概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案(廖茂新復(fù)旦版)

習(xí)題一1.設(shè)A，B，C為三個(gè)事件，用A，B，C的運(yùn)算式表示下列事件：（1）A發(fā)生而B與C都不發(fā)生；（2）A，B，C至少有一個(gè)事件發(fā)生；（3）A，B，C至少有兩個(gè)事件發(fā)生；（4）A，B，C恰好有兩個(gè)事件發(fā)生；（5）A，B至少有一個(gè)發(fā)生而C不發(fā)生；（6）A，B，C都不發(fā)生.解：（1）A或A-B-C或A-（B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB）∪（AC）∪（BC）.（5）（A∪B）.（6）或.2.對于任意事件A，B，C，證明下列關(guān)系式：（1）(A+B)(A+)(+B)(+)=（2）AB+B+A+（3）A-(B+C)=(A-B)-C.證明：略.=AB；3.設(shè)A，B為兩事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求：（1）A發(fā)生但B不發(fā)生的概率；（2）A，B都不發(fā)生的概率；（3）至少有一個(gè)事件不發(fā)生的概率.解（1）P（A）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；(2)P()=P()=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3；）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.(3)P(∪）=P(4.調(diào)查某單位得知。購買空調(diào)的占15％，購買電腦占12％，購買DVD的占20%；其中購買空調(diào)與電腦占6%，購買空調(diào)與DVD占10%，購買電腦和DVD占5％，三種電器都購買占2％。求下列事件的概率。（1）至少購買一種電器的；（2）至多購買一種電器的；（3）三種電器都沒購買的.解：（1）0.28,（2）0.83,（3）0.725.10把鑰匙中有3把能打開門，今任意取兩把，求能打開門的概率。解：8/156.任意將10本書放在書架上。其中有兩套書，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。（1）3本一套放在一起；（2）兩套各自放在一起；（3）兩套中至少有一套放在一起.解：（1）1/15，（2）1/210，（3）2/217.12名新生中有3名優(yōu)秀生，將他們隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班中去，試求：（1）每班各分配到一名優(yōu)秀生的概率；（2）3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班的概率.解12名新生平均分配到三個(gè)班的可能分法總數(shù)為（1）設(shè)A表示“每班各分配到一名優(yōu)秀生”3名優(yōu)秀生每一個(gè)班分配一名共有3！種分法，而其他9名學(xué)生平均分配到3個(gè)班共有法原理，A包含基本事件數(shù)為種分法，由乘3！·=故有P（A）=/=16/55（2）設(shè)B表示“3名優(yōu)秀生分到同一班”，故3名優(yōu)秀生分到同一班共有3種分法，其他9名學(xué)生分法總數(shù)為，故由乘法原理，B包含樣本總數(shù)為3·.故有P（B）=/=3/558.箱中裝有a只白球，b只黑球，現(xiàn)作不放回抽取，每次一只.（1）任取m+n只，恰有m只白球，n只黑球的概率（m≤a,n≤b）;(2)第k次才取到白球的概率（k≤b+1）;（3）第k次恰取到白球的概率.解（1）可看作一次取出m+n只球，與次序無關(guān)，是組合問題.從a+b只球中任取m+n只，所有可能的取法種，每一種取法為一基本事件且由于對稱性知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.從a只白球中取m只，共有種不同的取法，從b只黑球中取n只，共有種不同的取法.由乘法原理知，取到m只白球，n只黑球的取法共有共有種，于是所求概率為p1=.(2)抽取與次序有關(guān).每次取一只，取后不放回，一共取k次，每種取法即是從a+b個(gè)不同元素中任取k個(gè)不同元素的一個(gè)排列，每種取法是一個(gè)基本事件，共有個(gè)基本事件，且由于對稱性知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.前k-1次都取到黑球，從b只黑球中任取k-1只的排法種數(shù)，有種，第k次抽取的白球可為a只白球中任一只，有種不同的取法.由乘法原理，前k-1次都取到黑球，第k次取到白球的取法共有種，于是所求概率為p2=.(3)基本事件總數(shù)仍為.第k次必取到白球，可為a只白球中任一只，有種不同的取法，其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只，共有種不同的取法，由乘法原理，第k次恰取到白球的取法有種，故所求概率為p3=.9.在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的乘積小于1/4的概率.解設(shè)在（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)為x,y，則0＜x＜1,0＜y＜1圖1-7即樣本空間是由點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的邊長為1的正方形Ω，其面積為1.令A(yù)表示“兩個(gè)數(shù)乘積小于1/4”，則A={（x,y）｜0＜xy＜1/4,0＜x＜1,0＜y＜1}事件A所圍成的區(qū)域見圖1-7，則所求概率P(A)=.10.兩人相約在某天下午5∶00~6∶00在預(yù)定地方見面，先到者要等候20分鐘，過時(shí)則離去.如果每人在這指定的一小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)是等可能的，求約會的兩人能會到面的概率.解設(shè)x,y為兩人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時(shí)刻，那么，兩人到達(dá)時(shí)間的一切可能結(jié)果落在邊長為60的正方形內(nèi)，這個(gè)正方形就是樣本空間Ω,而兩人能會面的充要條件是｜x-y｜≤20，即x-y≤20且y-x≤20.令事件A表示“兩人能會到面”，這區(qū)域如圖1-8中的A.則P(A)=11.一盒中裝有5只產(chǎn)品，其中有3只正品，2只次品，從中取產(chǎn)品兩次，每次取一只，作不放回抽樣，求在第一次取到正品條件下，第二次取到的也是正品的概率.解設(shè)A表示“第一次取到正品”的事件，B表示“第二次取到正品”的事件由條件得P（A）=(3×4)/(5×4)=3/5，P(AB)=(3×2)/(5×4)=3/10，故有P（B｜A）=P（AB）/P（A）=(3