彈性體的形變勢(shì)能位移變分方程林國(guó)昌

彈性體的形變勢(shì)能位移變分方程林國(guó)昌第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日彈性力學(xué)的微分提法微分法：從微元入手，建立其基本微分方程。在給定邊界條件下，求解偏微分方程問(wèn)題（偏微分方程的邊值問(wèn)題）。平衡方程幾何方程物理方程微元體微分法的解：解為精確解，完全滿足微分方程。2第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日彈性力學(xué)的變分法(能量法)變分法：考慮整個(gè)系統(tǒng)的能量關(guān)系(如形變勢(shì)能，外力勢(shì)能等)，建立泛函變分方程；在給定約束條件下求解泛函極值的變分問(wèn)題。最后將問(wèn)題歸結(jié)為易于求解的線性方程組，從而獲得問(wèn)題的近似解答。變分法的解：解為近似解，近似滿足微分方程。以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象彈性力學(xué)中的變分法又稱為能量法。3第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日彈性力學(xué)的變分法(能量法)力學(xué)概念：形變勢(shì)能外力勢(shì)能數(shù)學(xué)概念：泛函變分4第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

§11-1彈性體的形變勢(shì)能林國(guó)昌第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

泛函變分6第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日泛函的提出約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）于1696年提出一個(gè)問(wèn)題：最速降線問(wèn)題。問(wèn)題描述：時(shí)間集合T函數(shù)集合yT1y11T2y22TiyiiTnynn(a,b)設(shè)有兩點(diǎn)A、B不在同意鉛垂線上，在A、B兩點(diǎn)間連接一條曲線，有一重物沿曲線從A到B受重力作用自由下滑。若忽略摩擦力，問(wèn)怎樣的曲線使得從A到B的自由下滑時(shí)間最短？函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，是從非空數(shù)集A到實(shí)數(shù)集B的對(duì)應(yīng)。7第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日函數(shù)與泛函函數(shù)：f(x)是變量x的實(shí)函數(shù)，即在其定義域內(nèi)，任一x值都有一個(gè)實(shí)數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)。泛函：Π(y)是函數(shù)y(x)的泛函，即在其定義域內(nèi)，任一函數(shù)y(x)都有一個(gè)實(shí)數(shù)Π(y)與之對(duì)應(yīng)。自變量因變量f(x1)f(x2)f(xi)f(xn)函數(shù)f(x)x1x2xixn實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)y1y2yiyn函數(shù)自變量Π(y1)Π(y2)Π(yi)Π(yn)實(shí)數(shù)因變量泛函：就是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)。簡(jiǎn)單的講，泛函就是函數(shù)的函數(shù)。對(duì)應(yīng)法則f泛函Π(y)對(duì)應(yīng)法則Π8第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日泛函從點(diǎn)A到點(diǎn)B的總時(shí)間是T是y(x)的泛函滿足y(0)=

0，y(a)

=b(a,b)最速降線問(wèn)題：稱時(shí)間T是函數(shù)y的泛函。求泛函的極值問(wèn)題——變分。9第九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日變分變分命題的實(shí)質(zhì)是求泛函的極值問(wèn)題。給定函數(shù)y(x)變量：x函數(shù)：y(x)變量的增量：Δx函數(shù)的增量：Δy＝y(tǒng)(x+Δx)-y(x)當(dāng)兩點(diǎn)無(wú)限接近：Δx→dx，Δy→dy略去高階微量：dy＝y(tǒng)’(x)dx當(dāng)在x處取得函數(shù)極值dy＝0給定泛函Π(y)變量：y泛函：Π(y)函數(shù)的變分：δy泛函的變分：δΠ＝Π(y+δy)-Π(y)在計(jì)算δΠ時(shí)可以展開Π(y+δy)中的被積函數(shù)只保留線性項(xiàng)。當(dāng)在y處取得泛函極值δΠ＝0泛函Π(y)為極小值；泛函Π(y)為極大值.10第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日變分與微分的比較

微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標(biāo))改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量x,y；而因變量為函數(shù)，如位移u，有

