高考數(shù)學(xué) 優(yōu)等生拔高講義中（詳解）

第210頁(yè)/共393頁(yè)《優(yōu)等生拔高講義》第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯 1問(wèn)題一集合中的創(chuàng)新問(wèn)題 1問(wèn)題二集合與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題 8問(wèn)題三含參數(shù)的常用邏輯用語(yǔ)問(wèn)題 16第二章函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 23問(wèn)題一如何靈活應(yīng)用函數(shù)的四大性質(zhì) 23問(wèn)題二函數(shù)中存在性與恒成立問(wèn)題 31問(wèn)題三如何利用導(dǎo)數(shù)處理參數(shù)范圍問(wèn)題 39問(wèn)題四函數(shù)與方程、不等式相關(guān)問(wèn)題 48問(wèn)題五利用導(dǎo)數(shù)處理不等式相關(guān)問(wèn)題 55第三章三角函數(shù) 63問(wèn)題一應(yīng)用三角公式化解求值的技巧問(wèn)題 63問(wèn)題二：應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)問(wèn)題 70問(wèn)題三：三角形中的不等問(wèn)題 78問(wèn)題四：與向量、數(shù)列等相結(jié)合的三角形 86問(wèn)題五：利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題 94第四章平面向量 104問(wèn)題一平面向量基本定理的應(yīng)用問(wèn)題 104問(wèn)題二平面向量中的范圍、最值問(wèn)題 110問(wèn)題三平面向量解析幾何中的應(yīng)用 115問(wèn)題四高考題中向量數(shù)量積的若干種求法 127第五章數(shù)列 132問(wèn)題一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明問(wèn)題 132問(wèn)題二：數(shù)列中的最值問(wèn)題 142問(wèn)題三：由復(fù)雜遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題 148問(wèn)題四：如何順暢求解復(fù)雜數(shù)列的求和問(wèn)題 153問(wèn)題五數(shù)列與不等式的相結(jié)合問(wèn)題 159問(wèn)題六：數(shù)列中探索性問(wèn)題 168第六章不等式 177問(wèn)題一：含參數(shù)的不等式的恒成立、恰成立、能成立問(wèn)題 177問(wèn)題二線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題 190問(wèn)題三利用基本不等式處理最值、證明不等式和實(shí)際問(wèn)題 198第七章立體幾何 209問(wèn)題一：面體與球的組合體問(wèn)題 209問(wèn)題二立體幾何中折疊問(wèn)題 217問(wèn)題三立體幾何中的最值問(wèn)題 225問(wèn)題四：化歸與轉(zhuǎn)化思想解決立體幾何中的探索性問(wèn)題 230問(wèn)題五：利用空間向量解決開(kāi)放性問(wèn)題 241第八章解析幾何 252問(wèn)題一與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 252問(wèn)題二：求解離心率的范圍問(wèn)題 257問(wèn)題三：橢圓、雙曲線、拋物線與圓相結(jié)合問(wèn)題 264問(wèn)題四圓錐曲線的最值、范圍問(wèn)題 274問(wèn)題五：圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問(wèn)題 285問(wèn)題六：圓錐曲線的存在、探索問(wèn)題 292第九章概率與統(tǒng)計(jì) 303問(wèn)題一：復(fù)雜的排列組合問(wèn)題 303問(wèn)題一：與幾何概型相結(jié)合的問(wèn)題 309問(wèn)題二：交匯創(chuàng)新—離散型隨機(jī)變量的交匯題（理） 313第十章推理證明、框圖和復(fù)數(shù) 329問(wèn)題一推理問(wèn)題的常見(jiàn)求解策略 329問(wèn)題二數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式中的應(yīng)用 335問(wèn)題三算法與其他問(wèn)題相結(jié)合問(wèn)題 341問(wèn)題四：復(fù)數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合問(wèn)題 353第四章平面向量問(wèn)題一平面向量基本定理的應(yīng)用問(wèn)題平面向量問(wèn)題一直在高中數(shù)學(xué)中以數(shù)學(xué)工具的形式出現(xiàn),它很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與遷移,具體到平面向量基本定理,又在向量這部分知識(shí)中占有重要地位,是向量坐標(biāo)法的基礎(chǔ),是聯(lián)系幾何和代數(shù)的橋梁,本文從不同角度介紹定理的應(yīng)用．一、利用平面向量基本定理表示未知向量平面向量基本定理的內(nèi)容：如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ2,平面內(nèi)選定兩個(gè)不共線向量為基底,可以表示平面內(nèi)的任何一個(gè)向量．【例1】如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量,其中與的夾角為,與的夾角為,且,若,則（）A. B. C. D.【小試牛刀】【2016屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期期中】在中,若點(diǎn)滿足,則（）A．B．C．D．二、利用平面向量基本定理確定參數(shù)的值、取值范圍問(wèn)題平面向量基本定理是向量坐標(biāo)的理論基礎(chǔ),通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系,將點(diǎn)用坐標(biāo)表示,利用坐標(biāo)相等列方程,尋找變量的等量關(guān)系,進(jìn)而表示目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．【例2】【2016屆浙江省紹興市一中高三9月回頭考】已知向量滿足,若為的中點(diǎn),并且,則的最大值是（）A．B．C．D．【小試牛刀】如圖,在正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),P為以A為圓心,AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn),設(shè)向量．三、三點(diǎn)共線向量式設(shè)是共線三點(diǎn),是平面內(nèi)任意一點(diǎn),則,其特征是“起點(diǎn)一致,終點(diǎn)共線,系數(shù)和為1”,利用向量式,可以求交點(diǎn)位置向量或者兩條線段長(zhǎng)度的比值．【例3】如圖所示,已知點(diǎn)G是△ABC的重心,過(guò)G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn),且,則的值為.【小試牛刀】若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足：.（1）求ABM與ABC的面積之比.（2）若N為AB中點(diǎn),AM與CN交于點(diǎn)O,設(shè),求的值.四、平面向量基本定理在解析幾何中的應(yīng)用【例4】【2016屆安徽省六安一中高三上第五次月考】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線交兩漸近線于A,B兩點(diǎn),與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為P,設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,若,且,則該雙曲線的漸近線為（）A．B．C．D．【小試牛刀】【2016屆河北省邯鄲市一中高三一輪收官考試】已知是雙曲線（,）的左頂點(diǎn),、分別為左、右焦點(diǎn),為雙曲線上一點(diǎn),是的重心,若,則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．與的取值有關(guān)【遷移運(yùn)用】1.如圖,在平行四邊形中,,,,則（）(用,表示)A．B．C．D．2．設(shè)向量,若(tR),則的最小值為（）A．B.1C.D.3.【2016屆廣西武鳴縣高中高三8月月考】直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),且交拋物線于兩點(diǎn),交其準(zhǔn)線于點(diǎn),已知,則（）A.2B.C.D.44．