初中數(shù)學滬科版八年級下冊第18章勾股定理 全市獲獎

專訓1.巧用勾股定理求最短路徑的長名師點金：求最短距離的問題，第一種是通過計算比較解最短問題；第二種是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換(平移或軸對稱)進行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉化為兩點間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)．用計算法求平面中最短問題1．如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人從A走到B，為了避免拐角C走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路(假設2步為1m)，卻踩傷了花草．(第1題)2．小明聽說“武黃城際列車”已經開通，便設計了如下問題：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，現(xiàn)在可以在黃石A坐“武黃城際列車”到武漢青山站C，再從青山站C坐市內公共汽車到武昌客運站B.設AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.請你幫助小明解決以下問題：(1)求A，C之間的距離．(參考數(shù)據(jù)eq\r(21)≈(2)若客車的平均速度是60km/h，市內的公共汽車的平均速度為40km/h，“武黃城際列車”的平均速度為180km/h，為了在最短時間內到達武昌客運站，小明應選擇哪種乘車方案？請說明理由．(不計候車時間)(第2題)用平移法求平面中最短問題3．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別是50cm，30cm，10cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只壁虎，它想到B點去吃可口的食物，請你想一想，這只壁虎從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，至少需爬()A．13cmB．40cmC．130cmD．169cm(第3題)(第4題)4．如圖，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，則AF的長是________．用對稱法求平面中最短問題5．如圖，在正方形ABCD中，AB邊上有一點E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一點P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短長度．(第5題)6．高速公路的同一側有A、B兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km.要在高速公路上A′、B′之間建一個出口P，使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小．求這個最短距離．(第6題)用展開法求立體圖形中最短問題類型1圓柱中的最短問題(第7題)7．如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為eq\f(2,π)，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑．若一只小蟲從A點出發(fā)，沿圓柱側面爬行到C點，則小蟲爬行的最短路線的長度是________(結果保留根號)．類型2圓錐中的最短問題8．已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題：(1)此圖形的名稱為________．(2)請你與同伴一起做一個這樣的物體，并把它沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側面展開圖是一個________．(3)如果點C是SA的中點，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長為10，側面展開圖的圓心角為90°，請你求出蝸牛爬行的最短路程．(第8題)類型3正方體中的最短問題9．如圖，一個正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．(1)請你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；(2)當正方體木柜的棱長為4時，求螞蟻爬過的最短路徑的長．(第9題)類型4長方體中的最短問題10．如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點C處有一滴蜜糖，一只小蟲從E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲爬行的最短路程．(第10題)專訓2.巧用勾股定理解折疊問題名師點金：折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個圖形繞著折線翻折能夠完全重合，解答折疊問題就是巧用軸對稱及全等的性質解答折疊中的變化規(guī)律．利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟：(1)運用折疊圖形的性質找出相等的線段或角；(2)在圖形中找到一個直角三角形，然后設圖形中某一線段的長為x，將此直角三角形的三邊長用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)進行相關計算解決問題．巧用全等法求折疊中線段的長1．(中考·泰安)如圖①是一直角三角形紙片，∠A＝30°，BC＝4cm，將其折疊，使點C落在斜邊上的點C′處，折痕為BD，如圖②，再將圖②沿DE折疊，使點A落在DC′的延長線上的點A′處，如圖③，則折痕DE的長為()(第1題)\f(8,3)cmB．2eq\r(3)cmC．2eq\r(2)cmD．3cm巧用對稱法求折疊中圖形的面積2．如圖所示，將長方形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在點C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．(第2題)巧用方程思想求折疊中線段的長3．(中考·東莞)如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交BC于點G，連接AG.(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長．(第3題)巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關系4．如圖，將長方形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E，交BC于點F，連接CE.(1)求證：AE＝AF＝CE＝CF；(2)設AE＝a，ED＝b，DC＝c，請寫出一個a，b，c三者之間的數(shù)量關系式．(第4題)專訓3.利用勾股定理解題的6種常見題型名師點金：勾股定理建立起了“數(shù)”與“形”的完美結合，應用勾股定理可以解與直角三角形有關的計算問題，證明含有平方關系的幾何問題，作長為eq\r(n)(n為正整數(shù))的線段，解決實際應用問題及專訓一、專訓二中的最短問題、折疊問題等，在解決過程中往往利用勾股定理列方程(組)，有時需要通過作輔助線來構造直角三角形，化斜為直來解決問題．利用勾股定理求線段長1．如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，點D為AC邊的中點，過D點作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，F(xiàn)C＝3，求EF的長．(第1題)利用勾股定理作長為eq\r(n)的線段2．已知線段a，作長為eq\r(13)a的線段時，只要分別以長為和的線段為直角邊作直角三角形，則這個直角三角形的斜邊長就為eq\r(13)a.利用勾股定理證明線段相等3．如圖，在四邊形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求證：AB＝BC.(第3題)利用勾股定理解非直角三角形問題4．如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的長．(第4題)利用勾股定理解實際生活中的應用5．在某段限速公路BC上(公路視為直線)，交通管理部門規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過60km/heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(50,3)m/s))，并在離該公路100m處設置了一個監(jiān)測點A.在如圖的平面直角坐標系中，點A位于y軸上，測速路段BC在x軸上，點B在點A的北偏西60°方向上，點C在點A的北偏東45°方向上．