注冊電氣工程師考試-高等數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)第一章：函數(shù)與極限初等數(shù)學(xué)的研究對象基本上是不變的量，而高等數(shù)學(xué)則以變量為研究對象。所謂函數(shù)關(guān)系就是變量之間的依賴關(guān)系。極限方法則是研究變量的一種基本方法。本章將介紹變量、函數(shù)和極限的概念，以及他們的基本性質(zhì)。1.1初等函數(shù)圖象及性質(zhì)1.1.1冪函數(shù)函數(shù)（是常數(shù)）叫做冪函數(shù)。冪函數(shù)的定義域，要看是什么數(shù)而定。例如，當(dāng)=3時，的定義域是(-,+)；當(dāng)=1/2時，的定義域是[0,+)；當(dāng)=-1/2時，的定義域是(0,+)。但不論取什么值，冪函數(shù)在(0,+)內(nèi)總有定義。最常見的冪函數(shù)圖象如下圖所示：[如圖]1.1.2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1．指數(shù)函數(shù)函數(shù)（a是常數(shù)且a>0,a1）叫做指數(shù)函數(shù)，它的定義域是區(qū)間(-,+)。因為對于任何實數(shù)值x，總有，又，所以指數(shù)函數(shù)的圖形，總在x軸的上方，且通過點(0,1)。若a>1，指數(shù)函數(shù)是單調(diào)增加的。若0<a<1，指數(shù)函數(shù)是單調(diào)減少的。由于，所以的圖形與的圖形是關(guān)于y軸對稱的（圖1-21）。[如圖]2．對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，記作（a是常數(shù)且a>0，a1），叫做對數(shù)函數(shù)。它的定義域是區(qū)間(0,+)。對數(shù)函數(shù)的圖形與指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對稱（圖1-22）。的圖形總在y軸上方，且通過點(1,0)。若a>1，對數(shù)函數(shù)是單調(diào)增加的，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)函數(shù)值為負(fù)，而在區(qū)間(1,+)內(nèi)函數(shù)值為正。若0<a<1，對數(shù)函數(shù)是單調(diào)減少的，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)函數(shù)值為正，而在區(qū)間(1,+)內(nèi)函數(shù)值為負(fù)。[如圖]1.1.3三角函數(shù)與反三角函數(shù)1．三角函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2為周期的周期函數(shù)，它們的定義域都是區(qū)間(-,+)，值域都是必區(qū)間[-1,1]。正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)。正切函數(shù)和余切函數(shù)都是以為周期的周期函數(shù)，它們都是奇函數(shù)。[如圖]2．反三角函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，其圖形都可由相應(yīng)的三角函數(shù)的圖形按反函數(shù)作圖法的一般規(guī)則作出。這四個反三角函數(shù)都是多值函數(shù)。但是，我們可以選取這些函數(shù)的單值支。例如，把Arcsinx的值限制在閉區(qū)間[-，]上，稱為反正弦函數(shù)的主值，并記作arcsinx。這樣，函數(shù)y=arcsinx就是定義在閉區(qū)間[-1，1]上的單值函數(shù)，且有。1.2數(shù)列極限的概念設(shè){}是一個數(shù)列，a是實數(shù)，如果對于任意給定的，總存在一個正整數(shù)N，當(dāng)n>N時都有，我們就稱a是數(shù)列{}的極限，或者稱數(shù)列{}收斂，且收斂于a，記為，a即為的極限。數(shù)列極限的幾何解釋：以a為極限就是對任意給定的開區(qū)間，第N項以后的一切數(shù)全部落在這個區(qū)間內(nèi)。1.3函數(shù)極限的概念設(shè)函數(shù)f(x)在點附近（但可能除掉點本身）有定義，設(shè)A為一個定數(shù)，如果對任意各定，一定存在，使得當(dāng)時，總有，我們就稱A是函數(shù)f(x)在點的極限，記作,這時稱f(x)在點極限存在，這里我們不要求f(x)在點有定義，所以才有。例如：，當(dāng)x=1時，函數(shù)是沒有定義的，但在x=1點函數(shù)的極限存在，顯然等于2。1.4單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限，是判斷極限存在的重要準(zhǔn)則之一，具體敘述如下：如果數(shù)列滿足條件，就稱數(shù)列是單調(diào)增加的；反之則稱為是單調(diào)減少的。在前面的章節(jié)中曾證明：收斂的數(shù)列必有界。但也曾指出：有界的數(shù)列不一定收斂。現(xiàn)在這個準(zhǔn)則表明：如果數(shù)列不僅有界，而且是單調(diào)的，則其極限必定存在。對這一準(zhǔn)則的直觀說明是，對應(yīng)與單調(diào)數(shù)列的點只可能向一個方向移動，所以只有兩種可能情形：或者無限趨近某一定點；或者沿數(shù)軸移向無窮遠(yuǎn)（因為不趨向于任何定點且遞增，已符合趨向無窮的定義）。但現(xiàn)在數(shù)列又是有界的，這就意味著移向無窮遠(yuǎn)已經(jīng)不可能，所以必有極限。從這一準(zhǔn)則出發(fā)，我們得到一個重要的應(yīng)用?？紤]數(shù)列，易證它是單調(diào)增加且有界（小于3），故可知這個數(shù)列極限存在，通常用字母e來表示它，即。可以證明，當(dāng)x取實數(shù)而趨于或時，函數(shù)…1.5柯西（Cauchy）極限存在準(zhǔn)則我們發(fā)現(xiàn)，有時候收斂數(shù)列不一定是單調(diào)的，因此，單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則只是數(shù)列收斂的充分條件，而不是必要的。當(dāng)然，其中有界這一條件是必要的。下面敘述的柯西極限存在準(zhǔn)則，它給出了數(shù)列收斂的充分必要條件?？挛鳎–auchy）極限存在準(zhǔn)則數(shù)列收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù)，存在著這樣的正整數(shù)N，使得當(dāng)m>N，n>N時，就有。必要性的證明設(shè)，若任意給定正數(shù)，則也是正數(shù)，于是由數(shù)列極限的定義，存在著正整數(shù)N，當(dāng)n>N時，有；同樣，當(dāng)m>N時，也有。因此，當(dāng)m>N，n>N時，有所以條件是必要的。充分性的證明從略。這準(zhǔn)則的幾何意義表示，數(shù)列收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù)，在數(shù)軸上一切具有足夠大號碼的點，任意兩點間的距離小于。柯西極限存在準(zhǔn)則有時也叫做柯西審斂原理。1.6連續(xù)函數(shù)1.6.1定義：若函數(shù)f(x)在點的附近包括點本身有定義，并且，則稱f(x)在點連續(xù)，為f(x)的連續(xù)點。[如圖]1.6.2充要條件：f(x)在點既是左連續(xù)又是右連續(xù)。初等函數(shù)如三角、反三角函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等都是在自定義區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。1.6.3三類不連續(xù)點：(1)第一類不連續(xù)點：存在但不相等。[如圖](2)第二類不連續(xù)點：中至少有一個不存在。[如圖](3)第三類不連續(xù)點：存在且相等，但它不等于或f(x)在點無定義。[如圖]1.7一致連續(xù)性的概念及它與連續(xù)的不同1.7.1定義：對，可找到只與有關(guān)而與x無關(guān)的，使得對區(qū)間內(nèi)任意兩點，，當(dāng)時總有，就稱f(x)在區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)。1.7.2與連續(xù)的比較：(1)連續(xù)可對一點來講，而一致連續(xù)必須以區(qū)間為對象。(2)連續(xù)函數(shù)對于某一點，取決于和，而一致連續(xù)函數(shù)的只取決于，與x值無關(guān)。(3)一致連續(xù)的函數(shù)必定連續(xù)。[例：函數(shù)y=1/x，當(dāng)時非一致連續(xù)當(dāng)時一致連續(xù)](4)康托定理：閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定在[a,b]上一致連續(xù)。高等數(shù)學(xué)第二章：導(dǎo)數(shù)與微分在這一章中，我們主要討論導(dǎo)數(shù)和微分的概念以及他們的計算方法，至于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，我們將在第三章里討論！2.1

導(dǎo)數(shù)的概念2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點仍在該領(lǐng)域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)時的極限存在，則稱函數(shù)在處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，記為,即,也可記作。導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式,常見的有和導(dǎo)數(shù)的概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述。2.1.2

