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計(jì)算定積分的一般方法
—微積分基本定理第二節(jié)
主要內(nèi)容：一、問(wèn)題的提出二、微積分的基本定理三、定積分的換元積分法四、定積分的分部積分法一、問(wèn)題的提出積分學(xué)中要解決兩個(gè)問(wèn)題：一、原函數(shù)的求解;二、定積分計(jì)算.不定積分問(wèn)題
解決面積、體積、做功、利潤(rùn)等實(shí)際問(wèn)題如何計(jì)算定積分？
定義很復(fù)雜，直接計(jì)算很困難.需要轉(zhuǎn)換新的思路.變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為另一方面這段路程可表示為巧合還是真理？大膽猜想著名的牛頓-萊布尼茨定理二、微積分基本定理變限定積分概念變上限積分、變下限積分統(tǒng)稱為變限積分.借助求函數(shù)值來(lái)解決積分上限函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)f(x)的定積分定理用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證明.提示與分析：證積分區(qū)間的可加性積分區(qū)間的可加性如何化簡(jiǎn)？定積分中值定理注意:變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例1求解分析：這是型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.定理牛頓-萊布尼茨公式原函數(shù)存在定理，結(jié)合原函數(shù)之間的關(guān)系.提示與分析：證積分區(qū)間的可加性微積分基本公式表明：求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題注意微分中值定理積分中值定理
牛頓-萊布尼茨公式揭示了微分（導(dǎo)數(shù)）與定積分這兩個(gè)定義之間的內(nèi)在聯(lián)系，因而稱為微積分基本定理.注意(2)
解面積但例如
利用幾何意義可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算ππππππ由定積分的幾何意義可直接得：例求
原式=解1例:求函數(shù)的極值解:令:得:又:故:當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得極小值,
如何計(jì)算分段函數(shù)的積分?12例:設(shè)在上連續(xù),且求解:設(shè)則:那么:故:例計(jì)算解令三.定積分的換元公式原式=01在區(qū)間上連續(xù)當(dāng)x從時(shí),
t從在上單調(diào)應(yīng)用換元公式時(shí)要注意:解例3
計(jì)算例4
計(jì)算解令πππ如何去掉根式？三角代換πππππππππ例5
計(jì)算解一π提示與分析：用湊微分法求解.ππππ解二ππππ對(duì)稱區(qū)間上的積分奇函數(shù)例計(jì)算
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