高中數(shù)學高考一輪復習一輪復習 第二節(jié) 排列與組合

課時作業(yè)(五十六)排列與組合一、單項選擇題1．從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動，則男女生都有的選法種數(shù)是()A．18B．24C．30D．36C[選出的3人中有2名男同學1名女同學的選法有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝18(種)，選出的3人中有1名男同學2名女同學的選法有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝12(種)，故3名學生中男女生都有的選法有18＋12＝30(種).故選C項．]2．高三要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求2個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是()A．1800B．3600C．4320 D．5040B[先排除舞蹈節(jié)目以外的5個節(jié)目，共Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))種，再把2個舞蹈節(jié)目插在6個空位中，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))種，所以共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝3600(種).]3．(2023·大同調(diào)研)從6名大學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人，組成4人知識競賽代表隊，則不同的選法共有()A．15種B．180種C．360種D．90種B[第一步，從6名大學生中選出2人，1人當隊長，另1人當副隊長，不同的選法有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝30(種)；第二步，從余下的4名大學生中再選出2人，作為普通隊員，不同的選法有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6(種).由分步乘法計數(shù)原理可得不同的選法共有30×6＝180(種)，故選B.]4．為抗擊新冠病毒，社會各界積極捐贈醫(yī)療物資，愛心人士向某市捐贈了6箱相同規(guī)格的醫(yī)用外科口罩，現(xiàn)需將這6箱口罩分配給4家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少1箱，則不同的分法共有()A．10種B．40種C．80種D．120種A[根據(jù)題意，將6箱相同規(guī)格的醫(yī)用外科口罩分成四份，每一份依次對應一家醫(yī)院即可．將6箱相同規(guī)格的醫(yī)用外科口罩排成一排，其中間有5個空位，在5個空位中任選3個，插入擋板，則可將其分為四份，則有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10種分組方法，故選A．]5．(2023·惠州一調(diào))7人并排站成一行，如果甲、乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是()A．3600B．1440C．4820 D．4800A[分兩步：第一步，先安排甲、乙以外的5人，不同的排法有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝120(種)；第二步，在6個空中任選2個空排甲、乙，不同的排法有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝30(種).由分步乘法計數(shù)原理得，滿足條件的不同排法有120×30＝3600(種).故選A．]6．若無重復數(shù)字的三位數(shù)滿足條件：①個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)，②所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)是()A．540B．480C．360D．200D[由“個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)”知個位數(shù)字、十位數(shù)字為1奇1偶，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝50(種)排法；由“所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)”知百位數(shù)字是奇數(shù)，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝4(種)排法．故滿足題意的三位數(shù)共有50×4＝200(個).故選D.]7．《紅海行動》是一部現(xiàn)代化海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務的故事，撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務，并對任務的順序提出了如下要求：重點任務A必須排在前三位，且任務E，F(xiàn)必須排在一起，則這六項任務的不同安排方案共有()A．240種B．188種C．156種D．120種D[當任務E，F(xiàn)排在前三位時，有(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝24(種)安排方案，當任務E，F(xiàn)排在后三位時，有(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝72(種)安排方案，當任務E，F(xiàn)排在第三，四位時，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝24(種)安排方案，故共有120種安排方案．故選D項．8．2023年春節(jié)聯(lián)歡晚會以“共圓小康夢、歡樂過大年”為主題，突出時代性、人民性、創(chuàng)新性，節(jié)目內(nèi)容豐富多彩，呈現(xiàn)形式新穎多樣．某小區(qū)的5個家庭買了8張連號的門票，其中甲家庭需要3張連號的門票，乙家庭需要2張連號的門票，剩余的3張隨機分到剩余的3個家庭即可，則這8張門票不同的分配方法的種數(shù)為()A．48B．72C．120D．240C[若甲、乙2個家庭的5張票連號，則有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝48種不同的分配方法．若甲、乙2個家庭的5張票不連號，則有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝72種不同的分配方法．綜上，這8張門票共有48＋72＝120種不同的分配方法．]二、多項選擇題9．已知Ceq\o\al(\s\up1(x＋2),\s\do1(12))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－5),\s\do1(12))，則x可能取值為()A．4B．5C．6D．7BD[∵Ceq\o\al(\s\up1(x＋2),\s\do1(12))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－5),\s\do1(12))根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得x＋2＝2x－5或x＋2＋2x－5＝12，解得x＝7或x＝5.故選BD.]10．(多選)為響應政府部門疫情防控號召，某紅十字會安排甲乙丙丁4名志愿者分別奔赴A，B，C三地參加防控工作，下列選項正確的是()A．若恰有一地無人去，則共有42種不同的安排方法B．共有64種不同的安排方法C．若甲乙兩人不能去A地，且每地均有人去，則共有44種不同的安排方法D．