求導(dǎo)舉例例求函數(shù)（n為正整數(shù))在處的導(dǎo)數(shù)解把以上結(jié)果中的換成得,即更一般地,對于冪函數(shù)（為常數(shù)）,有這就是冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解即這就是說,正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù).用類似的方法，可求得就是說,余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦函數(shù)。例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解=即這就是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,特殊地,當(dāng)時,因,故有例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解=作代換即得這就是對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,特殊地,當(dāng)時,由上式得自然對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:2.1.3

導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的定義可知:函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線斜率，即,其中是切線的傾角.如下圖：例求等邊雙曲線在點處的切線的斜率,并寫出在該點處的切線方程和法線方程。解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道,所求切線的斜率為由于,于是從而所求切線方程為即所求法線的斜率為于是所求法線方程為2.2

微分的概念2.2.1微分的定義設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義,及在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量可表示為其中A是不依賴于的常數(shù),而是比高階的無窮小,那末稱函數(shù)在點是可微的,而叫做函數(shù)在點相應(yīng)于自變量增量的微分,記作,即例求函數(shù)在和處的微分.解函數(shù)在處的微分為在處的微分為函數(shù)在任意點的微分，稱為函數(shù)的微分,記作或,即例如,函數(shù)的微分為函數(shù)的微分為通常把自變量的增量稱為自變量的微分,記作，即.于是函數(shù)的微分又可記作從而有就是說，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此，導(dǎo)數(shù)也叫做”微商”.2.2.2微分的幾何意義設(shè)是曲線上的點的縱坐標(biāo)的增量,是曲線的切線上的縱坐標(biāo)的相應(yīng)的增量,當(dāng)很小時,比小得多,因此在點的鄰近,我們可以用切線段來近似代替曲線段.第三章：中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1三個中值定理3.1.1羅爾定理羅爾定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點，使得函數(shù)f(x)在該點的導(dǎo)數(shù)等于零：。3.1.2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點，使等式(1)成立。3.1.3柯西中值定理柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)在(a,b)內(nèi)的每一點處均不為零，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點，使等式(2)成立。3.2洛必達(dá)法則3.2.1.洛必達(dá)法則的概念.定義:求待定型的方法(與此同時);定理:若f(x)與g(x)在(a,a+)上有定義,且f(x)=g(x)=0;并且與在(a,a+)上存在.0且=A則==A,(A可以是).證明思路:補充定義x=a處f(x)=g(x)=0則[a,a+)上==即x時,x,于是=3.2.2定理推廣:由證明過程顯然定理條件x可推廣到x,x,x。所以對于待定型,可利用定理將分子、分母同時求導(dǎo)后再求極限。注意事項:1.對于同一算式的計算中,定理可以重復(fù)多次使用。2.當(dāng)算式中出現(xiàn)Sin或Cos形式時,應(yīng)慎重考慮是否符合洛必達(dá)法則條件中與的存在性。向其他待定型的推廣。1.可化為=，事實上可直接套用定理。2.0=03.-=-，通分以后=。4.、、取對數(shù)0Ln0、Ln1、0Ln0、0、0。(注意:上述轉(zhuǎn)化過程中描述引用的僅為記號.)3.3泰勒公式及其誤差圖示來源:實踐,常用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似運算.由于時所以因此應(yīng)用范圍:常用以在直接求困難,而在附近處與較易求得時應(yīng)用.條件是與充分接近,即可達(dá)到一定的精度.利用當(dāng)為不同函數(shù)時.有常用近似公式如下:(|x|很小時)Sinxx,tgxx,,,,Ln(1+x)x.泰勒公式來源:上述公式在|x|很小時,于是即,與在x=0處函數(shù)值相等且,一階導(dǎo)數(shù)相等.為進(jìn)一步提高精度欲使與在二階導(dǎo)數(shù)處也相等.于是,,.得依此類推:對于誤差,有定理:在x=0處有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則上式誤差(在x與0之間)由定理:此式為在x=0處的關(guān)于x的泰勒展開公式.即:公式推廣:一般地在x=附近關(guān)于點的泰勒公式注意:雖然泰勒公式是在x="附近"展開,但是事實上x可以取f(x)定義域內(nèi)任意值,只不過若|x-|過大(即x離過遠(yuǎn))時,相應(yīng)變大.即使用代替f(x)的誤差變大.可是,無論如何泰勒公式總是成立的,當(dāng)固定后,不同的x將使發(fā)生變化,并使變化,從而影響對f(x)的近似精度.3.4函數(shù)圖形描繪示例定理:若f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)可導(dǎo).則f(x)在[a,b]單調(diào)上升(或單調(diào)下降)的充分必要條件為(a,b)內(nèi)(或)推論:若f(x)在[a,b]連續(xù),(a,b)可導(dǎo),且不變號則(或<0)嚴(yán)格單調(diào)上升(下降).定理(極值的必要條件):若為f(x)的極值點,那么只可能是的零點或f(x)的不可導(dǎo)點.定理(極值判別法):則f()為極大值f()為極小值若不存在,但f(x)在與上可導(dǎo)則若內(nèi),內(nèi)則為極小點,反之為極大點定義:若曲線在一點的一邊為上凸,另一邊為下凸,則稱此點為拐點,顯然拐點處定義:若則稱ax+b為f(x)的一條漸進(jìn)線.定義:若則稱x=c為f(x)的一條垂直漸進(jìn)線.定理:若f(x)的一條漸進(jìn)線為ax+b則,證明:由定義知即所以即帶回定義得函數(shù)圖象描述的基本步驟:1.確定y=f(x)的定義域并討論函數(shù)的基本性質(zhì),如奇偶性,對稱性\周期性等.2.求出與及與不存在的各點.3.由2的結(jié)果函數(shù)的上升,下降區(qū)間,及圖形的上凸,下凸區(qū)間以及各極值點.4.定出函數(shù)的漸近線.5.描點作用.3.5曲率的概念及計算公式3.5.1概念來源：為了平衡曲線的彎曲程度。平均曲率，這個定義描述了AB曲線上的平均彎曲程度。其中表示曲線段AB上切線變化的角度，為AB弧長。例：對于圓，。所以：圓周的曲率為，是常數(shù)。而直線上，所以，即即直線“不彎曲”。對于一個點，如AA點，為精確確刻畫此點處處曲線的彎曲曲程度，可令令，即定義，為為了方便使用用，一般令曲曲率為正數(shù)，即即：。3.5.2計算算公式的推導(dǎo)導(dǎo)：由于，所以要推導(dǎo)導(dǎo)與ds的表示法，ds稱為曲線弧弧長的微分（T5-28，P218）因為，所以。令，同時用代替得所以或具體表示；1、時，2、時，3、時，（令）再推導(dǎo)，因為，所所以，兩邊對x求導(dǎo)，得，推推出。下面將與ds代入入公式中：，即為曲率的計算算公式。3.5.3曲率率半徑：一般稱為曲線在某某一點的曲率率半徑。幾何意義（T5--29）如圖為在在該點做曲線線的法線（在在凹的一側(cè)），在在法線上取圓圓心，以ρ為半徑做圓圓，則此圓稱稱為該點處的的曲率圓。曲曲率圓與該點點有相同的曲曲率，切線及及一階、兩階階稻樹。應(yīng)用舉例：求上任任一點的曲率率及曲率半徑徑（T5-30）解：由于：所以：，3.6方程的近近似解法3.6.1應(yīng)用用前提：方程，則應(yīng)滿足：：（1）在[a，b]連續(xù)，與不同號。（2）在（a，b）內(nèi)連續(xù)且不變號號。（3）在（a，b）內(nèi)連續(xù)且不變號號。3.6.2應(yīng)用用步驟：首先：判斷方程是是否滿足應(yīng)用用前提，先對對端點a，b求、，取與同號的的一點為起點點。過起點做做的切線，交x軸與。然后：過（，）做做的切線，交x軸與。以次類推，直到滿滿足精度要求求。3.6.3應(yīng)用用舉例：求：在[1，2]]內(nèi)的根，誤誤差解：令，有：所以可應(yīng)用上述方方法，求得：：由于，所以誤差范范圍內(nèi)的近似似解為3.6.4兩點點說明：前提條件的作用：：第一個條件顯然是是為了保證區(qū)區(qū)間上解的存存在性。第二、第三個條件件是為了保證證各步迭代后后，得到的交交點仍落在區(qū)區(qū)間上的迭代公式：設(shè)第n步后的交點為，所所以下一步過過（，）做的切線，寫寫出其方程就就是：，它與X軸交點為，這這就是迭代公公式。