另外一條公路在y軸上，AO為其中的一段．(1)求點B和點C的坐標；(2)一輛汽車從點B勻速行駛到點C所用的時間是15s，通過計算，判斷該汽車在這段限速路上是否超速．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈(第5題)利用勾股定理探究動點問題6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒．(1)求BC邊的長；(2)當△ABP為直角三角形時，借助圖①求t的值；(3)當△ABP為等腰三角形時，借助圖②求t的值．(第6題)答案eq\a\vs4\al(專訓1)1．4(第2題)2．解：(1)如圖，過點C作AB的垂線，交AB的延長線于點E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.在Rt△CBE中，∵BC＝20km，∴BE＝10km.由勾股定理可得CE＝10eq\r(3)km.在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝8100＋300＝8400，∴AC＝20eq\r(21)≈20×＝92(km)．(2)選擇乘“武黃城際列車”．理由如下：乘客車需時間t1＝eq\f(80,60)＝1eq\f(1,3)(h)，乘“武黃城際列車”需時間t2≈eq\f(92,180)＋eq\f(20,40)＝1eq\f(1,90)(h)．∵1eq\f(1,3)>1eq\f(1,90)，∴選擇乘“武黃城際列車”．3．C點撥：將臺階面展開，連接AB，如圖，線段AB即為壁虎所爬的最短路線．因為BC＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC＝50cm，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16900，所以AB＝130cm.所以壁虎至少爬行130cm.(第3題)(第5題)4．105．解：如圖，連接BD交AC于O，連接ED與AC交于點P，連接BP.易知BD⊥AC，且BO＝OD，∴BP＝PD，則BP＋EP＝ED，此時最短．∵AE＝3，AD＝1＋3＝4，由勾股定理得ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52，∴ED＝BP＋EP＝5.6．解：作點B關于MN的對稱點C，連接AC交MN于點P，則點P即為所建的出口．此時A、B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最小，最短距離為AC的長．作AD⊥BB′于點D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8km，DC＝6km.∴AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝10km，∴這個最短距離為10km.(第6題)(第7題)7．2eq\r(2)點撥：將圓柱體的側面沿AD剪開并鋪平得長方形AA′D′D，連接AC，如圖．線段AC就是小蟲爬行的最短路線．根據(jù)題意得AB＝eq\f(2,π)×2π×eq\f(1,2)＝2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8，∴AC＝eq\r(8)＝2eq\r(2).8．解：(1)圓錐(2)扇形(3)把此立體圖形的側面展開，如圖所示，AC為蝸牛爬行的最短路線．(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC＝eq\r(125)＝5eq\r(5).故蝸牛爬行的最短路程為5eq\r(5).(第8題)(第9題)9．解：(1)螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的AC′1和AC1.(2)如圖，AC′1＝eq\r(42＋（4＋4）2)＝4eq\r(5).AC1＝eq\r(（4＋4）2＋42)＝4eq\r(5).所以螞蟻爬過的最短路徑的長是4eq\r(5).10．解：分為三種情況：(1)如圖①，連接EC，在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝eq\f(1,2)×30＝15(cm)．(第10題)由勾股定理，得EC＝eq\r(202＋152)＝25(cm)．(2)如圖②，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求CE＝eq\r(673)cm>25cm.(3)如圖③，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求CE＝eq\r(122＋（30＋8＋15）2)＝eq\r(2953)(cm)>25cm.綜上可知，小蟲爬行的最短路程是25cm.eq\a\vs4\al(專訓2)1．A2．解：由題意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3.∵△BC′D與△BCD關于直線BD對稱，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED.設EB＝x，則ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5.∴DE＝5.∴S△BED＝eq\f(1,2)DE·AB＝eq\f(1,2)×5×4＝10.3．(1)證明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°.∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.設BG＝FG＝x，則GC＝6－x，∵E為CD的中點，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x.∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴BG＝2.4．(1)證明：由題意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四邊形ABCD是長方形，故AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF＝EC＝CF.(2)解：由題意知，AE＝EC＝a，ED＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.eq\a\vs4\al(專訓3)(第1題)1．解：如圖，連接BD.∵等腰直角三角形ABC中，點D為AC邊的中點，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC(等腰三角形三線合一)，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又易知∠C＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD.∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.∴∠FDC＝∠EDB.在△EDB與△FDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBD＝∠C，,BD＝CD，,∠EDB＝∠FDC，))∴△EDB≌△FDC(ASA)，∴BE＝FC＝3.∴AB＝7，則BC＝7.∴BF＝4.在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，∴EF＝5.2．2a；3a3．證明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2，故BC2＝AB2，即AB＝BC.方法總結：當已知條件中有線段的平方關系時，應選擇用勾股定理證明，應用勾股定理證明兩條線段相等的一般步驟：①找出圖中證明結論所要用到的直角三角形；②根據(jù)勾股定理寫出三邊長的平方關系；③聯(lián)系已知，等量代換，求之即可．4．解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D.∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，(第4題)∴CD＝eq\f(1,2)AC＝5.∴在Rt△ACD中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(102－52)＝5eq\r(3).∴在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝11.∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.方法總結：利用勾股定理求非直角三角形中線段的長的方法：作三角形一邊上的高，將其轉化為兩個直角三角形，然后利用勾股定理并結合條件，采用推理或列方程的方法解決問題．5．解：(1)在Rt△AOB中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝eq\f(1,2