tài)與強度理論單向應力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）：一個主應力不為零的應力狀態(tài)。

二向應力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：一個主應力為零的應力狀態(tài)。三向應力狀態(tài)（Three—DimensionalStateof

Stress）：三個主應力都不為零的應力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz應力狀態(tài)與強度理論§9–2二向應力狀態(tài)分析——解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO應力狀態(tài)與強度理論規(guī)定：截面外法線同向為正；

ta繞研究對象順時針轉為正；

a逆時針為正。圖1一、任意斜截面上的應力xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2已知：x,sy拉正壓負；

t

xy繞研究對象順時針轉為正；圖2aSScosaSsina設：斜截面面積為S，應力狀態(tài)與強度理論圖1由分離體平衡得：sytxysxsataaxyOtn圖2aSScosaSsina考慮切應力互等和三角變換：aa應力狀態(tài)與強度理論圖1xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2得：同理,由分離體平衡：得：∴任意斜截面應力sa,ta可求,隨a而變.應力狀態(tài)與強度理論二、極值應力xysxtxysyOsa隨a而變.主平面法線與X軸夾角:可求出相差90o的兩個a0,定兩個互相垂直平面,分別對應最大、最小主應力:應力狀態(tài)與強度理論xysxtxysyO(max)在切應力相對的象限內(nèi)，且偏向于x及y大的一側。222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

）（極值切應力所在面(法線與X軸夾角):應力狀態(tài)與強度理論例2分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體求極值應力txyCtyxMCxyOtxytyx

應力狀態(tài)與強度理論破壞分析低碳鋼鑄鐵應力狀態(tài)與強度理論§9–3二向應力狀態(tài)分析——圖解法對上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應力圓（

StressCircle）xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲線為圓—應力圓（或莫爾圓)應力狀態(tài)與強度理論建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的畫法在坐標系內(nèi)畫出點A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)應力狀態(tài)與強度理論sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力(，)應力圓上一點(，)面的法線應力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2；且轉向一致。點面對應,轉向相同,轉角二倍應力狀態(tài)與強度理論四、在應力圓上標出極值應力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3應力狀態(tài)與強度理論s3例3求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

12解：主應力坐標系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應力圓0s1s2BAC2a0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標系內(nèi)畫出點應力狀態(tài)與強度理論s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主應力及主平面如圖

102AB應力狀態(tài)與強度理論解法2—解析法：分析——建立坐標系如圖60°xyO應力狀態(tài)與強度理論12345P1P2q如圖，已知梁發(fā)生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q>0，試確定截面上各點主應力大小及主平面位置。單元體：五、梁的主應力及主應力跡線應力狀態(tài)與強度理論21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O應力狀態(tài)與強度理論拉力壓力主應力跡線（StressTrajectories)：實線表示拉主應力跡線；1313虛線表示壓主應力跡線。主應力方向線的包絡線——曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應力方位（或壓主應力方位）。兩組曲線正交.應力狀態(tài)與強度理論qxy主應力跡線的畫法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd1331應力狀態(tài)與強度理論§9–4三向應力狀態(tài)簡介s2s1xyzs31、空間應力狀態(tài)應力狀態(tài)與強度理論2、三向應力分析彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點任意截面上的應力都對應著圖b的應力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點。圖a圖b整個單元體內(nèi)的最大切應力為：tmaxs2s1xyzs3應力狀態(tài)與強度理論例4求圖示單元體的主應力和最大切應力。（MPa）解：由單元體圖知：yz面為主面建立應力坐標系如圖，畫應力圓和點1′,得:5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax應力狀態(tài)與強度理論§7–6平面應變分析一、疊加法求應變分析公式剪應變：直角的增大為正！xyOX’Y’已知構件任一點處應變ex、ey、gxy。正應變：拉正壓負。將坐標系轉a角，得到新的X’OY’坐標.求X’坐標方向的線應變ea和X’OY’角的剪應變ga

.因為小變形、線彈性，可分別算出ex,

ey，

gxy單獨存在時的線應變和剪應變，再用疊加原理求它們同時存在時的ea，ga

.應力狀態(tài)與強度理論abcdaAOB應力狀態(tài)與應變狀態(tài)DD1EE1xyOX’Y’應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xyOabcdaAOBDD2EE2DD3EE3應力狀態(tài)與應變狀態(tài)xyOabcdaAOB應力狀態(tài)與應變狀態(tài)2、已知一點A的應變（），畫應變圓二、應變分析圖解法——應變圓（StrainCircle）1、應變圓與應力圓的類比關系建立應變坐標系如圖在坐標系內(nèi)畫出點

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB與a

軸的交點C便是圓心以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應變圓。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)eaga/2ABCeaga/2三、方向上的應變與應變圓的對應關系maxmin20D(，/2)2n應力狀態(tài)與應變狀態(tài)方向上的應變(，/2)應變圓上一點(，/2)方向線應變圓的半徑兩方向間夾角兩半徑夾角2；且轉向一致。ABC四、主應變數(shù)值及其方位應力狀態(tài)與應變狀態(tài)例5已知一點在某一平面內(nèi)的1、2、3、方向上的應變1、2、3，三個線應變，求該面內(nèi)的主應變。解：由i=1,2,3這三個方程求出x，y，xy；然后在求主應變。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)(剪應變不易測)。例6用45°應變花測得一點的三個線應變后，求該點的主應變。xyu45o0max應力狀態(tài)與應變狀態(tài)§9–5