第四章：不定積分分4.1不定積分分的概念與性性質(zhì)4.1.1原函函數(shù)與不定積積分的概念定義1如果在區(qū)間上，可可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)為，即即對任一，都都有或，那末函數(shù)就稱為（或或）在區(qū)間上的的原函數(shù)。例如，因，故是的的原函數(shù)。那一個函數(shù)具備何何種條件，才才能保證它的的原函數(shù)一定定存在呢？簡簡單的說就是是，連續(xù)的函函數(shù)一定有原原函數(shù)。下面還要說明兩點點。第一，如果有，那那么，對任意意常數(shù)C，顯然也有有，即如果是的原函數(shù)，那那也是的原函數(shù)數(shù)。第二，當(dāng)為任意常常數(shù)時，表達(dá)達(dá)式就可以表示的任意意一個原函數(shù)數(shù)。也就是說說，的全體原原函數(shù)所組成成的集合，就就是函數(shù)族。由以上兩點說明，我我們引入如下下定義。定義2在區(qū)間上，函數(shù)的的帶有任意常常數(shù)項的原函函數(shù)稱為（或或）在區(qū)間上的的不定積分，記記作。其中記號稱為積分分號，稱為被被積函數(shù)，稱稱為被積表達(dá)達(dá)式，稱為積積分變量。由此定義及前面的的說明可知，如如果是在區(qū)間上的一一個原函數(shù)，那那么就是的不定積積分，即。因而不定積分可以以表示的任意意一個原函數(shù)數(shù)。例1求.解由于=，所以是的的一個原函數(shù)數(shù)。因此.例2求.解當(dāng)時,由于=,所以是在在內(nèi)的一個原原函數(shù)。因此此，在內(nèi)，當(dāng)時，由于==，由由上同理，在在內(nèi)，將結(jié)果合并起來，可可寫作4.1.2不定定積分的性質(zhì)質(zhì)根據(jù)不定積分的定定義，可以推推得它的如下下兩個性質(zhì)：：性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積積分等于各個個函數(shù)的不定定積分的和，即即.性質(zhì)2求不定積分時,被被積函數(shù)中不不為零的常數(shù)數(shù)因子可以提提到積分號外外面來,即(是常數(shù),).例3求.解=====注意檢驗積分結(jié)果是否否正確,只要對結(jié)果果求導(dǎo),看它的導(dǎo)數(shù)數(shù)是否等于被被積函數(shù)，相相等時結(jié)果是是正確的，否否則結(jié)果是錯錯誤的。4.2兩類換元元法及舉例利用基本積分表與與積分的性質(zhì)質(zhì),所能計算的的不定積分是是非常有限的的.因此,有必要進(jìn)一一步來研究不不定積分的求求法.把復(fù)合函數(shù)的微分分法反過來求求不定積分,利用中間變變量的代換,得到復(fù)合函函數(shù)的積分法法,稱為換元積積分法,簡稱換元法.換元法通常分成兩兩類.4.2.1第一一類換元法定理1設(shè)f(u)具有原函函數(shù),u=φ(x)可導(dǎo),則有換元公公式例1求∫2coss2xdx..解作變換u=2x,,便有∫2cos2xdxx=∫cos2xx·2dx=∫cos2xx·(2x))'dx=∫cosuudu==sinu+C,再以u=2x代入入,即得∫2cos2xdxx=sinn2x+CC.例2求∫tanxdx..解∫tanxdxx=∫sinxx/cossxdxx.因為-sinxddx=ddcosx,所以如果設(shè)設(shè)u=cossx,那么du=--sinxxdx,即-du=ssinxddx,因此.類似地可得∫cootxddx=lnn|sinx|+C..在對變量代換比較較熟練以后,就不一定寫寫出中間變量量u.例3求∫ch(xx/a)ddx.解.例4求(a>0)).解.下面的一些求積分分的例子,它們的被積積函數(shù)中含有有三角函數(shù),在計算這種種積分的過程程中,往往要用到到一些三角恒恒等式.例5求∫sin33xdxx.解∫sin3xdxx=∫sin2xsinnxdx==-∫(1-coss2x)d(ccosx)=-∫d(cosx)++∫cos2xd(coosx)=-cosx+((1/3)ccos3x+C.例6求∫cos22xdxx.解.類似地可得∫siin2xdxx=x/2--(sin22x)/4++C.利用定理1來求不不定積分,一般卻比利利用復(fù)合函數(shù)數(shù)的求導(dǎo)法則則求函數(shù)的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)要來的困困難,因為其中需需要一定的技技巧,而且如何適適當(dāng)?shù)倪x擇變變量代換u==φ(x)沒有一般般途徑可循,因此要掌握握換元法,除了熟悉一一些典型的例例子外,還要做較多多的練習(xí)才行行.第二類換元法定理2設(shè)x=ψ(x)是單單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù),并且ψ'(x)≠0.又設(shè)f[ψ(t)]ψ'(t)具有有原函數(shù),則有換元公公式,其中(x)是x==ψ(t)的反函數(shù).例7求(a>0)解求這個積分的困難難在于有根式式,但我們可以以利用三角公公式sin2t+coss2t=1來化去去根式.設(shè)x=asint,,-π/2<t<π/2,那么,于是根式化化為了三角式式,所求積分化化為.利用例6的結(jié)果得得.由于x=asinnt,-π/2<t<π/2,所以,于是所求積分為.具體解題時要分析析被積函數(shù)的的具體情況,選取盡可能能簡捷的代換換.第五章：定積分5.1定積分概概念定義設(shè)函數(shù)f((x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入入若干個分點點，把區(qū)間[a,b]]分成n個小區(qū)間，設(shè)有常數(shù)I，如果果對于任意給給定的正數(shù)，總存在一一個正數(shù)，使得對于于區(qū)間[a,b]的任何分法法，不論在中怎樣取法法，只要，總總有成立，則稱I是ff(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分分，記作。接下來的問題是：：函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足怎樣樣的條件，f(x)在[a,b]上一定可積積？以下給出出兩個充分條條件。定理1設(shè)f(x)在區(qū)間[[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。定理2設(shè)f(x)在區(qū)間[[a,b]上有界，且且只有有限個個間斷點，則則f(x)在[a,b]上可積。如果我們對面積賦賦以正負(fù)號，在x軸上方的圖形面積賦以正號，在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號，則在一般情形下，定積分的幾何意義為：它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a、x=b之間的各部分面積的代數(shù)和。5.2牛頓－萊步尼茲公式及實例定理如果函數(shù)FF(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原原函數(shù)，則。(1)證已知函數(shù)F(xx)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函函數(shù)，又根據(jù)據(jù)前面的定理理知道，積分分上限的函數(shù)數(shù)也是f(x)的一個原原函數(shù)。于是是這兩個原函函數(shù)之差為某某個常數(shù)（第第四章第一節(jié)節(jié)），即。(2)在上式中令x==a，得。又由的定義義式及上節(jié)定定積分的補充充規(guī)定知，因此此，C=FF(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的，可得得，在上式中令x==b，就得到所所要證明的公公式(1)。由積分性質(zhì)知，((1)式對a>b的情形同樣樣成立。為方便起見，以后后把F(b)–F(a)記成。公式(1)叫做牛頓((Newtoon)-萊步尼茲(Leibbniz)公式，它給給定積分提供供了一種有效效而簡便的計計算方法，也也稱為微積分分基本公式。例1計算定積分。解。例2計算。解。例3計算。解。例4計算正弦曲線yy=siinx在[0,]上與x軸所圍成的的平面圖形的的面積。解。例5求解易知這是一個型型的未定式，我我們利用洛必必達(dá)法則來計計算。因此。5.3定積分的的近似計算在應(yīng)用問題中常遇遇到要求定積積分的數(shù)值，但但f(x)的原原函數(shù)根本不不能普通的初初等函數(shù)表示示出來。例如如等，所以提提出了積分的的近似計算問問題。定積分近似計算公公式的原理：：求定積分就就是求面積，近近似計算公式式是對面積的的近似求法。此處介紹拋物線法法原理：實質(zhì)上是用用拋物線逼近近曲線段，如如圖由此可推推出。此公式式稱為辛卜生生公式。近似計算方法很多多，但實質(zhì)上上多是曲線逼逼近（見數(shù)值值分析）。5.4廣義積分分的概念5.4.1無窮窮限的廣義積積分定義1設(shè)函數(shù)f(x))在區(qū)間[a,+)上連續(xù)，取b>a，若極限存在，則稱此極限限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+)上的廣義積積分，記作，即。(1)這時也稱廣義積分分收斂；若上上述極限不存存在，稱為廣廣義積分發(fā)散散。類似地，若極限存存在，則稱廣廣義積分收斂斂。設(shè)函數(shù)f(x)在在區(qū)間(-,+)上連續(xù)，如如果廣義積分分和都收斂，則則稱上述兩廣廣義積分之和和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-,+)上的廣義積積分，記作，也也稱廣義積分分收斂；否則則就稱廣義積積分發(fā)散。上述廣義積分統(tǒng)稱稱為無窮限的的廣義積分。例1證明廣義積分(aa>0)當(dāng)p>1時收斂，當(dāng)p1時發(fā)散。證當(dāng)p=1時，,當(dāng)p1時，因此，當(dāng)p>1時，這廣義義積分收斂，其其值為；當(dāng)p1時，這廣義義積分發(fā)散。