第二節(jié) 拉氏變換公式

第二節(jié)拉氏變換設函數(shù)f(t)滿足：

1.f(t)實函數(shù)；

2.當t<0時，f(t)=0；

3.當t0時,f(t)在每個區(qū)間上是分段連續(xù)的

3.f(t)的積分在s的某一域內收斂，s為復變數(shù)一、拉氏變換的定義則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=σ+jω（σ，ω均為正實數(shù)）；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù);f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號。（2－9）拉氏反變換的定義其中L－1為拉氏反變換的符號。稱為收斂因子。

積分的結果不再是

t的函數(shù)，而是復變量s的函數(shù)。所以拉氏變換是把一個時間域的函數(shù)f(t)變換到

s域內的復變函數(shù)F(s)。

用符號L-1

[]表示對方括號里的復變函數(shù)作拉氏反變換。（2－10）（2－11）階躍函數(shù)的拉氏變換二、典型函數(shù)的拉氏變換（2－12）斜坡函數(shù)單位速度函數(shù)的拉氏變換（2－13）冪函數(shù)拉氏變換（法1）根據(jù)函數(shù)則令（2－14）冪函數(shù)的拉氏變換（法2）（2－15）拋物線函數(shù)單位加速度函數(shù)拉氏變換（2－16）洛必達法則單位脈沖函數(shù)拉氏變換（2－17）指數(shù)函數(shù)的拉氏變換（2－18）例2-1：求解函數(shù)的拉氏變換（歐拉公式）三角函數(shù)的拉氏變換（2－19）（2－20）例2-2：求解函數(shù)的拉氏變換高等函數(shù)初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)單位脈沖函數(shù)單位階躍函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)冪函數(shù)典型函數(shù)的拉氏變換小結例2-3：求解函數(shù)的拉氏變換三、拉氏變換的主要運算定理線性定理微分定理積分定理位移定理延時定理卷積定理初值定理終值定理比例定理線性定理疊加定理L[K(1-e-at)]=L[K]-L[Ke-at]結論： 由此可見，根據(jù)拉氏變換的線性性質，求函數(shù)乘以常數(shù)的象函數(shù)以及求幾個函數(shù)相加減的結果的象函數(shù)時，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進行計算。例2-4：求以下函數(shù)的拉氏變換：f(t)=K(1-e-at)微分定理原函數(shù)的高階導數(shù)

像函數(shù)中s的高次代數(shù)式多重微分（2－21）解：（1）例2-5：利用導數(shù)性質求以下函數(shù)的象函數(shù)：（1）f(t)=cos(ωt)（2）f(t)=δ(t)（2）由于δ(t)=dε(t)/dt=1f(t)=δ(t)=s-0積分定理原函數(shù)的n重積分像函數(shù)中除以sn多重積分（2－22）例2-6：利用積分性質求函數(shù)f(t)=t的象函數(shù)解：f(t)=tL[f(t)]=原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)e-at像函數(shù)F(S)在復數(shù)域中作位移a衰減定理（復位移定理）（2－23）例2-7：求的拉氏變換解：直接用復位移定理得：求的拉氏變換？原函數(shù)平移像函數(shù)乘以e-s

延時定理（實位移定理）（2－24）Otf(t)T例2-8：求f(t)的象函數(shù)解：f(t)==Aε(t)A-Aε(t-T)L[f(t)]=A/s-A/s·e-sTOtf’(t)Otf’’(t)f’(t)+f’’(t)例2-9：求圖所示三角波的拉氏變換從圖可知，三角波左邊函數(shù)斜率為，右邊函數(shù)斜率為，則分段函數(shù)可表示為：原函數(shù)f(t)的穩(wěn)態(tài)性質

sF(s)在s=0鄰域內的性質終值定理（2－25）初值定理（2－26）卷積定理（2－27）證：令則再令則尺度變換定理（2－28）復數(shù)域積分定理證：（2－29）例2-10：求如下函數(shù)的拉氏變換證：復數(shù)域微分定理推論：（2－30）例2-11：求如下函數(shù)的拉氏變換例2-12：已知因果函數(shù)f(t)的象函數(shù)求的象函數(shù)解：由于利用實位移定理由尺度變換定理由復位移定理練習練習2-1：求如下函數(shù)的拉氏變換練習2-2：求如下函數(shù)的拉氏變換練習2-3：求如下函數(shù)的拉氏變換練習2-4：求如下函數(shù)的拉氏變換練習2-5：求如下函數(shù)的拉氏變換練習2-6：求如下函數(shù)的拉氏變換練習2-7：求如下函數(shù)的拉氏變換練習2-8：求如下函數(shù)的拉氏變換練習2-9：求如下函數(shù)的拉氏變換練習2-1：求如下函數(shù)的拉氏變換練習2-2：求如下函數(shù)的拉氏變換練習2-3：求如下函數(shù)