有限元法基礎-2理論基礎

第二章有限元法的理論基礎

2.1微分方程的等效積分形式2.2等效積分的“弱”形式2.3加權(quán)余量法2.4變分原理2.5Ritz法2.6彈性力學的變分原理2.1微分方程的等效積分形式已知算子方程方程的解在域W中的每一點都滿足算子方程和邊界條件

有限元法基礎2.1微分方程的等效積分形式算子

設X和Y是同一數(shù)域P上的兩個賦范線性空間，D是X的一個子集，若存在某種對應法則T，使對任意,有唯一確定的與之對應，則T稱為X中D到Y(jié)的算子，或映射。D稱為T的定義域，y或T(x)稱為象，象的集合稱為T的值域。算子方程

設算子T的定義域為D，，值域為T(D),,等式稱為算子方程。

有限元法基礎2.1微分方程的等效積分形式將算子方程及邊界條件在各自的定義域中積分，有

有限元法基礎2.1微分方程的等效積分形式進一步改寫為可以證明在積分方程對任意的v

都成立的話，則積分項在域內(nèi)每一點都滿足算子方程和邊界條件。稱為算子方程的等效形式特點和是單值函數(shù)并且在定義域上可積

u的選擇取決于算子A和B

有限元法基礎2.1微分方程的等效積分形式例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程等效積分方程

有限元法基礎2.2等效積分的“弱”形式對積分方程分部積分得到另一種形式C、D、E、F是微分算子，它們的導數(shù)階數(shù)都比A低。積分方程特點對u的連續(xù)性要求降低了；對和的要求提高了。這種通過適當提高對任意函數(shù)的連續(xù)性要求，以降低對微分方程場函數(shù)的連續(xù)性要求所建立的積分形式－－稱為微分方程的等效積分“弱”形式有限元法基礎2.2等效積分的“弱”形式例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導

假設實現(xiàn)滿足邊界條件，等效積分形式成為分部積分有限元法基礎2.2等效積分的“弱”形式得到令有限元法基礎2.3加權(quán)余量法由于實際問題的復雜性精確解難于找到，往往求近似解假設未知場函數(shù)u可用近似解表示

為待定參數(shù)，

為已知的試函數(shù)。代入算子方程有

和是方程的殘余量。取n個獨立的函數(shù)作為v,得到n個方程，即有限元法基礎2.3加權(quán)余量法基于等效積分“弱”形式的近似方法定義：采用使余量的加權(quán)積分為零來求解微分方程近似解的方法成為加權(quán)余量法（WeightedResidualMethod）根據(jù)權(quán)函數(shù)的選取方法，可得到各種形式的加權(quán)余量的求解方法，最常見的是伽遼金（Galerkin）法伽遼金法的特點是權(quán)函數(shù)與試函數(shù)取相同的函數(shù)形式

有限元法基礎2.3加權(quán)余量法取，在邊界上可得積分形式的余量方程組注意到，可將上式改寫為積分“弱”形式的方程組

有限元法基礎2.4變分原理線性自伴隨算子

算子方程在內(nèi)，若算子有如下性質(zhì)，和為任意常數(shù)

則A為線性算子。

定義內(nèi)積對上式進行分部積分直至u的導數(shù)消失，即

稱為A

的伴隨算子，若稱算子為自伴隨算子。

有限元法基礎2.4變分原理例：證明

是自伴隨算子。

構(gòu)造內(nèi)積，并分部積分

由上式可見A＝A*.

有限元法基礎2.4變分原理微分方程為利用線性自伴隨算子的性質(zhì)伽遼金法的積分方程為

有限元法基礎2.4變分原理綜合上面的式子，有

其中

上式稱為原問題的變分原理特點

泛函中u的最高階次為二次，故成為二次泛函；

如果函數(shù)u及其變分滿足一定的條件，能夠得到全變分形式，從而得到泛函的變分。

有限元法基礎2.4變分原理例：二維熱傳導問題

伽遼金法的積分方程為

經(jīng)分部積分，并注意到在ST上，有由此導出

有限元法基礎2.5Ritz法對于線性自伴隨算子，存在等效的變分原理，有近似解法－－Ritz法

設近似解為Ni為取自完全系列的已知函數(shù)，ai為待定參數(shù)。代入泛函中，得到由待定參數(shù)表示的泛函，關(guān)于泛函變分，有由變分的任意性的方程組