廣義虎克定律一、單拉下的應力--應變關系二、純剪的應力--應變關系xyzsxxyz

x

y應力狀態(tài)與強度理論三、復雜狀態(tài)下的應力---應變關系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx應力狀態(tài)與強度理論主應力---主應變關系四、平面狀態(tài)下的應力---應變關系:方向一致s1s3s2應力狀態(tài)與強度理論主應力與主應變方向一致?應力狀態(tài)與強度理論五、體積應變與應力分量間的關系體積應變：體積應變與應力分量間的關系:s1s3s2a1a2a3應力狀態(tài)與強度理論例7已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內(nèi)主應變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點處的主應力及另一主應變。所以，該點處的平面應力狀態(tài)應力狀態(tài)與強度理論me3342.-=應力狀態(tài)與應變狀態(tài)例8圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應變片測得環(huán)向應變t

=350×l06，若已知容器平均直徑D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，試求:1.導出容器橫截面和縱截面上的正應力表達式；2.計算容器所受的內(nèi)壓力。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)pppxs1smlpODxABy圖a1、軸向應力:(longitudinalstress)解：容器的環(huán)向和縱向應力表達式用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據(jù)平衡方程應力狀態(tài)與應變狀態(tài)psmsmxD圖b用縱截面將容器截開，受力如圖c所示2、環(huán)向應力：(hoopstress)3、求內(nèi)壓（以應力應變關系求之）應力狀態(tài)與應變狀態(tài)t

m外表面ypststDqdqz圖cO§9－6復雜應力狀態(tài)的應變能密度23

1圖a圖c3-m

1-m2-m應力狀態(tài)與應變狀態(tài)m圖bmm稱為形狀改變比能或歪形能。應力狀態(tài)與應變狀態(tài)圖c3-m

1-m2-mm圖bmm稱為體積改變比能。例9

用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關系。純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應力表示為：應力狀態(tài)與應變狀態(tài)txyA13一、概述：§9–7四種常用的強度理論強度理論1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP確定破壞（極限）應力，得許用應力，建立相應的強度條件，（一）、簡單變形時強度條件的建立：（二）、強度理論：是關于“構件發(fā)生強度失效起因”的假說。1、伽利略播下了第一強度理論的種子；（三）、材料的破壞形式：⑴屈服（多為塑性材料）；⑵斷裂（多為脆性材料）。2、馬里奧特關于變形過大引起破壞的論述，是第二強度理論的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大切應力理論；4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximumdistortionenergytheory）；這是后來人們在他的書信出版后才知道的。強度理論找到原因后，利用簡單應力狀態(tài)的實驗結果，建立復雜應力狀態(tài)的強度條件。二、最大拉應力（第一強度）理論：1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、適用范圍：適用于破壞形式為脆斷的承受拉應力的構件。強度理論認為構件的斷裂破壞是由最大拉應力引起的。當最大拉應力達到單向拉伸的強度極限時，構件就斷了。（一般是金屬材料，如鑄鐵的單向拉、扭。 不適用單向、兩向壓。）三、最大伸長線應變（第二強度）理論：1、破壞判據(jù)：2、強度準則：3、適用范圍：適用于破壞形式為脆斷的構件。強度理論同時考慮了s1、s2、s3，適用于脆性材料（一般非金屬）。不適用于兩向拉、壓。認為構件的斷裂破壞是由最大伸長線應變引起的。當最大伸長線應變達到單向拉伸試驗下的極限應變時，構件就斷了。四、最大切應力（第三強度）理論：1、破壞判據(jù)：3、適用范圍：適用于破壞形式為屈服的構件。2、強度準則：強度理論適用于塑性材料，應用廣泛，形式簡單，概念明確。缺點：忽略了s2的影響，偏于安全。認為構件的屈服破壞是由最大切應力引起的。當最大切應力達到單向拉伸試驗的極限切應力時，構件就破壞了。五、形狀改變比能理論（第四強度理論）（畸變能密度理論）：1、破壞判據(jù)：2、強度準則3、適用范圍：適用于破壞形式為屈服的構件。強度理論對塑性材料,第四強度理論與試驗結果相當接近,優(yōu)于第三強度理論.認為構件的屈服破壞是由形狀改變比能引起的。當形狀改變比能達到單向拉伸試驗屈服時的形狀改變比能時，構件就破壞了。六、強度理論的選用原則：依破壞形式而定。1、脆性材料：當最小主應力大于等于零時，使用第一理論；3、簡單變形時：一律用與其對應的強度準則。如扭轉，都用：2、塑性材料：當最小主應力大于等于零時，使用第一理論；4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關！當最小主應力小于零而最大主應力大于零時，使用莫爾理論。當最大主應力小于等于零時，使用第三或第四理論。其它應力狀態(tài)時，使用第三或第四理論。強度理論七、相當應力：（強度準則的統(tǒng)一形式）。其中，r—相當應力。強度理論解：危險點A的應力狀態(tài)如圖：例1直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,為鑄鐵構件，[