5.4.2無界界函數(shù)的廣義義積分現(xiàn)在我們把定積分分推廣到被積積函數(shù)為無界界函數(shù)的情形形。定義2設(shè)函數(shù)f(x))在(a,b]上連續(xù)，而而在點a的右領(lǐng)域內(nèi)內(nèi)無界，取，如如果極限存在，則稱稱此極限為函函數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積積分，仍然記記作，這時也也稱廣義積分分收斂。類似地，設(shè)函數(shù)ff(x)在[a,b]上除點c(a<cc<b)外連續(xù)，而而在點c的領(lǐng)域內(nèi)無無界，如果兩兩個廣義積分分與都收斂，則則定義；(2)否則，就稱廣義積積分發(fā)散。例2證明廣義積分當(dāng)qq<1時收斂，當(dāng)q1時發(fā)散。證當(dāng)q=1時，，當(dāng)q1時，因此，當(dāng)q<1時，這廣義義積分收斂，其其值為；當(dāng)q1時，這廣義義積分發(fā)散。第六章：空間解析析幾何與向量量微分6.1幾種常見見曲線：6.2曲面方程程6.2.1曲曲面方程的概概念及一般方方程如果曲面S與三元元方程F(x,y,z)=0(1)有下述關(guān)系：曲面S上任一點的坐標(biāo)都都滿足方程(1)；不在曲面S上的點點的坐標(biāo)都不不滿足方程(1)，那末，方程(1))就叫做曲面S的方程，而而曲面S就叫做方程(1)的圖形。6.2.2平面面方程的幾種種形式一般形式：Ax+By+Cyy+D=0，其中{A，B，C}是平面法向向，。點法式方程：。截距式方程：。三點式方程：已知平面過空間三三點，，，則平面方方程為幾種特殊的曲面方方程旋轉(zhuǎn)曲面方程設(shè)平面曲線l:繞z軸旋轉(zhuǎn),則旋轉(zhuǎn)曲線線方程為柱面方程母線平行與坐標(biāo)軸軸的柱面方程程為不完全的的三元方程,如F(y,z)=0就表示母線線平行與x軸,準(zhǔn)線為的柱面.二次曲面方程（見見第七章知識識點3）6.3空間曲線線6.3.1空空間曲線一般般方程空間曲線可以看作作兩個曲面的的交線。設(shè)F(x,y,z)=0和G(x,,y,zz)=0是兩個曲面的方程程，它們的交交線為C。因為曲線C上的任何點點的坐標(biāo)應(yīng)同同時滿足這兩兩個曲面的方方程，所以應(yīng)應(yīng)滿足方程組組（1）反過來，如果點MM不在曲線C上，那末它它不可能同時時在兩個曲面面上，所以它它的坐標(biāo)不滿滿足方程組（1）。因此，曲曲線C可以用方程程組（1）來表示。方方程組（1）叫做空間曲曲線C的一般方程程。為空間曲線的一般般方程，空間間曲線的參數(shù)數(shù)方程為t為參數(shù).方程組表示怎樣樣的曲線?方程組中第一個方方程表示母線線平行于z軸的圓柱面,其準(zhǔn)線是xOy面上的圓，圓圓心在原點O，半徑為1。方程組中中第二個方程程表示一個母母線平行于y軸的柱面，由由于它的準(zhǔn)線線是zOx面上的直線線，因此它是是一個平面。方方程組就表示示上述平面與與圓柱面的交交線。方程組表示怎樣的曲線？？方程組中第一個方方程表示球心心在坐標(biāo)原點點O，半徑為a的上半球面面。第二個方方程表示母線線平行于z軸的圓柱面面，它的準(zhǔn)線線是xOy面上的圓，這這圓的圓心在在點（a/2，0），半徑為a/2。方程組就就表示上述半半球面與圓柱柱面的交線?？臻g曲線在坐標(biāo)上上的投影設(shè)空間曲線C的一一般方程為由上述方程組消去去變量z，x，y后所得的方方程分別為：：H(x,yy)=0R(y,z))=0T((x,z)=00表示曲線C在xOOy面上的投投影,表示曲線C在yOOz面上的投投影,表示曲線C在xOOz面上的投影影。例已知兩球面的方程程為（a）和(b)求它們的交線C在在xOy面上的投影影方程。解先求包含交線C而而母線平行于于z軸的柱面方方程。因此要要由方程(a),,(b)消去z，為此可先先從（a）式減去(b)式并化簡，得得到y(tǒng)+z=1再以z=1–yy代入方程（a）或（b）即得所求求的柱面方程程為容易看出，這就是是交線C關(guān)于xOy面的投影柱柱面方程，于于是兩球面的的交線在xOy面上的投影影方程是注：在重積分和曲曲線積分的計計算中，往往往需要確定一一個立體或曲曲面在坐標(biāo)面面上的投影，這這時要利用投投影柱面和投投影曲線。6.4二次曲面面我們把三元二次方方程所表示的的曲面叫做二二次曲面。為為了了解三元元方程F(x,y,,z)=00所表示得的的曲面的形狀狀，我們通常常采用截痕法法。即用坐標(biāo)標(biāo)面和平行于于坐標(biāo)面的平平面與曲線相相截，考察其其交線（即截截痕）的形狀狀，然后加以以綜合，從而而了解曲面的的全貌。同學(xué)學(xué)們可試用截截痕法考察下下面的二次曲曲面。橢球面方程所表示的曲面叫做做橢球面，。拋物面方程（p和q同號）所表示的曲曲面叫做拋物物面。雙曲拋物面方程（p和q同號）所表示的曲曲面叫做雙曲曲拋物面。雙曲面方程所表示的曲面叫做做單葉雙曲面面。方程所表示的曲面叫做做雙葉雙曲面面,。第七章：多元函數(shù)數(shù)微分7.1多元函數(shù)數(shù)的極限與連連續(xù)性7.1.1定義義設(shè)函數(shù)f(x,yy)在開區(qū)域（或或閉區(qū)域）D內(nèi)有定義，P0(x0,y0)是D的內(nèi)點或邊邊界點。如果果對于任意給給定的正數(shù)εε，總存在正正數(shù)δ，使得對于于適合不等式式的一切點P(x,,y)∈D,都有|f(x,,y)-A||<ε成立，則稱常數(shù)AA為函數(shù)f(x,yy)當(dāng)x→x0,y→y0時的極限，記記作或f(x,y)→→A(ρ→0),這里ρ=|PP0|。例設(shè)（x2+y2≠0），求證。因為，可見，對任何ε>>0，取，則當(dāng)時，總有成立，所以。我們必須注意，所所謂二重極限限存在，是指指P（x,y）以任何方方式趨于P0（x0,y0）時，函數(shù)數(shù)都無限接近近于A。定義設(shè)函數(shù)f((x,y)在開區(qū)域（或或閉區(qū)域）D內(nèi)有定義，P0(x0,y0)是D的內(nèi)點或邊邊界點且P0∈D。如果則稱函數(shù)f(x,,y)在點P0(x0,y0)連續(xù)。性質(zhì)性質(zhì)1（最大值和最小值值定理）在有界閉區(qū)區(qū)域D上的多元連連續(xù)函數(shù)，在在D上一定有最最小值和最大大值。性質(zhì)2（介值定理）在在有界閉區(qū)域域D上的多元連連續(xù)函數(shù)，如如果在D上取得兩個個不同的函數(shù)數(shù)值，則它在在D上取得介于于這兩個值之之間的任何值值至少一次。一切多元初等函數(shù)數(shù)在其定義區(qū)區(qū)域內(nèi)是連續(xù)續(xù)的。所謂定定義區(qū)域，是是指包含在定定義域內(nèi)的區(qū)區(qū)域或閉區(qū)域域。由多元初等函數(shù)的的連續(xù)性，如如果要求它在在點P0處的極限，而而該點又在此此函數(shù)的定義義區(qū)域內(nèi)，則則極限值就是是函數(shù)在該點點的函數(shù)值，即即。7.2偏導(dǎo)數(shù)的的定義及計算算法7.2.1定義義設(shè)函數(shù)z=f(xx,y)在點(x0,y0)的某一鄰域域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時，相應(yīng)的函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),如果存在，則稱此極限限為函數(shù)z=f(xx,y)在點(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記記作或fx（x0，yy0）。對于函數(shù)z=f((x,y)，求時，只要要把y暫時看作常常量而對y求導(dǎo)。例求z=x2sin22y的偏導(dǎo)數(shù)。解。7.2.2高階階偏導(dǎo)數(shù)定理如果函數(shù)zz=f（x,y）的兩個二二階混合偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那那末在該區(qū)域域內(nèi)這兩個二二階混合偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)必相等。7.3多元復(fù)合合函數(shù)求導(dǎo)法法則及實例定理如果函數(shù)uu=φ(t)及ψ（t）都在點t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(uu,v)在對應(yīng)點(u,v)具有連續(xù)偏偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)復(fù)合函數(shù)z=f[φ(t),ψ(t)]在點t可導(dǎo)，且其其導(dǎo)數(shù)可用下下列公式計算算：。例設(shè)z=eusinvv，而u=xxy，v=xx+y。求。解7.4隱函數(shù)的的求導(dǎo)公式7.4.1一個個方程的情形形隱函數(shù)存在定理11設(shè)函數(shù)F(x,yy)在點P(x0,y0)的某一鄰域域內(nèi)具有連續(xù)續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0，則方程F(x,y)=0在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x)，它滿足條件y0=f(x0)，并有。上面公式就是隱函函數(shù)的求導(dǎo)公公式。隱函數(shù)存在定理22設(shè)函數(shù)F(x,yy,z)在點P(x0,y0,z0)的某一鄰域域內(nèi)具有連續(xù)續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0，則方程F(x,y,z)=0在點(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)，它滿足條件z0=f(x0,y0)，并有。例設(shè)x2+y2+z2-44z=00，求，解設(shè)F（x,y,z）=x2+y2+z2-4z，則Fx=2x，F(xiàn)z=2zz-4。應(yīng)同上面公公式，得。