數(shù)分二十二章習(xí)題

二、內(nèi)容復(fù)習(xí)三、例題習(xí)題課一、基本要求第二十二章曲面積分２理解Gauss公式和Stokes公式的證明思路，會分３了解如何計算由隱式方程或參數(shù)方程表示的曲曲面積分，了解兩類曲面積分的關(guān)系.１正確理解第一、二型曲面積分的概念、性質(zhì)，一、基本要求掌握用顯式方程表示的曲面的第一、二型曲面積分計算公式.別運用它們計算第二型曲面積分和第二型曲線積分.上任取一點若存在極限

定義在

S

上的函數(shù).對曲面

S

作分割

T,它把S分成n個小曲面塊記小曲面塊

的面積,分割

T的細度在

定義設(shè)

S

是空間中可求面積的曲面,為1、第一型曲面積分的定義二、內(nèi)容復(fù)習(xí)曲面塊的質(zhì)量由第一型曲面積分表示為:特別地,當(dāng)時,曲面積分就是曲面

塊的面積.

且與分割的取法

無關(guān),則稱此極限為上的第一型曲面積分,記作的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定:

分別表示在三個坐標面上定義設(shè)P,Q,R為定義在雙側(cè)曲面S上的函數(shù).對S作分割T,它把S分為分割T的細度為2、第二型曲面積分定義若在曲面所指定一側(cè)上的第二型曲面積分,記作的選取無關(guān),則稱此極限I為向量函數(shù)中的三個極限都存在,且與分割

T和點

的據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的

負側(cè)流向正側(cè)的總流量即為又如,若空間中的磁場強度為則按指定方向穿過曲面的磁通量(磁力線總數(shù))為3、第一型、第二型曲面積分的性質(zhì)若以-S表示曲面S的另一側(cè),則有第一型曲面積分的性質(zhì)完全類以與第一型曲線積分．第二型曲面積分的性質(zhì)完全類以與第二型曲線積分．４、第一型曲面積分的計算公式第一型曲面積分需要化為二重積分來計算.定理

22.1設(shè)有光滑曲面為

S

上的連續(xù)函數(shù),則注:為

S

上的連續(xù)函數(shù),則為

S

上的連續(xù)函數(shù),則對于由參量形式表示的光滑曲面在上第一型曲面積分的計算公式則為其中５、第二型曲面積分的計算公式

定理22.2設(shè)是定義在光滑曲面上的連續(xù)函數(shù)，以S的上側(cè)為正側(cè)(這時S的法線方向與z軸正向成銳角)，則有基本方法：化為二重積分前側(cè)為正,后側(cè)為負類似地,當(dāng)在光滑曲面上連續(xù)時,有右側(cè)為正,左側(cè)為負當(dāng)在光滑曲面上連續(xù)時,有步驟：1.寫出曲面方程：3.把曲面方程：代入中得4.求二重積分.計算“一投,二代,三定號”2.把S投影在面上得投影區(qū)域為；定理22.3設(shè)S為光滑曲面,正側(cè)法向量為

６、兩類曲面積分的聯(lián)系在上連續(xù)，則函數(shù),以的上側(cè)為正側(cè),則在光滑曲面上的連續(xù)定理22.4設(shè)是定義７、高斯公式定理22.3

設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲

面

S圍成.若函數(shù)

P,Q,R

在上連續(xù),且有一階連

續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則其中

S取外側(cè).上式稱為高斯公式.定理22.4設(shè)光滑曲面

S的邊界

L是按段光滑的連續(xù)曲線.若函數(shù)

P,Q,R在

S(連同

L)上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有斯托克斯公式如下:８、斯托克斯公式其中

S的側(cè)與

L的方向按右手法則確定.９、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件不經(jīng)過

V以外的點而連續(xù)收縮于屬于

V的一點.例區(qū)域

V稱為單連通的,如果

V內(nèi)任一封閉曲線皆可如球面是單連通曲面,非單連通區(qū)域稱為復(fù)連通區(qū)域.如車胎狀的環(huán)形區(qū)域不是非單連通區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域.定理22.5設(shè)為空間單連通區(qū)域.若函數(shù)P,

個條件是等價的:Q,R在

上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四與路線無關(guān);(i)對于

內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線

L有(ii)對于

內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線

L,曲線積分個條件是等價的:在

內(nèi)處處成立.(iii)

內(nèi)某一函數(shù)

u的全微分,即三、例題例1計算積分其中是曲面介與兩平面之間的部分.解曲面方程:于是(利用對稱性)應(yīng)用極坐標變換（令）R0xz

yH例2計算積分其中是圓柱體的外側(cè).解1其中取左側(cè)；取后側(cè)；先求R0xz

yH取右側(cè)，或取后側(cè)；取下側(cè)；取上側(cè)；依題義分為：R0xz

yH平