由于微分和變分都是微量，所以它們的運(yùn)算方式相同，如上面兩式變分─是在同一點(diǎn)位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如勢(shì)能V

11第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日泛函變分的基本運(yùn)算法則(1)、泛函變分運(yùn)算與微分運(yùn)算法則基本相同

(2)、和以及積分算子具有交換律：12第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)變能密度，形變勢(shì)能13第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日1應(yīng)變能密度假定：彈性體在受力過(guò)程中始終保持平衡，

(1)沒有動(dòng)能的改變；

(2)彈性體的非機(jī)械能(例如溫度)也沒有變化。則外力勢(shì)能的減少(外力所作的功)=形變勢(shì)能(應(yīng)變能)的增加。形變勢(shì)能的計(jì)算：形變勢(shì)能可以用應(yīng)力在其相應(yīng)的應(yīng)變上所做的功來(lái)計(jì)算。14第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日1應(yīng)變能密度設(shè)彈性體只在某一方向上，如x方向，受均勻的正應(yīng)力作用，相應(yīng)的線應(yīng)變?yōu)?，則每單位體積內(nèi)具有形變勢(shì)能表示為：(a)應(yīng)變能密度是應(yīng)變分量的泛函，因?yàn)樽宰兒瘮?shù)為。當(dāng)彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線性時(shí)，即(c)應(yīng)變能密度：每單位體積內(nèi)具有形變勢(shì)能。應(yīng)變能密度為應(yīng)力-應(yīng)變曲線右下方分面積。15第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日2應(yīng)變余能密度應(yīng)力-應(yīng)變曲線左上方的面積，稱為應(yīng)變余能密度。記為：(b)當(dāng)彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線性時(shí)，即(d)應(yīng)變余能密度是應(yīng)力分量的泛函，自變函數(shù)為。表示的就是單位體積內(nèi)的應(yīng)變余能。16第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明(c)(d)注意：(1)數(shù)值相等；(2)自變量不同。應(yīng)變能密度：應(yīng)變余能密度：當(dāng)應(yīng)力-應(yīng)變曲線為線性時(shí)：17第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日3全部的應(yīng)變能密度同理，彈性體只在某兩個(gè)相互垂直的方向，如x、y受均勻的切應(yīng)力作用，其相應(yīng)的切應(yīng)變?yōu)?，則應(yīng)變能密度為：(應(yīng)力-應(yīng)變線性關(guān)系)(e)疑問(wèn)：一個(gè)應(yīng)力分量會(huì)引起另一應(yīng)力分量相應(yīng)的形變分量(如)，似乎形變勢(shì)能與彈性體的受力次序不同而不同。同理，如果彈性體同時(shí)受到作用，則全部的應(yīng)變能密度可以寫為：18第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日3全部的應(yīng)變能密度

形變勢(shì)能的多少與彈性體受力的次序無(wú)關(guān)，而完全確定于應(yīng)力與形變的最終值。能量守恒定律：反證：按某一次序?qū)椥泽w加載，而按照另一次序卸載，在一個(gè)循環(huán)中使彈性體增加或減少一定的能量，這是不可能的。疊加原理：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)可以分解為各個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的組合，各個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)力在對(duì)應(yīng)的形變下所做的功之和，即為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能。19第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4整個(gè)彈性系統(tǒng)的形變勢(shì)能

一般情況下，彈性體受力不均勻，應(yīng)力分量和形變分量都是位置坐標(biāo)的函數(shù)；應(yīng)變能密度也是坐標(biāo)的函數(shù)，整個(gè)彈性體的形變勢(shì)能是把應(yīng)變能密度在整個(gè)彈性體內(nèi)的積分，即：(f)(g)形變勢(shì)能是形變分量的泛函。代入(e)式：20第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日5形變表示的彈性體形變勢(shì)能利用物理方程(8-19)，形變勢(shì)能可僅用形變分量表示。其中，(h)將(h)代入(g)式得：彈性體的形變勢(shì)能表達(dá)式：(11-1)其中，21第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日表明：(1)不論形變?nèi)绾?，彈性體的形變勢(shì)能總不會(huì)是負(fù)的，在所有的形變分量為0時(shí)，形變勢(shì)能才為0。(2)形變勢(shì)能是應(yīng)變(或位移)的二次函數(shù)，因此不能用疊加原理，如先發(fā)生位移u1，再發(fā)生位移u2