再一次對x求偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)，得。二、方程組的情形形隱函數(shù)存在定理33設(shè)F（x,y,uu,v）、G（x,y,uu,v）在點P（x0,y0,u0,v0）的某一鄰鄰域內(nèi)具有對對各個變量的的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)數(shù)，又F（x0,y0,u0,v0）=0，G（x0,y0,u0,v0）=0，且偏導(dǎo)數(shù)數(shù)所組成的函函數(shù)行列式（或或稱雅可比（Jacobbi）式）：在點P（x0,y0,u0,vv0）不等于零零，則方程組組F（x,y,uu,v）=0，G（x,y,uu,v）=0在點（x0,y0,u0,v0）的某一鄰鄰域內(nèi)恒能唯唯一確定一組組單值連續(xù)且且具有連續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u=u（x,y），v=v（x,y），它們滿滿足條件u0=u（x0,y0），v0=v（x0,y0），并有。7.5微分法法在幾何上的的應(yīng)用7.5.1空間間曲線的切線線與法平面設(shè)空間曲線Г的參參數(shù)方稱為x=φ(t)，y=ψ((t)，z=ω(t)，這里假定上式的三三個函數(shù)都可可導(dǎo)。在曲線Г上取對應(yīng)應(yīng)于t=t0的一點M（x0，y0，z0）。根據(jù)解解析幾何，可可得曲線在點點M處的切線方方程為。切線的方向向量稱稱為曲線的切切向量。向量量T={φ'（t00），ψ'（t0），ω'（t0）}就是曲線Г在點MM處的一個切切向量。通過點而與切線垂垂直的平面稱稱為曲線Г在點M處的法平面面，它是通過過點M（x0，y0，z0）而以T為法向量的的平面，因此此這法平面的的方程為φ'（t0）（x-x0）+ψ''（t0）（y-y0）+ω'（t0）（z-z0）=0。7.5.2曲面面的切平面與與法線設(shè)曲面Σ由方程FF（x,y,z）=0給出，M（x0，y0，z0）是曲面Σ上的一點，并并設(shè)函數(shù)F（x,y,z）的偏導(dǎo)數(shù)數(shù)在該點連續(xù)續(xù)且不同時為為零。則根據(jù)據(jù)解析幾何，可可得曲面上通通過點M的一切曲線線在點M的切線都在在同一個平面面上。這個平平面稱為曲面面Σ在點M的切平面。這這切平面的方方程是Fx（x0，y0，z0）（x-x0）+Fyy（x0，y0，z0）（y-y0）+Fz（x0，y0，z0）（z-z0）=0通過點M（x0，y0，z0）而垂直于于切平面的直直線稱為曲面面在該點的法法線。法線方方程是x=3垂直于曲面上切平平面的向量稱稱為曲面的法法向量。向量量n={Fx（x0，y0，z0），F(xiàn)y（x0，y0，z0），F(xiàn)z（x0，y0，z0）}就是曲面Σ在點MM處的一個法法向量。7.6多元函數(shù)數(shù)極值的求法法7.6.1多元元函數(shù)的極值值二元函數(shù)的極值問問題，一般可可以利用偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)來解決。定理1（必要條件）設(shè)設(shè)函數(shù)z=ff(x,y))在點(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù)數(shù)，且在點(x0,y0)處有極值，則則它在該點的的偏導(dǎo)數(shù)必然然為零：fx(x0,y0)=00，fy(x0,y0)=0。定理2（充分條件）設(shè)設(shè)函數(shù)z=ff(x,y))在點(x0,y0)的某領(lǐng)域內(nèi)內(nèi)連續(xù)且有一一階及二階連連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令fxx(x0,y00)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C，則f(x,y)在((x0,y0)處是否取得得極值的條件件如下：（1）AC-B2>0時時具有極值，且且當(dāng)A<0時有極大值值，當(dāng)A>0時有極小值值；（2）AC-B2<0時時沒有極值；；（2）AC-B2=0時時可能有極值值，也可能沒沒有極值，還還需另作討論論。利用定理1、2，我我們把具有二二階連續(xù)偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=ff(x,y))的極值的求求法敘述如下下：第一步解方程組fx(x,y)=0，fy(x,y))=0，求得一切實數(shù)解，即即可求得一切切駐點。第二步對于每一一個駐點(x0,y0)，求出二階階偏導(dǎo)數(shù)的值值A(chǔ)、B和C。第三步定出ACC-B2的符號，按按定理2的結(jié)論判定f(x0,y0)是否是極值值、是極大值值還是極小值值。7.6.2條件件極值拉格朗日乘乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)z=ff(x,y))在附加條件件φ(x,y))=0下的可能極極值點，可以以先構(gòu)成輔助助函數(shù)F（x,y）=f((x,y)++λφ(x,y))，其中λ為某一常數(shù)數(shù)。求其對x與y的一階偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)，并使之之為零，然后后與方程φ(x,y))=0聯(lián)立起來：：有這方程組解出xx，y及λ，則其中x，y就是函數(shù)f(x,yy)在附加條件件φ(x,y))=0下的可能極極值點的坐標(biāo)標(biāo)。這方法還可以推廣廣到自變量多多于兩個而條條件多于一個個的情形。至于如何確定所求求得的點是否否極值點，在在實際問題中中往往可根據(jù)據(jù)問題本身的的性質(zhì)來判定定。第八章：重積分8.1二重積分分的概念與性性質(zhì)二重積分的概念為引出二重積分的的概念，我們們先來討論兩兩個實際問題題。設(shè)有一平面薄片占占有xOy>面上的閉區(qū)區(qū)域D>，它在點（x>，y>）處的面密密度為ρ（x>，y>），這里ρ（x>，y>）>0>且在D>上連續(xù)?，F(xiàn)現(xiàn)在要計算該該薄片的質(zhì)量量M>。>由于面密度ρ（xx>，y>）是變量，薄薄片的質(zhì)量不不能直接用密密度公式（MM=>ρS>）來計算。但但ρ（x>，y>）是連續(xù)的的，利用積分分的思想，把把薄片分成許許多小塊后，只只要小塊所占占的小閉區(qū)域域Dsi>的直徑很小小，這些小塊塊就可以近似似地看作均勻勻薄片。在DDsi>（這小閉區(qū)區(qū)域的面積也也記作Dsi>）上任取一一點（xi>，hi>），則ρ（xi>，hi>）Dsi>（i=11>，2>，…，n）可看作第i>個小塊的質(zhì)質(zhì)量的近似值值HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z1/t.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z1/t.htm"[插圖1]。通過求求和，再令n個小區(qū)域的的直徑中的最最大值（記作作λ）趨于零，取取和的極限，便便自然地得出出薄片的質(zhì)量量M>，即>。>再設(shè)有一立體，它它的底是xOOy>面上的閉區(qū)區(qū)域D>，它的側(cè)面面是以D>的邊界曲線線為準(zhǔn)線而母母線平行于zz>軸的柱面，它它的頂是曲面面z=ff>（x>，y>），這里f>（x>，y>）≥0>且在D>上連續(xù)。這這種立體叫做做曲頂柱體?，F(xiàn)現(xiàn)在要計算上上述曲頂柱體體的體積V>。>由于曲頂柱體的高高f>（x>，y>）是變量，它它的體積不能能直接用體積積公式來計算算。但仍可采采用上面的思思想方法，用用一組曲線網(wǎng)網(wǎng)把D>分成n個小閉區(qū)域域Ds1，Ds2>，…，Dsn>，在每個Dssi>上任取一點點（xi>，hi>），則f>（xi>，hi>）Dsi>（i=11>，2>，…，n）可看作以f>（xi>，hi>）為高而底底為Dsi>的平頂柱體體的體積HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z1/t.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z1/t.htm">[插圖>2]>。通過求和和，取極限，便便得出>。上面兩個問題所要要求的，都?xì)w歸結(jié)為同一形形式的和的極極限。在其他他學(xué)科中，由由許多物理量量和幾何量也也可歸結(jié)為這這一形式的和和的極限。因因此我們要一一般地研究這這種和的極限限，并抽象出出下述二重積積分的定義。>定義>設(shè)ff>（x>，y>）是有界閉閉區(qū)域D>上的有界函函數(shù)。將閉區(qū)區(qū)域D>任意分成n>個小閉區(qū)域域>Ds1，Ds22>，…，Dsn>，>其中Dsi>表示示第i>個小閉區(qū)域域，也表示它它的面積。在在每個Dsi>上任取一點點（xi>，hi>），作乘積f>（xi>，hi>）Dsi>（i=1,,2,>>…,n,>），并作和和。如果當(dāng)各小小閉區(qū)域的直直徑中的最大大值l趨于零時，這這和的極限總總存在，則稱稱此極限為函函數(shù)f>（x>，y>）在閉區(qū)域域D>上的二重積積分，記作，即即>。（*>）>其中f>（x>，y>）叫做被積函數(shù)，f>（x>，y>）ds>叫做被積表表達(dá)式，ds>叫做面積元元素，x>與y>叫做積分變變量，D>叫做積分區(qū)區(qū)域，叫做積積分和。>在二重積分的定義義中對閉區(qū)域域D>的劃分是任任意的，如果果在直角坐標(biāo)標(biāo)系中用平行行于坐標(biāo)軸的的直線網(wǎng)來劃劃分D>，那末除了了包含邊界點點的一些小閉閉區(qū)域外，其其余的小閉區(qū)區(qū)域都是矩形形閉區(qū)域。設(shè)設(shè)矩形閉區(qū)域域Dsi>的邊長為Dxj>和Dyk>，則Ds=Dxj>·Dyk>。因此在直直角坐標(biāo)系中中，有時也把把面積元素ds>記作dxdy>，而把二重重積分記作>>其中dxdy>叫做直直角坐標(biāo)系中中的面積元素素。