有限元法基礎2.5Ritz法對于二次泛函得到的是線性方程組可以證明K是對稱矩陣關(guān)于Ritz法的收斂性

當試函數(shù)Ni(i=1,…,n)取自完備函數(shù)系列，且滿足算子方程要求的連續(xù)性，當泛函單調(diào)收斂于

，泛函具有極值。有限元法基礎2.5Ritz法Ritz法應用中的難點

求解域比較復雜時，選取滿足邊界的試函數(shù)往往產(chǎn)生難以克服的困難；

為了提高計算精度，需增加待定參數(shù)，這增加了求解的復雜性；有限元法同樣建立在變分原理的基礎上的，可以有效地避免上述困難有限元法基礎2.6彈性力學的變分原理彈性力學中的變分原理包括虛功原理、余虛功原理、最小勢能原理、最小余能原理、Hellinger-Reissner（兩場廣義變分原理）、廣義變分原理（胡-鷲原理）等。在一定條件下它們之間是可以相互等價的，如在真實解的情況下，最小勢能原理＋最小余能原理＝0；在滿足勒讓德變換的條件下，廣義變分原理與Hellinger-Reissner等價；在材料有勢，外力有勢時虛功原理與最小勢能原理等價等等。有限元法基礎2.6彈性力學的變分原理彈性力學的基本假設1）連續(xù)性假設物體抽象成連續(xù)密實的空間幾何體，位移、應變、應力、能量等物理量作為空間點位置的函數(shù)定義在這個幾何體上。物體在整個變形過程中始終保持連續(xù)。2）彈性假設

彈性體的變形與載荷在整個加載和卸載過程中存在一一對應的單值函數(shù)關(guān)系，且載荷卸去后變形完全消失，服從虎克定律。有限元法基礎2.6彈性力學的變分原理3）均勻性假設物體在個點處的彈性性質(zhì)都相同。4）自然狀態(tài)假設假設物體不受外力作用和溫度的影響，物體便沒有應力和變形，即不考慮由于制造工藝引起的殘余應力和裝配應力。有限元法基礎2.6.1彈性力學基本方程

平衡方程幾何方程本構(gòu)方程

對各向同性彈性材料

Lamé系數(shù)

(下標i,j=1,2,3)有限元法基礎2.6.1彈性力學基本方程

位移邊界條件力的邊界條件有限元法基礎2.6.1彈性力學基本方程

矩陣記法

平衡方程

幾何方程

本構(gòu)方程

位移邊界條件

力的邊界條件

應變能密度

余能密度有限元法基礎2.6.1彈性力學基本方程

符號定義為有限元法基礎2.6.1彈性力學基本方程

退化為平面問題平面應力時的材料常數(shù)矩陣平面應變時的材料常數(shù)矩陣有限元法基礎2.6.2虛功原理考慮一處于平衡的物體，即在域內(nèi)滿足平衡方程，在邊界上滿足力的邊界條件。以虛位移作為權(quán)函數(shù)得到等效積分方程第一項分部積分得有限元法基礎2.6.2虛功原理注意到在Su上，得到物理意義

平衡力系在虛位移和虛應變上做功的總和為零。反之，如果力系在虛位移上所作之功的和為零，則物體一定處于平衡。虛功原理表述了力系平衡的必要而充分的條件。特點

推導中未涉及本構(gòu)關(guān)系，它適用于小變形的非線性彈性和彈塑性材料。有限元法基礎2.6.2虛功原理矩陣表達式類似的方式可以導出余虛功原理

如果位移是協(xié)調(diào)的，則虛應力和虛邊界力所作之功的總和為零。有限元法基礎2.6.3最小勢能原理假設材料存在勢函數(shù)，即外力也存在外力勢，即虛功原理對于線彈性材料，以及外力變分為零的情況有限元法基礎2.6.3最小勢能原理泛函事先滿足位移協(xié)調(diào)條件1）2）隱含滿足本構(gòu)關(guān)系泛函與平衡條件等價1）2）有限元法基礎2.6.3最小勢能原理取極小值的證明

設為真實位移，為機動許可的位移，分別代入系統(tǒng)總勢能表達式，得根據(jù)虛功原理泛函的一階變分為零，二階變分表現(xiàn)為應變能，有故真實解使系統(tǒng)勢能取極小值。有限元法基礎2.6.3最小勢能原理基于最小勢能原理的解的下限性

由能量守恒知，變形過程中的功等于彈性體變形后的應變能，即將此關(guān)系代入最小勢能原理，得近似位移場總是比精確解偏小有限元法基礎2.6.3最小勢能原理矩陣表達形式變分取駐值有限元法基礎2.6.3最小勢能原理由的任意性，以及有限元法基礎假設材料存在余能密度函數(shù)，且給定位移變分為零，即由此可見余虛功原理存在全變分表達式有限元法基礎2.6.4最小余能原理進一步改寫為其中意義：真實解使系統(tǒng)的總余能取駐值。有限元法基礎2.6.4最小余