數值天氣預報期末考已結束-第三章-sun

第三章

正壓原始方程模式的基本原理

BarotropicPrimitiveEquationModel正壓原始方程模式引言：實際大尺度運動包含兩類過程：快過程和慢過程。

地轉適應過程：非地轉向地轉平衡的調整，即慣性重力波的能量頻散過程

地轉演變過程：地轉平衡的破壞的過程，即Rossby波演變。準地轉模式與原始方程模式的區(qū)別：準地轉模式：原始方程模式：

濾過快過程，不包含地轉適應過程，僅描述地轉演變過程，

其物理基礎是準地轉平衡性質。

（僅保留大氣長波，慮去了慣性重力波）可以描述地轉適應過程和演變過程，即包含大氣長波又包含慣性重力波。原始方程模式的優(yōu)點：物理性能比準地轉模式更接近實際過程。正壓原始方程模式實際過程帶來的問題i》為保證計算穩(wěn)定，

需很小，則增大了計算工作量ii》初始場中包含的誤差可激發(fā)虛假慣性重力波，則可能產生計算不穩(wěn)定iii》模式對邊界條件敏感，則有可能造成計算紊亂對數值模式求解的要求本章內容重點i》應盡可能準確的模擬適應和演變兩種過程ii》計算方法精度提高iii》模式描述重要物理規(guī)律方面應和連續(xù)大氣保持一致i》正壓原始方程的積分性質ii》保持這些性質的差分格式的構造§1正壓原始方程組一般方程組如何簡化為二維運動方程一般方程：絕熱、無摩擦運動，P坐標系方程組其中：(1)(2)(3)(4)(5)(6)§1正壓原始方程組基本假定：1》具有自由面的均勻不可壓流體

均勻：自由面：地表面：可以證明：水平氣壓梯度力不隨高度變化！因為：對靜力方程（3）式兩邊積分

對任一高度z：對任一等壓面p：(7)t§1正壓原始方程組2》如果起始時刻（t＝0）風速不隨高度變化，則永遠不隨高度變化當t＝0時，方程（1）、（2）兩邊對p求導。利用（7）式

得：且以后永遠保持該關系，u，v垂直方向均勻。在此二假定下：（1）、（2）可看作垂直方向平均方程§1正壓原始方程組連續(xù)方程（4）在垂直方向積分，利用邊界條件同時：利用利用：(8)(8)’代入(8)’

得：§1正壓原始方程組略去

“T”

與動量方程一起構成以下淺水方程組：（沒有地形：

）給定初值條件：和一定得邊界條件，方程組(9)~(11)可以求解。注：通常用這組方程來預報500hPa的形勢變化。(9)(10)(11)§2正壓原始方程組的波動性質均勻不可壓：無層結，慮去重力內波f效應：慣性波

效應：Rossby波

自由面：重力外波（＋f）慣性重力外波為簡單起見：令

（無地形）(12)(13)(14)§2正壓原始方程組的波動性質若令：

（常數）將任一量寫成基本量＋擾動量簡單起見，令擾動量

與y無關，略去

“

’

”