>這里我們要指出，當(dāng)f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上連續(xù)時，（*>）式右端的和的極限必定存在，也就是說，函數(shù)f>（x>，y>）在D>上的二重積分必定存在。>8.1.2二重重積分的性質(zhì)質(zhì)二重積分與定積分分有類似的性性質(zhì)：>性質(zhì)1>被積函數(shù)的常數(shù)因因子可以提到到二重積分號號的外面，即即>>（k>為常數(shù)）。>性質(zhì)2>函數(shù)的和（或差）的的二重積分等等于各個函數(shù)數(shù)的二重積分分的和（或差差）。例如>。>性質(zhì)3>如果閉區(qū)域D>被被有限條曲線線分為有限個個部分閉區(qū)域域，則在D>上的二重積積分等于在各各部分閉區(qū)域域上的二重積積分的和。例例如D>分為兩個閉閉區(qū)域D1>與D2>，則>。此性質(zhì)表示二重積積分對于積分分區(qū)域具有可可加性。>性質(zhì)4>如果在D>上，ff>（x>，y>）=1>，s為D>的面積，則>。>此性質(zhì)的幾何意義義很明顯，因因為高為1>的平頂柱體體的體積在數(shù)數(shù)值上就等于于柱體的底面面積。>性質(zhì)5>如果在D>上，ff>（x>，y>）≤j>（x>，y>），則有不不等式>。特殊地，由于>-|f>（x>>，y>）|>≤f>（x>，y>）≤|f>（x>，y>）|>，>又有不等式。>性質(zhì)6>設(shè)M>，m>分別是f>（x>>，y>）在閉區(qū)域域D>上的最大值值和最小值，s是D>的面積，則有>。上述不等式是對二二重積分估值值的不等式。>性質(zhì)7>（二重積分的中值值定理）>設(shè)函數(shù)f>（x>，y>）在閉區(qū)域域D>上連續(xù)，s是D>的面積，則則在D>上至少存在在一點（x，h）使得下式式成立：>。8.2二重積分分的計算法（直直角坐標(biāo)，極極坐標(biāo)）按照二重積分的定定義來計算二二重積分，對對少數(shù)特別簡簡單的被積函函數(shù)和積分區(qū)區(qū)域來說是可可行的，但對對一般的函數(shù)數(shù)和積分區(qū)域域來說，這不不是一種切實實可行的方法法。這里介紹紹一種方法，把把二重積分化化為兩次單積積分（即兩次次定積分）來來計算。8.2.1利用用直角坐標(biāo)計計算二重積分分下面用幾何的觀點點來討論二重重積分的計算算問題。在討論中我們假定定f（x，y）≥0。并設(shè)積分分區(qū)域D可以用不等等式j(luò)1（x）≤y≤j2（x），a≤x≤b來表示HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t1.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t1.htm"[插圖1]]，其中函數(shù)數(shù)j1（x）、j2（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)。我們應(yīng)用“平行截截面面積為已已知的立體的的體積”的方法，來來計算這個曲曲頂柱體的體體積。為計算截面面積，在在區(qū)間[a，b]上任意取定定一點x0，作平行于于yOz面的平平面x=x0。這平面截截曲頂柱體所所得截面是一一個以區(qū)間[j1（x0），j2（x0）]為底、曲線z=f（x0，y）為曲邊的的曲邊梯形（HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t1.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t1.htm"[插圖2]中陰影部分），所以這截面的面積為。一般的，過區(qū)間[a，b]上任一點x且平行于yOOz面的平面面截曲頂柱體體所得截面的的面積為，于是，得曲頂柱體體的體積為。這個體積也就是所所求二重積分分的值，從而而有等式。（1）上式右端的積分叫叫做先對y、后對x的二次積分分。就是說，先先把x看作常數(shù)，把把f（x，y）只看作y的函數(shù)，并并對y計算從j1（x）到j(luò)2（x）的定積分分；然后把算算得的結(jié)果（是x的函數(shù)）再對x計算在區(qū)間[a，b]上的定積分。這個先對y、后對x的二次積分也常記作。因此，等式（1）也也寫成，（1’）在上述討論中，我我們假定f（x，y）≥0，但實際上上公式（1）的成立并并不受此條件件限制。類似地，如果積分分區(qū)域D可以用不等等式ψ1（y）≤x≤ψ2（yy），c≤y≤d來表示HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t1.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t1.htm"[插圖3]]，其中函數(shù)數(shù)ψ1（y）、ψ2（y）在區(qū)間[c，d]上連續(xù)，那那末就有。上式右端的積分叫叫做先對x、后對y的二次積分分，這個積分分也常記作。因此，等式（2）也也寫成，（2’）這就是把二重積分分化為先對x、后對y的二次積分分的公式。我們稱圖9-2--1所示的積分分區(qū)域為X-型區(qū)域，圖9-2-3所示的積分分區(qū)域為Y-型區(qū)域。對對不同的區(qū)域域，可以應(yīng)用用不同的公式式。如果積分分區(qū)域D既不是X-型的，也不不是Y-型的，我們們可以把D分成幾個部部分，使每個個部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域。如如果積分區(qū)域域D既是X-型的，又是Y-型的，則由由公式（1’）及（2’）就得。上式表明，這兩個個不同次序的的二次積分相相等，因為它它們都等于同同一個二重積積分。二重積分化為二次次積分時，確確定積分限是是一個關(guān)鍵。而而積分限是根根據(jù)積分區(qū)域域D的類型來確確定的。例1計算，其中D是由由直線y=1、x=2及y=x所圍成的閉閉區(qū)域。解法1首先畫出積分區(qū)域域DHYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t1.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t1.htm"[插圖4]。D是X-型的，D上的點的橫橫坐標(biāo)的變動動范圍是區(qū)間間[1，2]。在區(qū)間[1，2]上任意取定定一個x值，則D上以這個x值為橫坐標(biāo)標(biāo)的點在一段段直線上，這這段直線平行行于y軸，該線段段上點的縱坐坐標(biāo)從y=1變到y(tǒng)=x。利用公式式（1）得。解法2把積分區(qū)域D看成成是Y-型的。同學(xué)學(xué)們可作為練練習(xí)，驗證解解出的答案是是否與解法1的相一致。對于較復(fù)雜的積分分區(qū)域，在化化二重積分為為二次積分時時，為了計算算簡便，需要要選擇恰當(dāng)?shù)牡亩畏e分的的次序。這時時，既要考慮慮積分區(qū)域DD的形狀，又又要考慮被積積函數(shù)f（x，y）的特性。例2求量各底圓半徑都都等于R的直交圓柱柱面所圍成的的立體的體積積。解設(shè)這兩個圓柱面的的方程分別為為x2+y2=R2及x2+z2=R2利用立體關(guān)于坐標(biāo)標(biāo)平面的對稱稱性，只要算算出它在第一一卦限部分HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t1.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t1.htm"[[插圖5]的體積V1，然后再乘乘以8就行了。所求立體在第一卦卦限部分可以以看成是一個個曲頂柱體，它它的底為，如圖9-2-5（b）所所示。它的頂頂是柱面。于是，。利用公式（1）得得從而所求立體體積積為。8.2.2利用用極坐標(biāo)計算算二重積分有些二重積分，積積分區(qū)域D的邊界曲線線用極坐標(biāo)方方程來表示比比較方便，且且被積函數(shù)用用極坐標(biāo)變量量r，θ比較簡單。這這時，我們就就可以考慮利利用極坐標(biāo)來來計算二重積積分。按二重積分的定義義有，下面將推導(dǎo)出這個個和的極限在在極坐標(biāo)系中中的形式。假定從極點O出發(fā)發(fā)且穿過閉區(qū)區(qū)域D內(nèi)部的射線線與D的邊界曲線線相交不多于于兩點。我們們用以極點為為中心的一族族同心圓：r=常數(shù)，以及及從極點出發(fā)發(fā)的一族射線線：θ=常數(shù)，把D分成n個小閉區(qū)域域HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t2.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t2.htm"[插圖6]。除了包包含邊界點的的一些小閉區(qū)區(qū)域外，小閉閉區(qū)域的面積積Dsi可計算如下下：其中表示相鄰兩圓圓弧的半徑的的平均值。在在這小閉區(qū)域域內(nèi)取圓周上上的一點，該該點的直角坐坐標(biāo)設(shè)為xi，hi，則由直角角坐標(biāo)與極坐坐標(biāo)之間的關(guān)關(guān)系有。于是是，即。由于在直角坐標(biāo)系系中也常記作作，所以上式式又可寫成。（4）這就是二重積分的的變量從直角角坐標(biāo)變換為為極坐標(biāo)的變變換公式，其其中rdrdθ就是極坐標(biāo)標(biāo)系中的面積積元素。公式（4）表明，要要把二重積分分中的變量從從直角坐標(biāo)變變換為極坐標(biāo)標(biāo)，只要把被被積函數(shù)中的的x、y分別換成rcosθ、rsinθ，并把直角角坐標(biāo)系中的的面積元素dxdy換成極坐標(biāo)標(biāo)系中的面積積元素rdrdθ。極坐標(biāo)系中的二重重積分，同樣樣可以化為二二次積分來計計算。在HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t2.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t2.htm"[插圖7]，二重積積分化為二次次積分的公式式為。（5）上式也寫成。