已知是兩個(gè)單位向量,且=0．若點(diǎn)C在∠AOB內(nèi),且∠AOC=30°,則（）A．B．CD．5．在△ABC中,M為邊BC上任意一點(diǎn),N為AM中點(diǎn),＝λ＋μ,則λ＋μ的值為()A.B.C.D.16.已知,若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則的面積是（）A．B．2C．D．47.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作單位圓的兩條互相垂直的半徑,若在該圓上存在一點(diǎn),使得（）,則以下說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)一定在單位圓內(nèi)B．點(diǎn)一定在單位圓上C．點(diǎn)一定在單位圓外D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),點(diǎn)在單位圓上8.在平面上,⊥,||=||=1,=+．若||<,則||的取值范圍是()A．(0,]B．(,]C．(,]D．(,]9.在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與圓相交于兩點(diǎn),．若點(diǎn)在圓上,則實(shí)數(shù)（）A．B．C．D．10.如圖,在扇形OAB中,,C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若,則的取值范圍是．11.如圖,四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形,,點(diǎn)為內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn),設(shè),則的最大值等于12.（2015北京理13）在中,點(diǎn),滿足,.若,則；.問(wèn)題二平面向量中的范圍、最值問(wèn)題平面向量中的范圍、最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題,也是難點(diǎn)問(wèn)題,此類問(wèn)題綜合性強(qiáng),體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值,比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等,解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份,所以解決平面向量的范圍、最值問(wèn)題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合．一、平面向量數(shù)量積的范圍問(wèn)題已知兩個(gè)非零向量和,它們的夾角為,把數(shù)量叫做和的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作.即=,規(guī)定,數(shù)量積的表示一般有三種方法：(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即=；(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),則a·b＝x1x2＋y1y2；（3）運(yùn)用平面向量基本定理,將數(shù)量積的兩個(gè)向量用基底表示后,再運(yùn)算．【例1】【2015河北邯鄲摸底】在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形中,是的中點(diǎn),為線段上一動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍為【小試牛刀】【2015福建高考試題理9】已知,若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則的最大值等于（）.A．13B．15C．19D．21二、平面向量模的取值范圍問(wèn)題設(shè),則,向量的模可以利用坐標(biāo)表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向線段的長(zhǎng)度,過(guò)可結(jié)合平面幾何知識(shí)求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以將向量用基底向量表示再求．【例2】【2015.浙江臺(tái)州中學(xué)】已知向量滿足與的夾角為,,則的最大值為（）（A）（B）（C）（D）【小試牛刀】【2016屆山西省山西大學(xué)附中高三10月月考】已知是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是（）A．B．C．D．三、平面向量夾角的取值范圍問(wèn)題設(shè),,且的夾角為,則．【例3】已知向量與的夾角為,時(shí)取得最小值,當(dāng)時(shí),夾角的取值范圍為（）A.B.C.D.【小試牛刀】非零向量滿足=,,則的夾角的最小值是．四、平面向量系數(shù)的取值范圍問(wèn)題平面向量中涉及系數(shù)的范圍問(wèn)題時(shí),要注意利用向量的模、數(shù)量積、夾角之間的關(guān)系,通過(guò)列不等式或等式得系數(shù)的不等式,從而求系數(shù)的取值范圍．【例4】【2015.山東濰坊市期中】已知,,且與的夾角為銳角,則的取值范圍是．【小試牛刀】【2016屆江西省南昌二中高三上學(xué)期第三次考試】設(shè)向量、滿足：,,的夾角是,若與的夾角為鈍角,則的范圍是（）A．B．C．D．【遷移運(yùn)用】1．【2015-2016學(xué)年福建三明一中高二上第二次月考】已知,,,點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)取得最小值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．2．【2016屆廣西河池高中高三上第五次月考】在中,為中線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若,則的最小值是（）A．2B．-1C．-2D．-43．【2016屆湖南師范大學(xué)附中高三上學(xué)期月考】已知的面積為1,為直角頂點(diǎn)．設(shè)向量,,,則的最大值為（）A．1B．2C．3D．44．【2016屆遼寧省葫蘆島市一中高三上學(xué)期期中】若均為單位向量,,,則的最大值是（）A．1B．C．D．２5．【2016屆陜西省商洛市商南高中高三上第二次模擬】已知向量,滿足：||=3,||=1,|﹣2|≤2,則在上的投影長(zhǎng)度的取值范圍是（）A．[0,]B．（0,]C．[,1]D．[,1]6．【2016屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期第三次月考】已知,是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量滿足,則的最大值是（）A．1B．2C．D．7.已知向量,則的最大值,最小值分別是（）A．B．C．D．8．已知是單位向量,.若向量滿足（）A．B．C．D．9．設(shè)為單位向量,非零向量,若的夾角為,則的最大值等于________.10.如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A,D分別在軸,軸正半軸上移動(dòng),則的最大值是．11.【2016屆福建省廈門(mén)一中高三上學(xué)期期中】平面上四點(diǎn)滿足,則面積的最大值為．12．【2016屆浙江省慈溪中學(xué)高三上學(xué)期期中】已知非零向量,,滿足,,,則的最小值是,最大值是．13.【2015.河南頂級(jí)名校】設(shè)O是的三邊中垂線的交點(diǎn),分別為角對(duì)應(yīng)的邊,已知,則的范圍是___________．14（2015天津高考理14）在等腰梯形中,已知,,,,動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上,且,,則的最小值為.15.如圖,在等腰直角三角形中,,是的重心,是內(nèi)的一點(diǎn)（含邊界）,則的最大值為_(kāi)________.16．△的面積滿足,且,與的夾角為,則的取值范圍____．17.在矩形ABCD中,邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1,若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且滿足,則的取值范圍是________．問(wèn)題三平面向量解析幾何中的應(yīng)用向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份,平面向量與解析幾何的交匯是新課程高考命題改革的發(fā)展方向和必然趨勢(shì),平面向量在解析幾何的應(yīng)用非常廣泛,通常涉及長(zhǎng)度、角度、垂直、平行、共線、三點(diǎn)共線等問(wèn)題的處理,其目標(biāo)就是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化,從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算,本文從以下幾個(gè)方面加以闡述一、利用向量相等的關(guān)系,把幾何問(wèn)題代數(shù)化兩向量相等當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等、方向相同,由于向量坐標(biāo)的唯一性,故兩個(gè)向量相等的充要條件是坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等．【例1】【2016屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期一診模擬】橢圓,作直線交橢圓于兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn),且滿足,當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),求橢圓的方程．【小試牛刀】已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn),離心率等于.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于M點(diǎn),若,求證為定值.二、利用向量垂直的充要條件,巧妙化解解析幾何中的垂直問(wèn)題兩個(gè)非零向量垂直的充要條件是,如,,則．【例2】設(shè)F1,F2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn),P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且PF1⊥PF2,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()A．1B.C．2D.【小試牛刀】【2016屆廣西武鳴縣高中高三月考】已知橢圓的左頂點(diǎn)為,是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值；（2）若橢圓上存在點(diǎn),使得以線段為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),求的取值范圍．三、利用向量平行的充要條件,靈活轉(zhuǎn)換解析幾何中的平行或共線問(wèn)題與非零向量平行的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù),使得,若,,則．【例3】（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn),在線段上取一點(diǎn)使得,試判斷當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在請(qǐng)求出該定直線,若不在請(qǐng)說(shuō)明理由.【小試牛刀】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,是橢圓上的一點(diǎn),,坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上的一點(diǎn),,連接QN的直線交軸于點(diǎn),若,求直線的斜率．四、利用向量夾角,合理處理解析幾何中的角度問(wèn)題兩個(gè)非零向量夾角范圍為,由數(shù)量積定義可以推出,當(dāng)時(shí),夾角為銳角；當(dāng)時(shí),夾角為鈍角,所以當(dāng)排除和的情況,的范圍與三角形內(nèi)角范圍一致,利用向量夾角可以靈活處理解析幾何中的角的問(wèn)題．【例4】已知拋物線,為拋物線的焦點(diǎn),為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為．（1）若點(diǎn)與點(diǎn)的連線恰好過(guò)點(diǎn),且,求拋物線方程；（2）設(shè)點(diǎn)在軸上,若要使總為銳角,求的取值范圍．【小試牛刀】已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),且與直線相切（1）求直線被圓C所截得的弦AB的長(zhǎng)．（2）過(guò)點(diǎn)G(1,3)作兩條與圓C相切的直線,切點(diǎn)分別為M,N求直線MN的方程（3）若與直線l1垂直的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若∠POQ為鈍角,求直線l縱截【遷移運(yùn)用】1．【2016屆吉林省吉林大學(xué)附中高三上第四次摸底】已知兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、和一個(gè)定點(diǎn)均在拋物線上（、與不重合）.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),為其對(duì)稱軸上一點(diǎn),若,且、、成等差數(shù)列.（Ⅰ）求的坐標(biāo)（可用、和表示）；（Ⅱ）若,,、兩點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為、,求四邊形面積的取值范圍.2．【2016屆貴州省貴陽(yáng)市六中高三元月月考】如圖,已知橢圓C的方程為,雙曲線的兩條漸近線為,過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線,使交于點(diǎn)P,設(shè)與橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)由上至下依次為A,B．（1）若的夾角為60,且雙曲線的焦距為4,求橢圓C的方程；（2）若,求橢圓C的離心率．3．【2016屆云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考】如圖,過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)平行于x軸和垂直于x軸時(shí),被橢圓所截得的線段長(zhǎng)均為.（1）求橢圓的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B,使得對(duì)任意過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線都滿足？若存在,求出定點(diǎn)B的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.4．【2016屆安徽省六安一中高三上第五次月考】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,過(guò)斜率為1的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)點(diǎn),,求橢圓C的方程．5．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),其左準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)N,并且滿足.設(shè)A、B是上半橢圓上滿足的兩點(diǎn),其中.（1）求此橢圓的方程；（2）求直線AB的斜率的取值范圍.6．已知橢圓C：的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,直線與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心,以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn),若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和,且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,求實(shí)數(shù)的取值范圍7．已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)、分別是軸、軸上的動(dòng)點(diǎn),且滿足．若點(diǎn)滿足．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn),直線、與直線分別交于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,試判斷是否為定值？若是,求出這個(gè)定值；若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由．8.已知A、B是橢圓上的兩點(diǎn),且,其中F為橢圓的右焦點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí),求直線AB的方程;（2）設(shè)點(diǎn),求證:當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí),恒為定值.9.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與兩定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)連線的斜率之積等于,若點(diǎn)P的軌跡為曲線E,過(guò)點(diǎn)直線交曲線E于M,N兩點(diǎn)．