若該紅十字會又計劃為這三地捐贈20輛救護車(救護車相同)，且每地至少安排一輛，則共有171種不同的安排方法AD[根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，若恰有一地無人去，需要先在3地中選出2個地方，將4人安排到這兩個地方，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))(24－2)＝42種選取方法，A正確；對于B，安排甲乙丙丁4名志愿者分別奔赴A，B，C三地參加防控工作，每人有3種安排方法，則有3×3×3×3＝81種安排方法，B錯誤；對于C，根據(jù)題意，需要將4人分為3組，若甲乙在同一組，有1種分組方法，則甲乙所在的組不能去A地，有2種情況，剩余2組安排到其余2地，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2種情況，此時有2×2＝4種安排方法；若甲乙不在同一組，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－1＝5種分組方法，若甲乙兩人不能去A地，只能安排沒有甲乙的1組去A地，甲乙所在的兩組安排到B、C兩地，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2種情況，此時有5×2＝10種安排方法；則一共有4＋10＝14種安排方法，C錯誤；對于D，只需要將20輛救護車排成一排，在19個空位中插入檔板，就可以將20輛救護車分為3組，依次對應A，B，C三地即可，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(19))＝171種安排方法；故選AD.]11．某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的是()A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))B．若物理和化學至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))C．若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))D．若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))ABD[對于A項，若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))，錯誤；對于B項，若物理和化學選一門，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))種方法，其余兩門從剩余的5門中選，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))種選法；若物理和化學選兩門，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))種選法，剩下一門從剩余的5門中選，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))種選法，所以總數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))，錯誤；對于C項，若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))(種)，正確；對于D項，有3種情況：①只選物理且物理和歷史不同時選，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種選法；②選化學，不選物理，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))種選法；③物理與化學都選，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))種選法，故總數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝6＋10＋4＝20(種)，錯誤．故選ABD項．]12．在某班進行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排在第一個，為求出場順序的排法種數(shù)，下列列式正確的為()A．Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) B．Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))C．Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))－Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) D．Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))－Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))－Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))ABD[若第一個出場的是男生，則第二個出場的是女生，以后的順序任意排，方法有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種；若第一個出場的是女生(不是女生甲)，則將剩余的2位女生排列好，2位男生插空，方法有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))種．∴滿足條件的出場順序有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))種，故A正確；先排3位女生，3位女生之間有4個空，從4個空中選2個排男生，共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種，若女生甲排在第一個，則3位女生之間有3個空，從3個空中選2個排男生，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))種，∴滿足條件的出場順序有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))種，故B正確；5位選手全排列的方法數(shù)Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))減去2位男生連續(xù)出場的方法數(shù)Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))，再減去女生甲排在第一個的方法數(shù)Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)).∵多減去了2位男生既連續(xù)出場，女生甲又排在第一個的方法數(shù)Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))，∴滿足條件的出場順序有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))－Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))－Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種，故D正確．故選ABD.]三、填空題13．(2023·全國卷Ⅱ)4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有________種．解析：此題分兩步完成：第一步，將4名同學分成3組，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種分法；第二步，將所分3組進行排列，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種排法．所以不同的安排方法共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝36種．答案：3614．我國第一艘航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架“殲-15”艦載機準備著艦，已知乙機不能最先著艦，丙機必須在甲機之前著艦(不一定相鄰)，那么不同的著艦方法種數(shù)為________．解析：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①丙機最先著艦，此時只需將剩下的4架艦載機全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24(種)情況，即此時有24種不同的著艦方法；②丙機不是最先著艦，此時需要在除甲、乙、丙之外的2架艦載機中任選1架作為最先著艦的艦載機，將剩下的4架艦載機全排列，丙機在甲機之前和丙機在甲機之后的數(shù)目相同，因此有eq\f(1,2)Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24(種)情況，即此時有24種不同的著艦方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有24＋24＝48(種)不同的著艦方法．答案：4815．在新高考改革中，學生可從物理、歷史，化學、生物、政治、地理、技術7科中任選3科參加高考，則學生有________種選法．