（5'）特別地，如果積分分區(qū)域D是HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t2.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t2.htm"[插圖8]所示的曲曲邊扇形，那那末相當(dāng)于圖圖9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。這時閉閉區(qū)域D可以用不等等式0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β來表示，而公式（5'）成為。如果積分區(qū)域D如如圖HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t2.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t2.htm"[插圖9]）所示，極極點在D的內(nèi)部，那那末相當(dāng)于圖圖9-2-8中α=0、β=2π。這時閉區(qū)區(qū)域D可以用不等等式0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π來表示，而公式（5'）成為。由二重積分的性質(zhì)質(zhì)4，閉區(qū)域D的面積s可以表示為為。在極坐標(biāo)系中，面面積元素ds=rddrdθ，上式成為為。如果閉區(qū)域D如圖圖9-2-7（a）所示，這這由公式（5'）有。特別地，如果閉區(qū)區(qū)域D如圖9-2-8所示，則φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是。例3計算，其中D是由由中心在原點點、半徑為a的圓周所圍圍成的閉區(qū)域域。解在極坐標(biāo)系中，閉閉區(qū)域D可表示為0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有例4求球體x2+y22+z2≤4a2圓柱面x2+y2=2ax（a>0）所截得的的（含在圓柱柱面內(nèi)的部分分）立體的體體積HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t2.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z2/t2.htm"[插圖10]。解由對稱性，，其中D為半圓周及及x軸所圍成的的閉區(qū)域。在在極坐標(biāo)系中中，閉區(qū)域DD可用不等式式0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2來表示。于是。8.3二重積分分的應(yīng)用實例例在二重積分的應(yīng)用用中，由許多多求總量的問問題可以用定定積分的元素素法來處理。如如果所要計算算的某個量對對于閉區(qū)域DD具有可加性性（就是說，當(dāng)當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小小閉區(qū)域時，所所求量U相應(yīng)地分成成許多部分量量，且U等于部分量量之和），并并且在閉區(qū)域域D內(nèi)任取一個個直徑很小的的閉區(qū)域dσ時，相應(yīng)的的部分量可近近似地表示為為f（x，y）dσ的形式，其其中（x，y）在dσ內(nèi)。這個f（x，y）dσ稱為所求量量U的元素而記記作dU，以它為被被積表達(dá)式，在在閉區(qū)域D上積分：，這就是所求量的積積分表達(dá)式。8.3.1曲面面的面積設(shè)曲面S由方程z=f（x，y）給出，D為曲面SS在xOy面上的投影影區(qū)域，函數(shù)數(shù)f（x，y）在D上具有連續(xù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx（x，y）和fy（x，y）。我們要要計算曲面SS的面積A。在閉區(qū)域D上任取取一直徑很小小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)區(qū)域的面積也也記作dσ）。在dσ上取一點P（x，y），對應(yīng)地地曲面S上有一點M（x，y，f（x，y）），點M在xOy面上的的投影即點PP。點M處曲面S的切平面設(shè)設(shè)為THYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z3/t.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z3/t.htm"[插圖1]。以小閉閉區(qū)域dσ的邊界為準(zhǔn)準(zhǔn)線作母線平平行于z軸的柱面，這這柱面在曲面面S上截下一小小片曲面，在在切平面T上截下一小小片平面。由由于dσ的直徑很小小，切平面TT上的那一小小片平面的面面積dA可以近似代代替相應(yīng)的那那一小片面積積的面積。設(shè)設(shè)點M處曲面S上的法線（指指向朝上）于于z軸所成的角角為γ，則。因為，所以。這就是曲面S的面面積元素，以以它為被積表表達(dá)式在閉區(qū)區(qū)域D上積分，得得。上式也可寫為。這就是計算曲面面面積的公式。設(shè)曲面的方程為xx=g（x，y）或y=h（z，x），可分別別把曲面投影影到xOy面上（投投影區(qū)域記作作Dyz）或zOx面上（投投影區(qū)域記作作Dzx），類似似地可得，或。例1求半徑為a的球的的表面積。解：取上半球面的的方程為，則則它在xOyy面上的投影影區(qū)域D可表示為x2+y2≤a2。由，得。因為這函數(shù)在閉區(qū)區(qū)域D上無界，我我們不能直接接應(yīng)用曲面面面積公式。所所以先取區(qū)域域D1：x2+y2≤b2（0<b<a）為積分區(qū)區(qū)域，算出相相應(yīng)于D1上的球面面面積A1后，令b→a取A1的極限，就就得半球面的的面積。，利用極坐標(biāo)，得于是。這就是半個球面的的面積，因此此整個球面的的面積為A=4πa2。8.3.2平面面薄片的重心心設(shè)有一平面薄片，占占有xOy面上的的閉區(qū)域D，在點（x，y）處的面密密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)。現(xiàn)現(xiàn)在要找該薄薄片的重心的的坐標(biāo)。在閉區(qū)域D上任取取一直徑很小小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)區(qū)域的面積也也記作dσ），（x，y）是這小閉閉區(qū)域上的一一個點。由于于dσ的直徑很小小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所所以薄片中相相應(yīng)于dσ的部分的質(zhì)質(zhì)量近似等于于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)質(zhì)量可近似看看作集中在點點（x，y）上，于是是可寫出靜矩矩元素dMy及dMx：dMy=xρ（x，y）dσ，dMx=yρ（x，y）dσ。以這些元素為被積積表達(dá)式，在在閉區(qū)域D上積分，便便得。又由第一節(jié)知道，薄薄片的質(zhì)量為為。所以，薄片的重心心的坐標(biāo)為。如果薄片是均勻的的，即面密度度為常量，則則上式中可把把ρ提到積分記記號外面并從從分子、分母母中約去，這這樣便得均勻勻薄片重心的的坐標(biāo)為（1）其中為閉區(qū)域D的的面積。這時時薄片的重心心完全由閉區(qū)區(qū)域D的形狀所決決定。我們把把均勻平面薄薄片的重心叫叫做這平面薄薄片所占的平平面圖形的形形心。因此，平平面圖形D的形心，就就可用公式（1）計算。例2求位于兩圓r==2sinnθ和r=44sinθ之間的均勻勻薄片的重心心HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z3/t.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z3/t.htm"[插圖2]解因為閉區(qū)域D對稱稱于y軸，所以重重心必位于y軸上，于是是。再按公式計算。由于閉區(qū)域域D位于半徑為1與半徑為2的兩圓之間間，所以它的的面積等于這這兩個圓的面面積之差，即即A=33π。再利用極極坐標(biāo)計算積積分：。因此，所求重心是C（00，7/3）。三、平面薄片的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動慣量設(shè)有一薄片，占有有xOy面上的的閉區(qū)域D，在點（x，y）處的面密密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)。現(xiàn)現(xiàn)在要求該薄薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣慣量Ix以及對于y軸的轉(zhuǎn)動慣慣量Iy。應(yīng)用元素法，在閉閉區(qū)域D上任取一直直徑很小的閉閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)區(qū)域的面積也也記作dσ），（x，y）是這小閉閉區(qū)域上的一一個點。由于于dσ的直徑很小小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所所以薄片中相相應(yīng)于dσ的部分的質(zhì)質(zhì)量近似等于于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)質(zhì)量可近似看看作集中在點點（x，y）上，于是是可寫出薄片片對于x軸以及對于于y軸的轉(zhuǎn)動慣慣量元素：dIx=y2ρ（xx，y）dσ,dIy=x2ρ（x，y）dσ。以這些元素為被積積表達(dá)式，在在閉區(qū)域D上積分，便便得。例3求半徑為a的均勻勻半圓薄片（面面密度為常量量ρ）對于其直直徑邊的轉(zhuǎn)動動慣量。解：取坐標(biāo)系如圖圖HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z3/t.