（Ⅰ）求曲線E的方程,并證明：MAN是一定值；（Ⅱ）若四邊形AMBN的面積為S,求S的最大值10.如圖,橢圓的離心率為,軸被曲線截得的線段長(zhǎng)等于的短軸長(zhǎng).與軸的交點(diǎn)為,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn),直線分別與相交于點(diǎn).（Ⅰ）求、的方程；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）記的面積分別為,若,求的取值范圍.11.已知橢圓的離心率為,過(guò)頂點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上且滿足,求直線的斜率的值.12.設(shè)分別是橢圓的左,右焦點(diǎn).（1）若是橢圓在第一象限上一點(diǎn),且,求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),且為銳角（其中為原點(diǎn)）,求直線的斜率的取值范圍.13．已知點(diǎn)A（－1,0）,B（1,－1）和拋物線.,O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q,如圖.（1）證明:為定值;（2）若△POM的面積為,求向量與的夾角；(3)證明直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).問(wèn)題四高考題中向量數(shù)量積的若干種求法平面向量的數(shù)量積是向量知識(shí)中的重要內(nèi)容,考題中往往會(huì)涉及到求值或者取值范圍的小題或大題,是高考題的熱點(diǎn)和重點(diǎn),那么如何求平面向量數(shù)量積呢？本文從三個(gè)方面予以闡述,以期給同學(xué)們啟發(fā)．一、利用“定義”求平面向量數(shù)量積,根據(jù)幾何或代數(shù)關(guān)系求非零向量的模和夾角是前提.【例1】【2015四川綿陽(yáng)市高三一診】如圖,正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1,則＝（）（A）（B）（C）3（D）－3AABCDEF【小試牛刀】【2015江西南昌】若等腰△ABC底邊BC上的中線長(zhǎng)為1,底角B＞60o,則·的取值范圍是______．二、利用“坐標(biāo)”求平面向量數(shù)量積設(shè),,則,用此法求平面向量數(shù)量積時(shí),必須先建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,把向量坐標(biāo)化,特別注意,當(dāng)遇到特殊三角形或四邊形時(shí)可以多考慮建系,以達(dá)到事半功倍的效果．【例2】【2015河南八校】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,,a=b=3,點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn),則=()A.0B.6C.9D.12【小試牛刀】【2016屆遼寧省大連市八中高三12月月考】已知是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),若點(diǎn)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是（）A．B．C．D．三、利用“分解轉(zhuǎn)化法”求平面向量數(shù)量積利用平面向量基本定理將所求向量用基底表示,在不含坐標(biāo)系或者不宜建系的情況下,通過(guò)向量運(yùn)算得到解題結(jié)果,這種方法應(yīng)予以重視．【例3】【2016屆福建省上杭縣一中高三12月考】如圖,、是半徑為1的圓的兩條直徑,,則的值是（）A．B．C．D．【小試牛刀】【2015湖南婁底市】在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中,＝x,＝y(tǒng),x>0,y>0,且x＋y＝1,則·的最大值為（）A．－B．－C．－D．－【遷移運(yùn)用】1.【2016屆廣西河池高中高三上第五次月考】在中,為中線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若,則的最小值是（）A．2B．-1C．-2D．-42.在中,已知,,若點(diǎn)在斜邊上,,則的值為（）A．48B．24C．12D3．【2015四川成都】已知函數(shù)f（x）＝sin（2πx＋φ）的部分圖象如圖所示,點(diǎn)B,C是該圖象與x軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C的直線與該圖象交于D,E兩點(diǎn),則（）?的值為（）A．B．C．1D．24．【2015山東膠州】在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A＝30°,BC＝1,D為斜邊AB的中點(diǎn),則＝（）A．1B-1C．2D．-25．【2015山東膠州】△中,點(diǎn)在線段上,點(diǎn)在線段上,且滿足,若,則的值為（）A.1B.C.D.6.【2015吉林摸底】如圖,平行四邊形ABCD中,,點(diǎn)M在AB邊上,且,則等于（）A．B．C．D．17.【2015吉林摸底】中,,D是邊BC上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)）,則的取值范圍是（）A．[1,2]B．[0,1]C．[0,2]D．[-5,2]8．【2016屆吉林省吉林大學(xué)附中高三上第四次摸底】在中,,,若為外接圓的圓心（即滿足）,則的值為.9．【2016屆河南省信陽(yáng)高中高三上第八次大考】如圖在平行四邊形中,已知,,則的值是．10．【2016屆黑龍江省哈爾濱師大附中高三12月考】在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中,設(shè),則__________．11．【2016屆中國(guó)人大附中高三上期中檢測(cè)】在等腰梯形ABCD中,已知,,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在線段BC和CD上,且,,則的值為．12．【2015湖北省重點(diǎn)中學(xué)】已知在直角三角形中,,,點(diǎn)是斜邊上的一個(gè)三等分點(diǎn),則．

第五章數(shù)列問(wèn)題一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明問(wèn)題翻看近幾年的高考題，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，主要證明方法有：利用等差、等比數(shù)列的定義、運(yùn)用等差或等比中項(xiàng)性質(zhì)、反證法、利用通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，證明或判斷等差（等比）數(shù)列即數(shù)學(xué)歸納法.一：利用等差（等比）數(shù)列的定義用定義法判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，常采用的兩個(gè)式子和有差別，前者必須加上“”，否則時(shí)無(wú)意義；在等比數(shù)列中一樣有：時(shí)，有（常數(shù)）；②時(shí)，有（常數(shù)）．【例1】【2016屆廣西河池高中高三上第五次月考】在數(shù)列中，．（Ⅰ）證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【小試牛刀】【2016屆安徽省馬鞍山二中等高三第三次聯(lián)考】已知數(shù)列滿足．（1）求證：為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前n項(xiàng)和．二：運(yùn)用等差或等比中項(xiàng)性質(zhì)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，這是證明數(shù)列為等差（等比）數(shù)列的另一種主要方法．【例2】正數(shù)數(shù)列和滿足：對(duì)任意自然數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列．證明：數(shù)列為等差數(shù)列．【小試牛刀】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)為，已知，且其中為常數(shù)．（Ⅰ）求與的值；（Ⅱ）證明數(shù)列為等差數(shù)列．三：反證法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮．如： 【例3】設(shè)是公比不相等的兩等比數(shù)列，．證明數(shù)列不是等比數(shù)列．【小試牛刀】設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．（Ⅰ）推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；（Ⅱ）設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．