北航 時間序列與譜估計(2017-L6)0

時間序列與譜估計

第七章自回歸譜估計：方法第七章自回歸譜估計：方法自相關法協(xié)方差法修正協(xié)方差法伯格法遞推極大似然估計器模型階次的選擇噪聲AR過程的譜估計計算機仿真舉例概述AR過程的特性，參數(shù)及譜估計的統(tǒng)計特性AR過程的特性與預測濾波器的關系三種等價表示參數(shù)及譜估計隱含相關函數(shù)延拓最大熵延拓最大譜平坦度（白化預測誤差）概述AR過程的特性，參數(shù)及譜估計的統(tǒng)計特性參數(shù)及譜估計AR譜估計的界極大似然估計參數(shù)及反射系數(shù)的統(tǒng)計特性譜估計的統(tǒng)計特性概述實用譜估計算法自相關法協(xié)方差法修正協(xié)方差法伯格法遞推MLE法這些方法是近似MLE，長數(shù)據(jù)，性能相似；短數(shù)據(jù)，存在一些顯著差別概述對于短數(shù)據(jù)，這些算法仍有較好性能，計算量適中除遞推MLE外，均應用預測誤差功率最小的方法，是基于極大似然的觀點遞推MLE試圖通過遞推極大化似然函數(shù)來獲得較好的MLE近似值，但此處遞推僅適合于實數(shù)據(jù)。自相關法MLE(§6.5.1)

極大化條件PDF預測誤差功率極小，即極小化下式自相關法觀測數(shù)據(jù)預測誤差功率自相關法自相關法關于a[k]微分，得矩陣形式為自相關法自相關法其中(7.4)式是有偏估計，自相關矩陣是Hermitian,Toeplitz，且是正定的；與基于有偏ACF估計的Yule-Walker方程等價，可由Levinson算法求解，最小相位特性保證極點在單位圓內(nèi)。自相關法自相關法白噪聲方差估計為自相關法自相關法白噪聲方差估計也可由Levsinson算法，得自相關法與其它將要討論的算法比較，譜估計的分辨率差，對于短記錄數(shù)據(jù)，通常不使用自相關法。如果對于(7.4)式采用無偏ACF估計，得到的自相關矩陣不能保證正定性，矩陣可能奇異或接近奇異，譜估計產(chǎn)生較大方差。協(xié)方差法協(xié)方差法預測誤差功率求預測誤差功率不需數(shù)據(jù)補零，得參數(shù)方程協(xié)方差法協(xié)方差法其中白噪聲估計為系數(shù)矩陣是Hermitian和半正定，不能保證極點在單位圓內(nèi)。例如，當p=1,N=2時，a[1]的估計為，它的幅度可大于或等于1。修正協(xié)方差法前向預測后向預測修正協(xié)方差法修正協(xié)方差法：使前后向預測誤差平均值達極小方法平均預測誤差功率：其中修正協(xié)方差法修正協(xié)方差法關于參數(shù)微分，得修正協(xié)方差法令參數(shù)方程為修正協(xié)方差法白噪聲方差估計為最后，有修正協(xié)方差法不能保證建立一個穩(wěn)定的全極點濾波器。伯格法基本思想先估計反射系數(shù)，采用遞推，使各階前后向預測誤差極小利用Levinson算法遞推得到AR參數(shù)估計如果已求，則AR參數(shù)估計為伯格法對于k=2,3,…,pAR參數(shù)的估計為白噪聲估計為對上述各步求反射系數(shù)關于前后向預測誤差最小解。伯格法伯格方法設前k-1個反射系數(shù)已求，根據(jù)(7.25)式，下式的前后向平均預測誤差僅為第k個反射系數(shù)kk的函數(shù):其中伯格法伯格方法定義前后向預測誤差伯格法伯格方法定義前后向預測誤差功率為伯格法伯格方法將(7.30)代入(7.31),(7.32)中，得其中伯格法伯格方法因此，有伯格法伯格方法關于微分，得伯格法伯格算法初值伯格法對于k=1,2,…,p有伯格法

最后，估計的AR參數(shù)為：伯格法伯格法中第k個反射系數(shù)kk估計的分母DEN(k)可遞推地計算模型階次的選擇對于AR(p)過程，預測誤差滿足：預測誤差可估計AR(p)模型的階，由于數(shù)據(jù)的有限，由預測誤差估計AR模型的階會有較大誤差。模型階次的選擇如果模型階數(shù)的估計低于實際模型階數(shù)，則譜估計將損失有用譜信息；如果模型階數(shù)的估計高于實際模型階數(shù)，則譜估計的方差增大。模型階次的選擇阿凱克最終預測誤差(FPE)準則:極小化FPE(k)

阿凱克信息準則(AIC)：極小化AIC(k)

短數(shù)據(jù)，使用AIC；長數(shù)據(jù)，兩種方法將得到相同的模型階次估計。模型階次的選擇對于長數(shù)據(jù)，兩者性能相近：阿凱克信息準則(AIC)推導模型階次的選擇自回歸傳遞函數(shù)準則(CAT):極小化CAT(k)CAT選擇AR模型階次，使得由該模型估計出的預測誤差濾波器最接近于最佳無限長濾波器。（CAT是對基于任意數(shù)據(jù)組的AR譜估計導出的，并不是僅對純AR過程）

噪聲AR過程的譜估計觀測數(shù)據(jù)：

x[n]是AR過程，數(shù)據(jù)y[n]的功率譜為：噪聲AR過程的譜估計常用譜估計方法ARMA模型估計，可看成ARMA(p,p)模型；數(shù)據(jù)預濾波，減小觀測噪聲；補償AR參數(shù)由于噪聲引起的偏差：使用高階AR模型計算機仿真舉例實AR(4)過程，參數(shù)如下表：計算機仿真舉例極點分布如下圖計算機仿真舉例對于所有仿真，記錄數(shù)據(jù)長度為N=256個實數(shù)據(jù)點，所用的模型階為真實模型階