號若令：

（常數），則：(15)(16)(17)§2正壓原始方程組的波動性質設：代入(15)~(17)非零解條件：（慣性重力波）§2正壓原始方程組的波動性質若令：

，考慮

效應引入一個渦度方程(12)~(14)可變?yōu)椋海ㄓ休椛ossby波性質）擾動量：若令：§2正壓原始方程組的波動性質§2正壓原始方程組的波動性質當

很小時，低頻（相速很小，慢波）（重力影響的Rossby波）若令：§2正壓原始方程組的波動性質（無輻散Rossby波

）當

很大，高頻（重力慣性波）所以，頻散波

地轉適應物理機制§3正壓原始方程組的積分性質通量式的方程組令（z為流體自由面高度）(1)(2)(3)(3),(4),(5)構成了以

hu,hv,h

為變量的通量形式方程組§3正壓原始方程組的積分性質(4)(5)Gauss定理Gn為垂直于L的分量顯然:若Gn=0,則上式為零§3正壓原始方程組的積分性質全球大氣總質量守恒幾個重要積分性質:由(3)式(連續(xù)性方程)全球積分故上式表示全球大氣總質量守恒§3正壓原始方程組的積分性質平流過程中全球大氣動量守恒§3正壓原始方程組的積分性質能量約束i》沒有外力作用下，全球大氣總動能守恒單位面積空氣柱動能為：（z為自由面）動能方程：u*(1)+v*(2)得其中，§3正壓原始方程組的積分性質h*(6)+K*(3)若不考慮外力：單位面積空氣柱動能（此即為動能變化方程）動能、位能轉換項(6)§3正壓原始方程組的積分性質ii》全球大氣（或封閉的有限區(qū)域）總能量守恒單位面積空氣柱的位能定義如下：位能變化方程的推導：

乘以連續(xù)方程（3）§3正壓原始方程組的積分性質此即為位能變化方程動能、位能轉換項§3正壓原始方程組的積分性質將位能和動能變化方程相加

總能量變化方程因為

全球或有限區(qū)域靜能量通量為零，所以：即全球總能量守恒§3正壓原始方程組的積分性質4.全球大氣位渦擬能守恒位渦定義為：運動過程中，空氣柱的位渦守恒消去和動能定義類似，可定義位渦擬能：§3正壓原始方程組的積分性質即全球大氣位渦擬能守恒qh*位渦方程＋q*q/2*連續(xù)方程§3正壓原始方程組的積分性質5.渦度擬能守恒和不同尺度波之間的能量轉換總能量守恒：

限制總能量（有可能所有能量單向輸送）渦度擬能守恒：限制能譜

（對能量串級有約束）平流項Arakawa(1966)詳細地討論了無輻散渦度方程的積分關系，并指出渦度擬能守恒關系對于構造穩(wěn)定的差分格式比動能守恒更重要?？紤]無輻散正壓渦度方程，并重點考慮非線性項，略去地球自轉的作用?！?正壓原始方程組的積分性質i)全球大氣渦度守恒引入流函數：

渦度方程可改寫為：§3正壓原始方程組的積分性質ii)動能K守恒（無輻散假設）§3正壓原始方程組的積分性質iii)渦度擬能（

）守恒§3正壓原始方程組的積分性質渦度擬能守恒與能譜約束§3正壓原始方程組的積分性質渦度擬能守恒與能譜約束即：§3正壓原始方程組的積分性質渦度擬能守恒與能譜約束根據前面推導證明：

是守恒的，即

為按動能加權平均的波數，上述關系反映平均波數守恒故存在一

（波數），使得§3正壓原始方程組的積分性質渦度擬能守恒與能譜約束考慮三個單波：

渦度擬能守恒：動能守恒：

設

為任意兩時刻動能變化，則有：§3正壓原始方程組的積分性質渦度擬能守恒與能譜約束

上兩式系數均為正消去

得

消去

得

能量轉換的規(guī)律若只有兩個波，則（波能量不發(fā)生串級）有限差分模式中常發(fā)生虛假的長波向短波輸送能量，故渦度擬能守恒格式對此具有很好的抑制作用（Arakawa,1966）§4正壓原始方程計算穩(wěn)定性條件一維平流方程§4正壓原始方程計算穩(wěn)定性條件原始方程模式§4正壓原始方程計算穩(wěn)定性條件原始方程模式相當于以U+c為平流速度的平流方程§4正壓原始方程計算穩(wěn)定性條件原始方程模式線性計算穩(wěn)定性條件為：由于

c為重力波相速度，比

U大得多，故原始方程模式中，Δt需取得很小，才能保證計算穩(wěn)定若考慮

f效應，則

c更大，Δt需取得更小?！?正壓原始方程計算穩(wěn)定性條件上述線性計算穩(wěn)定性條件的推導證明：（時間和空間導數均用中央差分、顯式時間積分方案）Winninghoff(1968)發(fā)現(xiàn)：有限差分的原始方程模式描述地轉適應過程的準確程度與變量在網格點上的分布形式有很大關系。有怎樣關系？1）方程組：以一維線性化方程為例（zs=0,,）§5差分格式和地轉適應§5差分格式和地轉適應設波動解