四：利用通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，證明或判斷等差（等比）數(shù)列【例4】若是數(shù)列的前項(xiàng)和，,則是()A．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D.既非等數(shù)列又非等差數(shù)列利用常規(guī)結(jié)論，證明或判斷等差（等比）數(shù)列若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則（1）數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；（2）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（4）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（5）在數(shù)列中，每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來(lái)順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為；（6），，等都是等比數(shù)列；（7）若成等差數(shù)列時(shí)，成等比數(shù)列；（8）均不為零時(shí)，則成等比數(shù)列；（9）若是一個(gè)等差數(shù)列，則正項(xiàng)數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列．若數(shù)列是公差為等差數(shù)列，則（1）成等差數(shù)列，公差為（其中是實(shí)常數(shù)）；（2），（為常數(shù)），仍成等差數(shù)列，其公差為；（3）若都是等差數(shù)列，公差分別為，則是等差數(shù)列，公差為；（4）當(dāng)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；（5）成等差數(shù)列時(shí)，成等差數(shù)列．【小試牛刀】已知正數(shù)數(shù)列{an}對(duì)任意p，q∈N＋，都有ap＋q＝ap＋aq，若a2＝4，則a9＝()A．6B．9C．18 D．20五：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法【例5】數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，．證明：數(shù)列是等比數(shù)列．【小試牛刀】已知數(shù)列滿足.（Ⅰ）寫(xiě)出，，，并推測(cè)的表達(dá)式；（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明推測(cè)的結(jié)論.【遷移運(yùn)用】1.已知在正整數(shù)數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝eq\f(1,8)(an＋2)2，則{an}為（）數(shù)列．A.等差B.等比C.常數(shù)列D.可能是等差數(shù)列也可能是等比數(shù)列2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為30，前項(xiàng)和為100則它的前項(xiàng)和為（）A．130 B．170 C．210 D．2603.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－2，n∈N*，則()A．{an}是遞增的等比數(shù)列B．{an}是遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列C．{an}是遞減的等比數(shù)列D．{an}不是等比數(shù)列，也不單調(diào)4.等差數(shù)列的公差，，前項(xiàng)和為，則對(duì)正整數(shù)，下列四個(gè)結(jié)論中：正確的是（）（1）成等差數(shù)列，也可能成等比數(shù)列；（2）成等差數(shù)列，但不可能成等比數(shù)列；（3）可能成等比數(shù)列，但不可能成等差數(shù)列；（4）不可能成等比數(shù)列，也不可能成等差數(shù)列；A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（3）D.（2）（4）5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，其中為常數(shù)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由．6.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，其中.（Ⅰ）求證:是等差數(shù)列；（Ⅱ）求證:；（Ⅲ）求證:.7．【2016屆吉林省吉林大學(xué)附中高三上第四次摸底】設(shè)數(shù)列滿足：.（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）若，且對(duì)任意的正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.8.【2016屆陜西省商洛市商南高中高三上第二次模擬】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=4an﹣p，其中p是不為零的常數(shù)．（1）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）當(dāng)p=3時(shí)，若數(shù)列{bn}滿足bn+1=bn+an（n∈N*），b1=2，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．9.【2016屆山東省棗莊八中高三上12月月考】在數(shù)列{an}中，已知．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=an+bn，求{cn}的前n項(xiàng)和Sn．10．【2016屆寧夏石嘴山三中高三補(bǔ)習(xí)班上第三次適應(yīng)性考試】設(shè)數(shù)列{an}滿足當(dāng)n＞1時(shí)，．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）試問(wèn)a1a2是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，說(shuō)明理由．11.【2016屆黑龍江省哈爾濱師大附中高三12月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,若（）,且．（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:（）．12．【2016屆山東省棗莊市三中高三12月月考】已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求的值；（2）求證是等差數(shù)列；（3）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求問(wèn)題二：數(shù)列中的最值問(wèn)題數(shù)列中的最值常見(jiàn)題型有：求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)、與有關(guān)的最值、求滿足數(shù)列的特定條件的最值、求滿足條件的參數(shù)的最值、實(shí)際問(wèn)題中的最值及新定義題型中的最值問(wèn)題等.一：求數(shù)列的最大項(xiàng)【例1】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為=，求的最大項(xiàng)．【小試牛刀】【2015-2016學(xué)年湖南省常德石門(mén)一中高二上期中】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為_(kāi)____．二：的最值問(wèn)題【例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值為8.（Ⅰ）確定常數(shù)k，并求an；(Ⅱ)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【小試牛刀】【2016屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期四調(diào)】設(shè)向量，（），若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為．三：求滿足數(shù)列的特定條件的最值【例3】【2016屆云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考四】數(shù)列是等差數(shù)列，若，且它的前n項(xiàng)和有最大值，那么當(dāng)取得最小正值時(shí)，n等于（）A．17B．16C．15D．14【小試牛刀】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列{}滿足，且．（Ⅰ）求，；(Ⅱ)設(shè)為數(shù)列{}的前項(xiàng)和，求，并求滿足7時(shí)的最大值．