初中數(shù)學(xué)冀教版八年級上冊第十三章全等三角形單元復(fù)習(xí) 市賽獲獎

全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用名師點(diǎn)金：本章主要學(xué)習(xí)了命題與證明、全等三角形的性質(zhì)與判定及三角形的尺規(guī)作圖，三角形全等主要考查利用全等三角形證明線段或角的等量關(guān)系，以及判斷位置關(guān)系等．三個概念概念1：命題1．下列說法正確的是()A．每一個命題都有逆命題B．每一個定理都有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題D．真命題的逆命題一定是假命題2．已知下列命題：①若a＞b，則c－a＜c－b；②若a＞0，則|a|＝a；③兩直線平行，內(nèi)錯角相等；④對頂角相等．其中原命題與逆命題均為真命題的有()A．4個B．3個C．2個D．1個概念2：全等形3．如圖，將標(biāo)號為A，B，C，D的正方形沿圖中的虛線剪開后，得到標(biāo)號為N，Q，M，P的四個圖形，填空：A與________對應(yīng)；B與________對應(yīng)；C與________對應(yīng)；D與________對應(yīng)．(第3題)概念3：全等三角形4．如圖，已知△ABE與△ADC全等，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出全等三角形中的對應(yīng)邊和對應(yīng)角．(第4題)5．如圖所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一條直線上，那么AD與BC有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(第5題)一個性質(zhì)——全等三角形的性質(zhì)6．如圖，已知△ABC≌△ADE，BC的延長線交AD于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度數(shù)．(第6題)一個判定——全等三角形的判定7．課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩堆磚塊之間，如圖所示．(1)求證：△ADC≌△CEB；(2)已知DE＝35cm，請你幫小明求出磚塊的厚度a的大小(每塊磚的厚度相等)．(第7題)三個技巧技巧1：構(gòu)造三角形法8．如圖，∠BAC是鈍角，AB＝AC，D，E分別在AB，AC上，且CD＝BE.求證：∠AEB＝∠ADC.(第8題)9．如圖，AB＝DC，∠A＝∠D，求證：∠ABC＝∠DCB.(第9題)技巧2：截長補(bǔ)短法10．如圖，AB∥CD，CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，點(diǎn)E在AD上，求證：BC＝AB＋CD.(第10題)技巧3：倍長中線法11．如圖，CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且∠ACB＝∠ABC.求證：CD＝2CE.(第11題)兩種思想思想1：建模思想12．如圖，某段河流的兩岸是平行的，數(shù)學(xué)興趣小組在老師的帶領(lǐng)下不用涉水過河就測到了河的寬度，他們是這樣做的：①在河流的一條岸邊B點(diǎn)，選對岸正對的一棵樹A；②沿河岸直走20步有一棵樹C，繼續(xù)前行20步到達(dá)D處；③從D處沿岸垂直的方向行走，當(dāng)?shù)竭_(dá)A樹正好被C樹遮擋住的E處停止行走；④測得DE的長就是河寬AB.【導(dǎo)學(xué)號：42282026】請你證明他們做法的正確性．(第12題)思想2：轉(zhuǎn)化思想13．如圖，已知AB＝AE，∠C＝∠D，BC＝ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，則AF平分∠BAE，為什么？(第13題)一個作圖——三角形的尺規(guī)作圖14．如圖所示，已知線段a，∠α，求作△ABC，使AB＝2a，∠A＝α，∠B＝2∠α.不寫作法，但要保留作圖痕跡．(第14題)答案1．A2．C點(diǎn)撥：①原命題是真命題，逆命題：若c－a＜c－b，則a＞b也是真命題；②原命題是真命題，逆命題：若|a|＝a，則a＞0，是假命題；③原命題是真命題，逆命題：內(nèi)錯角相等，兩直線平行，逆命題是真命題；④原命題是真命題，逆命題：相等的角是對頂角，是假命題．3．M；N；Q；P4．解：AB與AC，AE與AD，BE與CD是對應(yīng)邊；∠B與∠C，∠2與∠1，∠BAE與∠CAD是對應(yīng)角．5．解：AD⊥BC.理由如下：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC.又∵點(diǎn)B，D，C在同一條直線上，∴∠BDC＝180°，即∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.6．解：∵∠D＝25°，∠AED＝105°，∴∠DAE＝50°.又∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D＝25°，∠BAC＝∠DAE＝50°.∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°，∵∠AMF＝∠BAD＋∠B＝60°＋25°＝85°，∴∠DFB＝∠AMF－∠D＝85°－25°＝60°.7．(1)證明：由題意得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB，,∠CAD＝∠BCE，,AC＝BC，))∴△ADC≌△CEB(AAS)．(2)解：由題意得AD＝4a，BE＝3a.由(1)得△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，CE＝AD＝4a，∴DE＝DC＋CE＝7a.