，則。5形變表示的彈性體形變勢(shì)能(11-1)22第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日6格林公式在六個(gè)應(yīng)力分量作用下，應(yīng)變能密度僅用形變分量表示為：(i)對(duì)六個(gè)形變分量求導(dǎo)，得：(11-2)表明：(1)彈性體的應(yīng)變能密度對(duì)任一形變分量的改變率，等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。(2)應(yīng)變能密度是彈性體材料本構(gòu)關(guān)系的另一種表達(dá)形式。(11-2)式稱為格林(Green,G.)公式。(11-1)23第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日7位移表示的彈性體形變勢(shì)能形變勢(shì)能用位移分量表示，(11-3)由空間問(wèn)題幾何方程代入(11-1)，彈性體的形變勢(shì)能表達(dá)式為：(8-9)(11-1)24第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日8應(yīng)變余能同理：整個(gè)彈性體的應(yīng)變余能為：（j）應(yīng)變余能密度在應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線性時(shí)，同樣可表示為（k）注：應(yīng)變余能是以應(yīng)力分量為自變函數(shù)的泛函，因此應(yīng)變余能可僅用應(yīng)力分量來(lái)表示（l）由物理方程：代入(k)式，簡(jiǎn)化后得應(yīng)變余能密度表達(dá)式：（m）是否可能為負(fù)？25第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日9卡斯蒂利亞諾(Castigliano)公式對(duì)整個(gè)彈性體積分后得，整個(gè)彈性體的應(yīng)變余能：（11-4）(m)式對(duì)應(yīng)力分量求導(dǎo)得：（11-5）表明：彈性體的應(yīng)變余能密度對(duì)任一應(yīng)力分量的改變率，等于相應(yīng)的形變分量。稱為卡斯蒂利亞諾(Castigliano)公式。（m）26第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日10小結(jié)形變勢(shì)能的性質(zhì)：形變勢(shì)能的大小與受力順序無(wú)關(guān)。當(dāng)應(yīng)變或位移發(fā)生時(shí)，形變勢(shì)能總是正的，即形變勢(shì)能是位移或應(yīng)變的二次函數(shù)，因此不能用疊加原理，如先發(fā)生位移

u1，在發(fā)生位移u2，則單位體積的形變勢(shì)能(即應(yīng)變能密度)對(duì)任一應(yīng)變分量的導(dǎo)數(shù)等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。27第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

§11.2位移變分方程林國(guó)昌哈爾濱工業(yè)大學(xué)復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日0實(shí)際平衡狀態(tài)下的位移(1)、實(shí)際平衡狀態(tài)下的位移設(shè)彈性體實(shí)際平衡狀態(tài)下的位移為

u、v、w,必須滿足用位移表示的平衡微分方程用位移表示的應(yīng)力邊界條件位移邊界條件其中，和屬于靜力平衡條件，反映了載荷作用下各微元以及整個(gè)物體都處于平衡狀態(tài)的要求；屬于約束條件，是求解位移的必要條件，和是充分條件。前面各章在求解位移分量時(shí)，都直接致力于尋找同時(shí)滿足以上三個(gè)條件的真實(shí)位移；本章則分兩步處理：首先尋找滿足位移邊界條件的位移分量(可能有無(wú)數(shù)多個(gè))，之后在這些位移分量中尋找滿足以上所有條件的真實(shí)位移。29第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日1.虛位移F虛位移：在數(shù)學(xué)上稱為位移變分，即表示約束條件允許下平衡狀態(tài)附近的微小增量。約束條件允許：滿足位移邊界條件。以一個(gè)懸臂梁為例，只考慮位移邊界條件的約束（不考慮懸臂梁是否平衡），w和w+δw都是可能出現(xiàn)的位移。w和w+δw是滿足位移邊界條件的位移自變函數(shù)。他們的差δw稱為虛位移。虛位移不反應(yīng)真實(shí)性，只反映可能性。30第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日2.虛功