四：求滿足條件的參數(shù)的最值【例4】己知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【小試牛刀】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，則常數(shù)所能取得的最大整數(shù)為.五：實(shí)際問(wèn)題中的最值【例5】為了保障幼兒園兒童的人身安全，國(guó)家計(jì)劃在甲、乙兩省試行政府規(guī)范購(gòu)置校車方案，計(jì)劃若干時(shí)間內(nèi)（以月為單位）在兩省共新購(gòu)1000輛校車．其中甲省采取的新購(gòu)方案是：本月新購(gòu)校車10輛，以后每月的新購(gòu)量比上一月增加50％；乙省采取的新購(gòu)方案是：本月新購(gòu)校車40輛，計(jì)劃以后每月比上一月多新購(gòu)m輛．（Ⅰ）求經(jīng)過(guò)n個(gè)月，兩省新購(gòu)校車的總數(shù)S(n)；（Ⅱ）若兩省計(jì)劃在3個(gè)月內(nèi)完成新購(gòu)目標(biāo)，求m的最小值．【小試牛刀】某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用萬(wàn)元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加萬(wàn)元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬(wàn)元.設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A.B.C.D.【遷移運(yùn)用】1.設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是()．A.eq\f(16,3)B.eq\f(13,3)C．4 D．02.等差數(shù)列中，，是前n項(xiàng)和且，則當(dāng)（）時(shí)，最大.A.12B.13C．12或13 D．13或143.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是()A．5B．6C．7D．84.數(shù)列{an}滿足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，則滿足Sn>1025的最小n值是()．A．9B．10C．11D．125.在數(shù)列{an}中，an＝eq\f(n－\r(2013),n－\r(2014))，則該數(shù)列前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是()A．a(chǎn)1，a50 B．a(chǎn)1，a44 C．a(chǎn)45，a44 D．a(chǎn)45，a506.【2016屆重慶市南開(kāi)中學(xué)高三12月月考】已知函數(shù)，且，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（）A．B．C．D．7.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5＝eq\f(1,2)，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_______．8.【2016屆江蘇省鹽城市鹽阜中學(xué)高三上12月月】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為．9.【2016屆河北省正定中學(xué)高三上第五次月考】已知數(shù)列滿足，，則的最小值為．10.已知等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.11.已知首項(xiàng)為eq\f(3,2)的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)Tn＝Sn－eq\f(1,Sn)(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值．12.【2016屆上海市七校高三上12月聯(lián)考】公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1、a2、a5成等比數(shù)列，且該數(shù)列的前10項(xiàng)和為100．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=an﹣10，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值．13.【2015北京理20】已知數(shù)列滿足：，，且，記集合.（1）若，寫(xiě)出集合的所有元素；（2）若集合存在一個(gè)元素時(shí)3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（3）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值.14.【2015四川理16】設(shè)數(shù)列（）的前項(xiàng)和滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得成立的的最小值.問(wèn)題三：由復(fù)雜遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常將所給遞推關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃握?如累加、累乘、待定系數(shù)等，構(gòu)造或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后求通項(xiàng).一：用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)【例1.】【2016屆福建省三明一中高三上第二次月考】在數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式=．【小試牛刀】在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝an－1＋2n－1(n≥2)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；二：利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)【例2】設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，則.【小試牛刀】在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．三：用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)【例3】【2016屆寧夏六盤(pán)山高中高三上學(xué)期第二次月考】已知數(shù)列滿足，且=2，則=__________．【小試牛刀】【2016屆云南師范大附中高考適應(yīng)性月考】已知數(shù)列滿足，，，，則．四．利用與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)【例4】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【小試牛刀】【2016屆貴州市興義市八中高三上第四次月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則__________．五：遞推公式為（其中，均為常數(shù)）.【例5.】數(shù)列：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解法一】（待定系數(shù)——迭加法）:【解法二】（特征根法）：【小試牛刀】已知數(shù)列滿足（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列\(zhòng)【遷移運(yùn)用】1.已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是()A．2n－1B.C．n2D．n2.【2016屆河北省邯鄲市一中高三一輪收官考試】數(shù)列中，，，（，），則．3.數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N＋)．若b3＝－2，b10＝12，則a8＝()A．0B．3C．8 D．114.正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2,2aeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n－1)(n∈N*，n≥2)，則a7＝________.5.在數(shù)列{an}中，a1＝1，eq\f(1,12)an＝eq\f(1,4)an－1＋eq\f(1,3)(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)公式為．6.已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(an,2an＋1)，則其通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．