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z3/t.htm"[插圖3]所示，則則薄片所占閉閉區(qū)域D可表示為x2+y2≤a2，yy≥0；而所求轉(zhuǎn)動慣量即即半圓薄片對對于x軸的轉(zhuǎn)動慣慣量Ix。其中為半圓薄片的的質(zhì)量。8.4利用柱面面坐標(biāo)和球面面坐標(biāo)計算三三重積分與二重積分的計算算類似，三重重積分有時也也要利用柱面面坐標(biāo)或球面面坐標(biāo)來進(jìn)行行計算。8.4.1利用用柱面坐標(biāo)計計算三重積分分設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點，并并設(shè)點M在xOy面上的的投影P的極坐標(biāo)為r，θ，則這樣的的三個數(shù)r，θ，z就叫做點M的柱面坐標(biāo)標(biāo)HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z4/t.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z4/t.htm"[插圖1]，這里規(guī)規(guī)定r、θ、z的變化范圍圍為：0≤r<+∞,,0≤θ≤2π,-∞<z<++∞。三組坐標(biāo)面分別為為r=常數(shù)，即即以z軸為軸的圓圓柱面；θ=常數(shù)，即過z軸的的半平面；z=常數(shù)，即即與xOy面平行的平平面。顯然，點M的直角角坐標(biāo)與柱面面坐標(biāo)的關(guān)系系為（1）現(xiàn)在要把三重積分分中的變量變變換為柱面坐坐標(biāo)。為此，用用三組坐標(biāo)面面r=常數(shù)，θ=常數(shù)，z=常數(shù)把Ω分成許多小小閉區(qū)域，除除了含Ω的邊界的一一些不規(guī)則小小閉區(qū)域外，這這種小閉區(qū)域域都是柱體。考考慮由r，θ，z各取得微小小增量dr，dθ，dz所成的柱體體的體積HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z4/t.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z4/t.htm"[插圖2]。柱體的的高為dz、底面積在在不計高階無無窮小時為rdrdθ（即極坐標(biāo)標(biāo)系中的面積積元素），于于是得dv=rddrdθdz，這就是柱面坐標(biāo)中中的體積元素素。再注意到到關(guān)系式（1），就有（2）其中F（r，θ，z）=f（rcosθ，rsinθ，z）。（2）式就是把把三重積分的的變量從直角角坐標(biāo)變換為為柱面坐標(biāo)的的公式。至于于變量變換為為柱面坐標(biāo)后后的三重積分分的計算，則則可化為三次次積分來進(jìn)行行?；癁槿未畏e分時，積積分限是根據(jù)據(jù)r，θ，z在積分區(qū)域域Ω中的變化范范圍來確定的的，下面通過過例子來說明明。例1利用柱面坐標(biāo)計算算三重積分，其其中Ω是由曲面z=xx2+y2與平面z=4所圍成的閉閉區(qū)域。解把閉區(qū)域Ω投影到到xOy面上，得得半徑為2的圓形閉區(qū)區(qū)域D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在D內(nèi)任取一點點（r，θ），過此點點作平行于z軸的直線，此此直線通過曲曲面z=xx2+y2穿入Ω內(nèi)，然后通通過平面z=4穿出Ω外。因此閉閉區(qū)域Ω可用不等式式r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π來表示。于是8.4.2利用用球面坐標(biāo)計計算三重積分分設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點，則則點M也可用這樣樣三個有次序序的數(shù)r，φ，θ來確定，其其中r為原點O與點M間的距離，φφ為有向線段段與z軸正向所夾夾的角，θ為從正z軸來看自x軸按逆時針針方向轉(zhuǎn)到有有向線段的角角，這里P為點M在xOy面上的的投影HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z4/t.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z4/t.htm"[插圖3]。這樣的的三個數(shù)r，φ，θ叫做點M的球面坐標(biāo)標(biāo)，這里r，φ，θ的變化范圍圍為0≤r<+∞,,0≤φ≤π,0≤θ≤2π.r=常數(shù)，即即以原點為心心的球面；φ=常數(shù)，即以原點為為頂點、z軸為軸的圓圓錐面；θ=常數(shù)，即過過z軸的半平面面。點M的直角坐標(biāo)與球面面坐標(biāo)的關(guān)系系為（3）為了把三重積分中中的變量從直直角坐標(biāo)變換換為球面坐標(biāo)標(biāo)，用三組坐坐標(biāo)面r=常數(shù)，φ=常數(shù)，θ=常數(shù)把積分分區(qū)域Ω分成許多小小閉區(qū)域。考考慮由r，φ，θ各取得微小小增量dr，dφ，dθ所成的六面面體的體積HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z4/t.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z4/t.htm"[[插圖4]。不計高高階無窮小，可可把這個六面面體看作長方方體，其經(jīng)線線方向的長為為rdφ，緯線方向向的寬為rsinnφdθ，向徑方向向的高為dr，于是得dv=r22sinφdrdφdθ，這就是球面坐標(biāo)系系中的體積元元素。再注意意到關(guān)系式（3），就有,（4）其中F（r，φ，θ）=f（rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ）。（4）式就是把把三重積分的的變量從直角角坐標(biāo)變換為為球面坐標(biāo)的的公式。要計算變量變換為為球面坐標(biāo)后后的三重積分分，可把它化化為對r對φ及對θ的三次積分分。若積分區(qū)域Ω的邊邊界曲面是一一個包圍原點點在內(nèi)的閉曲曲面，其球面面坐標(biāo)方程為為r=r（φ，θ），則。當(dāng)積分區(qū)域Ω為球球面r=a所圍成時，則則。特別地，當(dāng)F（rr，φ，θ）=1時，由上式式即得球的體體積，這是我們所熟知的的。例2求半徑為a的球面面與半頂角為為α的內(nèi)接錐面面所圍成的立立體HYPERLINK"/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z4/t.htm""/math/gaoshu_hotel/zsd/n9/z4/t.htm"[插圖5]的體積。解設(shè)球面通過原點OO，球心在z軸上，又內(nèi)內(nèi)接錐面的頂頂點在原點OO，其軸與z軸重合，則則球面方程為為r=22acosφφ，錐面方程程為φ=α。因為立體體所占有的空空間閉區(qū)域ΩΩ可用不等式式0≤r≤2acosφ,0≤φ≤α,0≤θ≤2π來表示，所以在三重積分的應(yīng)用用中也可采用用元素法。設(shè)物體占有空間閉閉區(qū)域Ω，在點（x，y，z）處的密度度為ρ（x，y，z），假定這這函數(shù)在Ω上連續(xù)，求求該物體的重重心的坐標(biāo)和和轉(zhuǎn)動慣量。與與第三節(jié)中關(guān)關(guān)于平面薄片片的這類問題題一樣，應(yīng)用用元素法可寫寫出等，其中為物體的的質(zhì)量。例3求均勻半球體的重重心。解取半球體的對稱軸軸為z軸，原點取取在球心上，又又設(shè)球半徑為為a，則半球體體所占空間閉閉區(qū)域Ω可用不等式式x2+y2+z2≤aa2，z≥0來表示。顯然，重心在z軸軸上，故。，其中為半球體的體體積。因此，，重心為。第九章：曲線積分分與曲面積分分9.1曲線積分分9.1.1第一一類曲線積分分公式：=應(yīng)用前提:1.曲線L光滑,方程可以寫成為::2.函數(shù)在L上有定義義，且連續(xù)。公式變形：若L為為平面曲線，L方程為，則公公式可以寫成成為：常用計算法：１．對于曲線L可可以寫成為參參數(shù)形式的，可可直接套用公公式．２．對于平面曲線線，可以用公公式的變形．．３．計算中，根據(jù)據(jù)圖形特點，直直接將ds化為dx,dy或dz．如：,其中：dds=P(xx,y,z))dx,xx4.當(dāng)Ｌ是簡單的折線線段時，可以以將Ｌ分為幾幾個連續(xù)線段段的和，然后后分別求積分分，再求和。（注注意：由于折折線段不連續(xù)續(xù)，所以這種種情況下不能能對Ｌ直接套套用公式，否否則，公式中中的將有無意意義的點．公式推導(dǎo)及證明推導(dǎo)的總體思想：：將曲線Ｌ先先分割，再求求和，最后取取極限。推導(dǎo)導(dǎo)過程中要用用到：中值定定理，弧長公公式及連續(xù)函函數(shù)的一些極極限性質(zhì)．分割：在Ｌ上插入入n個分割點，令令，（）；記d＝max（），為［［］上的弧長長，為［］上任意意一點．求和：利用積分定定義，由弧長公式：由中值定理：其中是由中值定理理確定的［］］上的一點，；于是：利用,,,的連續(xù)續(xù)性，有：于是：右端是黎曼積分和和數(shù)，利用黎黎曼積分定義義取極限：得公式：：9.1.2第二二類曲線積分分問題的來源：物理理上，力Ｆ作作用于物體上上，使之沿曲曲線ＡＢ由ＡＡ運動到Ｂ，求求力Ｆ所做的的功Ｗ．公式的推導(dǎo)分割：將ＡＢ曲線線分為小弧段段，，．．．，．．在每個小段段上將Ｆ視為為常力Ｆ．于于是上作功，（其其中，是線段與的夾角角）設(shè)，，是在x,y,z三軸正正方向的投影影．則：做和：9.1.3兩類類曲線積分的的聯(lián)系設(shè)曲線上以(t,,x),(tt,y),((t,z)表示正向切切線t與三正向坐坐標(biāo)系的夾角角.于是,,,據(jù)二類曲線計算公公式:;由一類曲線推導(dǎo)得得:由曲線方程對稱性性的公式如下下:對于平面時,公式式可化為:平面上,設(shè)n為法法方向,t為切向,則cos(tt,x)=ccos(n,,y),coos(t,yy)=-coos(n,xx)于是:9.2第一類曲曲面積分思想:與曲線積分類似,,只不過分割割的是平面.曲線積分中中一切線段代代替曲線段,這里以微小切平面面代替曲面.接下來是求求和,取極限.公式:其中z=f(x,y))為曲面方程.也可寫成