假定彈性體在虛位移過(guò)程中并沒有溫度的改變，也沒有速度的改變，即能量守恒，則形變勢(shì)能的增加等于外力勢(shì)能的減少，也就等于外力在虛位移上所作的功，即虛功。虛功：就是載荷在約束條件允許的虛位移上所做的功。31第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日3、位移變分方程依據(jù)能量守恒定理，形變勢(shì)能的增加等于外力在虛位移上所做的虛功為：(11-6)(11-6)式為位移變分方程，也稱為拉格朗日變分方程。考察：一個(gè)彈性體在一定的外力作用下處于平衡狀態(tài)，假想發(fā)生了位移所允許的微小改變，即虛位移

能量將產(chǎn)生什么變化？32第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日3、位移變分方程(11-6)(11-6)式為位移變分方程，也稱為拉格朗日變分方程。它表示：在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移變分時(shí)，所引起的形變勢(shì)能的變分=外力功的變分。位移只滿足位移邊界條件導(dǎo)出位移變分方程沒有考慮以下條件：用位移表示的平衡微分方程。用位移表示的應(yīng)力邊界條件。33第三十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4、虛功方程應(yīng)用位移變分方程，得到有限單元法中一個(gè)重要方程---虛功方程。依據(jù)變分原理，變分的運(yùn)算與定積分運(yùn)算可以交換次序。把應(yīng)變能密度看作形變分量的函數(shù)(泛函)：(11-2)格林公式34第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日(11-7)這就是虛功方程.表示：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體是處于平衡狀態(tài)，則在虛位移過(guò)程中，外力在虛位移上所做的虛功=應(yīng)力在相應(yīng)虛應(yīng)變上所做的虛功。4、虛功方程代入位移變分方程(11-6)，得：(11-6)(11-7)35第三十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日5、最小勢(shì)能原理由于虛位移是微小的，所以在虛位移過(guò)程中，外力的大小和方向可以認(rèn)為保持不變，只是作用點(diǎn)有了改變，于是位移變分方程(11-6)可改寫為：將變分與定積分交換次序，移項(xiàng)后得:（a）(11-6)36第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日5、最小勢(shì)能原理用V表示外力勢(shì)能(以u(píng)=v=w=0時(shí)的自然狀態(tài)下的勢(shì)能為0)，它等于外力在實(shí)際位移上所做的功，并在前加以負(fù)號(hào)，即：（b）即得：（a）

是形變勢(shì)能與外力勢(shì)能的總和，上式表明：在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移使總勢(shì)能的變分為0。37第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各位移中，實(shí)際存在一組位移應(yīng)使總勢(shì)能成為極值，即5、最小勢(shì)能原理也就表示在平衡狀態(tài)，體系的總勢(shì)能取極值。極大值？極小值？設(shè)總勢(shì)能為：

表示在實(shí)際位移u處，Ep曲線的切線為水平線；表示在實(shí)際位移u處，Ep曲線是上凹曲線，因此，Ep=min。最小勢(shì)能原理：38第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日5、最小勢(shì)能原理如圖中的球，平衡時(shí)的總勢(shì)能可取極大值或極小值，對(duì)于穩(wěn)定的平衡(位移為實(shí)際的位移)，從這樣的平衡狀態(tài)產(chǎn)生虛位移時(shí)，總勢(shì)能的增量總是正的，因此在穩(wěn)定平衡狀態(tài)，實(shí)際的位移使彈性體的總勢(shì)能取最小值，這就是最小勢(shì)能原理。39第三十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明導(dǎo)出位移變分方程沒有考慮以下條件：用位移表示的平衡微分方程。用位移表示的應(yīng)力邊界條件。位移只滿足位移邊界條件最小勢(shì)能原理求出真實(shí)的位移位移變分方程用位移表示的平衡微分方程。用