∵DE＝35cm，∴a＝5cm.答：磚塊的厚度為5cm.8．證明：過點(diǎn)B，C分別作CA，BA延長線的垂線，垂足分別為F，G.在△ABF和△ACG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFB＝∠AGC＝90°，,∠FAB＝∠GAC，,AB＝AC，))∴△ABF≌△ACG(AAS)．∴BF＝CG.又∵CD＝BE，∴此時△BEF可看作是由△CDG翻折得到的，即△CDG經(jīng)翻折后可與△BEF重合．∴∠AEB＝∠ADC.點(diǎn)撥：判定兩個三角形全等時，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．9．證明：分別取AD，BC的中點(diǎn)N，M，連接BN，CN，MN，則有AN＝ND，BM＝MC.在△ABN和△DCN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AN＝DN，,∠A＝∠D，,AB＝DC，))∴△ABN≌△DCN(SAS)．∴∠ABN＝∠DCN，NB＝NC.在△NBM和△NCM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(NB＝NC，,BM＝CM，,NM＝NM，))∴△NBM≌△NCM(SSS)．∴∠NBC＝∠NCB.∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN，即∠ABC＝∠DCB.點(diǎn)撥：證明三角形全等時常需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，輔助線的添加以能創(chuàng)造已知條件為上策，如本題取AD，BC的中點(diǎn)就是把中點(diǎn)作為了已知條件．分散證明，也是幾何證明中的一種常用技巧．10．證明：(方法一——截長法)如圖(1)，在BC上取一點(diǎn)F，使BF＝BA.連接EF，∵CE，BE分別平分∠BCD，∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.在△ABE和△FBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BA＝BF，,∠1＝∠2，,BE＝BE，))∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠5.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.在△EFC和△EDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠6＝∠D，,∠3＝∠4，,EC＝EC，))∴△EFC≌△EDC(AAS)，∴FC＝CD，∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.(方法二——補(bǔ)短法)如圖(2)，延長BA至點(diǎn)F，使BF＝BC，連接EF，∵CE，BE分別平分∠BCD，∠CBA，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠ABC，∠3＝∠4＝eq\f(1,2)∠BCD.在△BEF和△BEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝BC，,∠1＝∠2，,BE＝BE，))∴△BEF≌△BEC(SAS)．∴EF＝EC，∠F＝∠3＝∠4.∵AB∥CD，∴∠5＝∠D.在△AEF和△DEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠5＝∠D，,∠F＝∠4，,EF＝EC.))∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝CD.∵BC＝BF＝BA＋AF，∴BC＝BA＋CD.(第10題)11．解：如圖，延長CE到點(diǎn)F，使EF＝CE，連接FB，則CF＝2CE.∵CE是△ABC的中線，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝AE，,∠BEF＝∠AEC，,EF＝EC，))∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠EAC，BF＝AC.過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，則∠AGC＝∠AGB＝90°.∵∠ACB＝∠ABC，AG＝AG，∴△AGC≌△AGB.∴AC＝AB.又∵∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠BAC＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中線，∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.在△CBF和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CB＝CB，,∠CBF＝∠CBD，,BF＝BD，))∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.(第11題)12．證明：由做法知：在△ABC和△EDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠EDC＝90°，,BC＝DC，,∠ACB＝∠ECD，))∴△ABC≌△EDC(ASA)．∴AB＝ED，即他們的做法是正確的．13．解：連接BF，EF.∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴CF＝DF.在△BCF和