7．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，(n－1)an＝n×2nan－1(n∈N，n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．8.在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)通項(xiàng)．9．【2016屆重慶市第一中學(xué)高三12月月考】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，若對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．10．【2016屆江蘇省鹽城市鹽阜中學(xué)高三上12月月測(cè)】已知{an}的前n項(xiàng)和Sn，an＞0且an2+2an=4Sn+3（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．11．【2016屆河南省信陽(yáng)高中高三上第八次月考】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=n（2﹣Sn），n∈N*，若bn≤λ，n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．（3）設(shè)Cn=，Tn是數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和，證明≤Tn＜1．12．【2016屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期一診模擬】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．13.【2015湖南文19】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，且.（1）證明：；（2）求.14.【2015浙江文17】已知數(shù)列和滿足，.(1)求與;(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.問(wèn)題四：如何順暢求解復(fù)雜數(shù)列的求和問(wèn)題數(shù)列求和數(shù)歷年高考命題的熱點(diǎn)，數(shù)列求和的方法取決于其通項(xiàng)公式的形式，基本思路是將其轉(zhuǎn)化為等成數(shù)列或等比數(shù)列的求和問(wèn)題進(jìn)行求解.一、公式法公式法是數(shù)列求和的最基本的方法．也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)．其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和.利用等比數(shù)列求和公式,當(dāng)公比是用字母表示時(shí)，應(yīng)對(duì)其是否為1進(jìn)行討論．【例1】設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．【小試牛刀】【2016屆河北省衡水二中高三上學(xué)期期中】的值為（）A．B．C．D．二、分組法將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成多項(xiàng)，然后重新分組，將一般的數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列求和問(wèn)題.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將通項(xiàng)變形.“合項(xiàng)”法是利用加法的交換律和結(jié)合律將“不規(guī)則和”轉(zhuǎn)化為“規(guī)則和”，化繁為簡(jiǎn).【例2】【2016屆河北省衡水中學(xué)高三二調(diào)】已知數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A．B．C．D．【小試牛刀】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是以函數(shù)的最小正周期為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.三、裂項(xiàng)相消法此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了．只剩下有限的幾項(xiàng)．注意：eq\o\ac(○,1)余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的．eq\o\ac(○,2)余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的．常用的裂項(xiàng)公式：【例3】已知數(shù)列前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且，，成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列滿足，求證：．【小試牛刀】【2016屆湖南省長(zhǎng)沙明德中學(xué)高三上第三次月考】數(shù)列1，，，…，的前項(xiàng)和（）A．B．C．D．四、錯(cuò)位相減法若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的新數(shù)列，當(dāng)求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，常常采用將各項(xiàng)乘以的公比，并向后錯(cuò)一項(xiàng)與原的同次項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減的方法.錯(cuò)位相減法實(shí)際上是把一個(gè)數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問(wèn)題.注意：eq\o\ac(○,1)要考慮當(dāng)公比為1時(shí)為特殊情況，eq\o\ac(○,2)錯(cuò)位相減時(shí)要注意末項(xiàng).【例4】已知數(shù)列，滿足，,，.（Ⅰ）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令求數(shù)列的前項(xiàng)和.【小試牛刀】【2016屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期一診模擬】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．五.數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和問(wèn)題【例5】在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．(Ⅰ)求d，an；（Ⅱ）若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.【牛刀小試】【2016屆浙江寧波效實(shí)中學(xué)高三上期中考試】數(shù)列的前項(xiàng)和為，則；數(shù)列的前10項(xiàng)和．【遷移運(yùn)用】1.【2016屆浙江省余姚中學(xué)高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列滿足：，且，則的值為（）A．B．C．D．2.【2014年杭州模擬】已知函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過(guò)(1,2)點(diǎn)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S2014的值為()A.eq\f(2012,2011)B.eq\f(2010,2011)C.eq\f(2014,2013) D.eq\f(2014,2015)3.已知函數(shù)f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，,－n2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，))且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于（）A．0 B．100 C．－100 D．102004.【2016屆學(xué)年江西省新余一中等校高三聯(lián)考模擬】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，記數(shù)列的前n項(xiàng)為，則）A．B．C．D．5.【2016屆學(xué)年江西省新余一中等校高三聯(lián)考模擬】數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為A．B．C．200D．1006.設(shè)f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，若S＝f(eq\f(1,2015))＋f(eq\f(2,2015))＋…＋f(eq\f(2014,2015))，則S＝________.7.