第五章 三次樣條插值Spline

三次樣條插值（先由函數(shù)值確定導(dǎo)數(shù)值，再由分段Hermite插值解決問題）高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象代數(shù)插值Hermite插值分段插值在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑分段Hermite插值導(dǎo)數(shù)值不容易得到如：汽車、船的外形設(shè)計(jì)，流體力學(xué)等要求流線型（光滑）

木樣條的來源

背景應(yīng)用最為廣泛§3三次樣條插值

/*CubicSplineInterpolation*/

樣條是繪圖員用于描繪光滑曲線的由一些易彎曲材料制成的窄條。在繪制需要通過某點(diǎn)的光滑曲線時(shí),對它在這些點(diǎn)的位置上“壓鐵”,它就被強(qiáng)制通過或接近圖表上確定的描繪點(diǎn)?！皹訔l函數(shù)”意在點(diǎn)出這種函數(shù)的圖像與機(jī)械樣條畫出的曲線很像。定義設(shè)。三次樣條函數(shù),且在每個(gè)上為三次多項(xiàng)式

/*cubicpolynomial*/。若它同時(shí)還滿足，則稱S(x)為f(x)在結(jié)點(diǎn)xi

(i=0,1,…,n)上的三次樣條插值函數(shù).注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；而Hermite插值依賴于f在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。f(x)H(x)S(x)三次樣條插值問題CubicSpline

三次樣條插值函數(shù)是分段三次多項(xiàng)式，在每個(gè)小區(qū)間上可以寫成共有

4n

個(gè)待定參數(shù)。S(x)在[a,b]上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，故在內(nèi)結(jié)點(diǎn)處應(yīng)滿足連續(xù)性條件共有

3(n-1)

個(gè)條件。再加上

n+1

個(gè)插值條件，共有4n-2個(gè)條件。如何計(jì)算？誤差估計(jì)？三次樣條插值函數(shù)

S(x)是否存在唯一?CubicSpline因此，還需要2個(gè)條件才能確定S(x)。通常在區(qū)間端點(diǎn)

a=x0和

b=xn

上各加一個(gè)條件（稱為邊界條件），可根據(jù)實(shí)際問題的要求給定。（2）已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即（II類）

（1）已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)值，即（I類）此時(shí)，對函數(shù)值有周期條件其特殊情況為（自由邊界）

（3）周期邊界條件（III類）常用邊界條件/*boundaryconditions*/對應(yīng)的樣條函數(shù)稱為自然樣條

/*NaturalSpline*/.CubicSpline由邊界條件唯一確定。定理三次樣條插值問題的解存在且唯一。CubicSpline

三彎矩法/*methodofbendingmoment*/

三次樣條插值函數(shù)

S(x)

可以有多種表達(dá)式，有時(shí)用二階導(dǎo)數(shù)值表示時(shí)，使用更方便。Mi在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在

xi處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個(gè)彎矩有關(guān)，故稱用

Mi表示

S(x)的算法稱為三彎矩法。對S(x)積分兩次得其中hi=xi

–xi-1

.

由于S(x)在區(qū)間上是3次多項(xiàng)式,故

S

(x)在上是1次多項(xiàng)式,可表示為CubicSplineLagrange插值這是三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式,當(dāng)求出Mi

后,

S(x)就完全確定.定出積分常數(shù),可以得到利用插值條件為了求

Mi

,需要利用S(x)在內(nèi)結(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件,由上式可得CubicSpline由式(3.2)有CubicSpline由S(x)

在內(nèi)結(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即

這里有

個(gè)未知數(shù)，個(gè)方程，n1n+1還需增加2個(gè)方程。對于I類邊界條件，CubicSpline可得關(guān)于參數(shù)

Mi的方程組，即三彎矩方程的形式為其中即得關(guān)于Mi

(i=0,1,…,n)的

n+1元線性方程組其系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對角占優(yōu),故有唯一解.可用追趕法求解.CubicSpline對于II類邊界條件，利用(3.2)式，類似

在實(shí)際應(yīng)用中，如果不需要規(guī)定內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，那么使用三次樣條插值函數(shù)會(huì)得到很好的效果。三次樣條插值函數(shù)

S(x)不僅在內(nèi)節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，而且

S(x)逼近

f(x)具有很好的收斂性，也是數(shù)值穩(wěn)定的。由于誤差估計(jì)與收斂性定理的證明比較復(fù)雜，下面只給出誤差估計(jì)的結(jié)論。三次樣條插值函數(shù)的誤差估計(jì)三次樣條插值函數(shù)S(x)有估計(jì)式定理5.5設(shè)函數(shù)記則滿足I類或II類邊界條件的其中CubicSpline定理CubicSpline注：提高精度只須增加節(jié)點(diǎn)，而無須提高樣條階數(shù)。穩(wěn)定性：只要方程組系數(shù)矩陣為SDD陣，保證數(shù)值穩(wěn)定。另有三轉(zhuǎn)角法得到樣條函數(shù)，即設(shè)S(xi)=mi，則易知[xi,

xi+1

]上的S(x)就是Hermite函數(shù).再利用S(x)的連續(xù)性，可導(dǎo)出關(guān)于mi的方程組，加上邊界條件即可解。

在實(shí)際應(yīng)用中，不僅常用S(x)

[(3.1)式]計(jì)算

f(x)的近似值，而且常用S(x)[(3.2)式]近似計(jì)算f(x).

SketchoftheAlgorithm:CubicSpline①計(jì)算αi,γi,βi;

②計(jì)算Mi(追趕法等);③找到x所在區(qū)間(即找到相應(yīng)的i);④由該區(qū)間上的S(x)算出f(x)的近似值。解：用三彎矩方程（II類邊界條件）

0123161-336-78計(jì)算得CubicSpline得方程組解得將此解代入式(3.1)即得CubicSplineHW:習(xí)題#26插值法小結(jié)LagrangeLn(x):給出y0…

yn，選基函數(shù)li(x)，其次數(shù)為節(jié)點(diǎn)數(shù)–1.NewtonLn(x)，只是形式不同；漸增節(jié)點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)等距時(shí)方便處理.Hermite：需給出yi及yi.Spline：分段低次,自身光滑,f的導(dǎo)數(shù)只在邊界給出.

yi=interp1(x,Y,xi,method)：用指定的算法計(jì)算插值；

’linear’：線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算；’pchip’：分段三次Hermite插值。對于該方法，命令interp1調(diào)用函數(shù)pchip，用于對向量x與y執(zhí)行分段三次內(nèi)插值。該方法保留單調(diào)性與數(shù)據(jù)的外形；

’cubic’：與’pchip’操作相同；

’spline’：三次樣條函數(shù)插值。對于該方法，命令interp1調(diào)用函數(shù)spline、ppval、mkpp、umkpp。這些命令生成一系列用于分段多項(xiàng)式操作的函數(shù)。命令spline用它們執(zhí)行三次樣條函數(shù)插值；注意它默認(rèn)使用的是‘not-a-knot’邊界條件，也就是第一個(gè)點(diǎn)的三次導(dǎo)數(shù)和第二點(diǎn)的三次導(dǎo)數(shù)一樣；最后一個(gè)點(diǎn)的三次導(dǎo)數(shù)和倒數(shù)第一個(gè)點(diǎn)一樣。pp=csape(x,y,conds)：計(jì)算在各種邊界條件下的三次樣條插值。>>

helpcsapeMatlab常用插值函數(shù)例:x=-3:3;y=[-1-1-10111];t=-3:.01:3;plot(x,y,'o',t,[pchip(x