，代入以上方程組，得頻散關系式令

，為Rossby變形半徑，則故：若

，則

隨

單調增加，為頻散波（

）§5差分格式和地轉適應2）變量分布形式Winninghoff(1968)u,v,zu,v,zu,v,zm+1m-1mA:xxm+1m-1mu,vu,vzzzB:xxm+1m-1mv,zv,zv,zuuC:xxm+1m-1mu,zu,zu,zvvD:§5差分格式和地轉適應3）離散化后的方程組及其波動性質u,v,zu,v,zu,v,zm+1m-1mA:設

代入上式得§5差分格式和地轉適應設

代入上式得xxm+1m-1mu,vu,vzzzB:§5差分格式和地轉適應設

代入上式得xxm+1m-1mv,zv,zv,zuuC:§5差分格式和地轉適應設

代入上式得xxm+1m-1mu,zu,zu,zvvD:§5差分格式和地轉適應綜上所述，對應于A，B，C，D變量分布形式的差分方程對應的頻散關系式為真解：B：C：D：A：兩個參數：

和A：當

=0.5時，

達極大值，cg=0；

=1.0時，=fB：當0時，在0<

1區(qū)域內，

與真解接近，單調增加C：當/d>0.5時，單調增加，與真解接近；

當/d<0.5時，遞減；當/d=0.5時，=fD：先是遞增，在

處達極大值，在

=1處，=0，駐波§5差分格式和地轉適應因為差分識別的最短波長為2d，所以最大波數即波數范圍為：

或

或即A~D的頻率只在上述范圍內有意義。故：對于一維問題，B網格對于描述地轉適應過程最好對于二維問題Arakawa跳點的C網格最好1.012031.0真解BCAD0.51§6守恒差分格式的構造1）守恒差分格式：保持連續(xù)大氣的某些重要積分關系的格式

（時間差分截斷誤差較小，故大多只討論空間差分格式）2）數值模式中的兩類重要格式i）能量守恒格式，正壓原始方程組滿足總能量（平均能量）守恒的

差分格式ii)化為渦度方程后，無輻散氣流對渦度的平流項滿足渦度擬能守恒§6守恒差分格式的構造1能量守恒格式

為討論方便，采用A-網格（變量分布），盡管C-網格描述地轉適應

過程最好。取zs=0，h=z

i)連續(xù)性方程的差分格式與質量守恒約束離散化后：設積分區(qū)域如下：i=0,1,2,……,I;j=0,1,2,……,J0iIJj

(1)§6守恒差分格式的構造將差分格式（1）在求解區(qū)域內點域內求和即：i=1,2,……,I-1;j=1,2,……,J-1上式各項為圖中虛線邊界的法向通量，如果離散區(qū)域是封閉的，或是全球大氣，則上式為零，即若半點的數值用整點的平均值代替，則（1）式變?yōu)椋海ㄙ|量守恒）(2)(3)§6守恒差分格式的構造ii)位能方程的差分格式與無外力作用時位能守恒約束構造以下位能方程的差分格式：用

乘以（3）式兩邊：左邊第一項：上式即位能方程的時間導數項的離散形式§6守恒差分格式的構造左邊第二部分：上式是位能方程以下項的差分格式：§6守恒差分格式的構造右邊第三部分：上式是位能方程以下項的差分格式：§6守恒差分格式的構造三部分相加得位能方程的差分格式為：(4)（4）式右邊第一個方括號對全球格點求和為零(令“-”項中的i為i+1，

j為j+1，與“+”項抵消)，因此(5)上式右邊為能量轉換項，無外力作用時此項為零，位能守恒§6守恒差分格式的構造iii)動量方程與平流過程中動量守恒約束構造以下動量方程的差分格式：平流過程中（不考慮氣壓梯度力和科氏力）動量守恒約束§6守恒差分格式的構造引入符號:§6守恒差分格式的構造構造動量方程的差分格式，以保證平流過程中全球大氣動量守恒（這里氣壓梯度力差分格式待定）(7)(6)§6守恒差分格式的構造差分方程（6）和（7）式的平流項中，令“-”項中的i為i+1，j為j+1，與“+”項抵消，故全球所有格點求和后，平流項為零，即格式保證了平流過程中全球大氣動量守恒(8)(9)§6守恒差分格式