初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)第一章　特殊平行四邊形“衡水杯”一等獎(jiǎng)

．正方形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)正方形的性質(zhì)課后作業(yè):方案（B）一、教材題目：P22，T1-T41．對(duì)角線長(zhǎng)為2cm2．如圖，四邊形ABCD是正方形，△CBE是等邊三角形，求∠AEB的度數(shù)．(第2題)數(shù)學(xué)理解3．如圖，A，B，C，D四家工廠分別坐落在正方形城鎮(zhèn)的四個(gè)角上．倉(cāng)庫(kù)P和Q分別位于AD和DC上，且PD＝QC.證明兩條直路BP＝AQ且BP⊥AQ.(第3題)問(wèn)題解決※4.在一個(gè)正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇分成大小、形狀完全相同的四部分(不考慮道路的寬度)．你有幾種方法？(至少說(shuō)出三種)二、補(bǔ)充題目：部分題目來(lái)源于《點(diǎn)撥》2．〈臺(tái)灣〉如圖，四邊形ABCD、四邊形AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B，E兩點(diǎn)不重合，連接BG.根據(jù)圖中標(biāo)示的角判斷下列∠1，∠2，∠3，∠4的大小關(guān)系何者正確？()A．∠1<∠2B．∠1>∠2C．∠3<∠4D．∠3>∠4(第2題)(第3題)3．〈四川雅安〉如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC，交EF于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正確結(jié)論有()A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)5．如圖，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是2和3，且點(diǎn)B，C，G在同一直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，連接MF，則MF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．(第5題)答案教材(第1題)1．解：如圖，AC＝2cm，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝2AB2，∴AB＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(2),2)×2＝eq\r(2)(cm)．∴正方形的邊長(zhǎng)是eq\r(2)cm.2．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.∵△CBE是等邊三角形，∴∠EBC＝60°，BE＝BC.∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝90°－60°＝30°，AB＝BE.∴∠AEB＝∠BAE＝eq\f(180°－∠ABE,2)＝eq\f(180°－30°,2)＝75°.點(diǎn)撥：判定△ABE為等腰三角形是解題的關(guān)鍵．3．證明：設(shè)BP與AQ交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAP＝∠D＝90°.∵PD＝QC，AD＝CD，∴AP＝DQ.在△ABP和△DAQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAP＝∠D，,AP＝DQ，))∴△ABP≌△DAQ.∴BP＝AQ，∠APB＝∠DQA.∴∠PAO＋∠APO＝∠DAQ＋∠DQA＝90°.∴∠AOP＝90°.∴BP⊥AQ.點(diǎn)撥：要證明BP⊥AQ，即證∠AOP＝90°，通過(guò)三角形全等得到角之間的等量關(guān)系，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化后可得∠PAO＋∠APO＝90°，即可推出∠AOP＝90°.※4.解：如圖，虛線為所修小路．(第4題)點(diǎn)撥2．D點(diǎn)撥：∵四邊形ABCD、四邊形AEFG均為正方形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°.∵∠BAD＝∠1＋∠DAE，∠EAG＝∠2＋∠DAE，∴∠1＝∠2.在Rt△ABE中，AE＞AB，∵四邊形AEFG是正方形，∴AE＝AG，∴AG＞AB，易知∠3＞∠4.故選D.3．C點(diǎn)撥：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°.∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°.∴∠BAE＋∠DAF＝30°.在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE＝AF，AB＝AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE＋∠DAF＝30°，∴∠DAF＝15°.∵BC＝CD，∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC垂直平分EF.∴①②③正確．設(shè)EC＝x.由勾股定理，得EF＝eq\r(2)x，∴AG＝eq\f(\r(6),2)x.∵CE＝CF，CG⊥EF，∴CG＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(2),2)x，∴AC＝eq\f(\r(6)x＋\r(2)x,2)，∴AB＝eq\f(\r(3)x＋x,2)，∴BE＝eq\f(\r(3)x＋x,2)－x＝eq\f(\r(3)x－x,2)，∴BE＋DF＝eq\r(3)x－x≠EF.∵S△CEF＝eq\f(x2,2)，S△ABE＝eq\f(\f(\r(3)x－x,