【2016屆甘肅省蘭州一中高三12月月考】數(shù)列的通項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，則=．8.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2012。9.【2016屆云南省玉溪市一中高三上學(xué)期期中】數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為．10.數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為_(kāi)_______．11．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝(－1)nan－eq\f(1,2n)，n∈N＋，則：(Ⅰ)a3＝________；（Ⅱ）S1＋S2＋…＋S100＝________.12.【2016屆福建省上杭縣一中高三12月考】已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．13.直線ln：y＝x－eq\r(2n)與圓Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的兩點(diǎn)An，Bn，n∈N＋.數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝eq\f(1,4)|AnBn|2.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n－1n為奇數(shù)，,ann為偶數(shù)，))求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.14.(山東省青島市高三3月統(tǒng)一質(zhì)量檢測(cè)考試2)在數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（Ⅱ）設(shè)（為正整數(shù)）,求數(shù)列的前項(xiàng)和.15.在等比數(shù)列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4與a6的等比中項(xiàng)．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Sn.問(wèn)題五數(shù)列與不等式的相結(jié)合問(wèn)題數(shù)列與不等式的交匯題，是高考數(shù)學(xué)的常見(jiàn)題型.對(duì)數(shù)列不等式綜合題的解答，往往要求能夠熟練應(yīng)用相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)還應(yīng)具備比較嫻熟的代數(shù)變換技能和技巧.近年數(shù)列與不等式交匯題考查點(diǎn)：1．以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單交匯.2．以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識(shí)等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對(duì)較大.3．將數(shù)列與不等式的交匯滲透于遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進(jìn)行考查，主要考查轉(zhuǎn)化及方程的思想.一：最值問(wèn)題求解數(shù)列中的某些最值問(wèn)題，有時(shí)須結(jié)合不等式來(lái)解決，其具體解法有：（1）建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；（2）首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.【例1】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的最大值為_(kāi)_____.【小試牛刀】【2016屆浙江省嘉興一中等高三第一次五校聯(lián)】已知等差數(shù)列的等差，且，，成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最小值為（）A．4B．3C．D．二:恒成立問(wèn)題求解數(shù)列與不等式結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問(wèn)題主要兩種策略：（1）若函數(shù)在定義域?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，有恒成立；恒成立；（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)不等式，再通過(guò)解不等式解得.【例2】已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足．（Ⅰ）求證：為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式4恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【小試牛刀】【2016屆湖北武漢華中師大第一附中高三上期中】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的值為()A.1006B.1007C.1008D.1009三：證明問(wèn)題【例3】設(shè)數(shù)列滿足，，其中為實(shí)數(shù).（Ⅰ）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；(Ⅱ)設(shè)，證明：；（Ⅲ）設(shè)，證明：.【小試牛刀】【2015屆江蘇省鹽城中學(xué)高三上學(xué)期12月月考】已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．四：探索性問(wèn)題數(shù)列與不等式中的探索性問(wèn)題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例4】已知等差數(shù)列滿足：，且、、成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（Ⅱ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.【小試牛刀】是否存在一個(gè)等比數(shù)列同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①且；②；③至少存在一個(gè)，使得，，依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由.五:新定義題型【例5】【2016屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期中考試】對(duì)于數(shù)列，都有為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則t的最大值為；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【小試牛刀】若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足，即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”.（Ⅰ）已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的對(duì)稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫(xiě)出的每一項(xiàng).（Ⅱ）已知是項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列，且構(gòu)成首項(xiàng)為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為何值時(shí)，取到最大值？最大值為多少？（Ⅲ）對(duì)于給定的正整數(shù)，試寫(xiě)出所有項(xiàng)數(shù)不超過(guò)的對(duì)稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，試求其中一個(gè)數(shù)列的前2008項(xiàng)和.【遷移運(yùn)用】1.【2015浙江理3】已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項(xiàng)和是，若成等比數(shù)列，則（）．A.B.C.D.2.【2015北京理6】設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）.A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則3.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是數(shù)列是遞增數(shù)列的（）A.充分不