五年級奧數(shù)盈虧問題

奧數(shù)盈虧問題講座及練習答案盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數(shù)量的物品平均分給固定的對象，如果按某種標準分，則分配后會有剩余（盈）；按另一種標準分，分配后又會不足（虧），求物品的數(shù)量和分配對象的數(shù)量。例如：把一袋餅干分給小班的小朋友，每人分3塊，多12塊，；如果每人分4塊，8塊，小朋友有多少人？餅干有多少塊？

這種一盈一虧的情況，就是這們通常說的標準的盈虧問題。

標準盈虧問題的基本數(shù)量關(guān)系式：（盈+虧）÷兩次分配之差＝參與分配對象總數(shù)；每次分得的數(shù)量×份數(shù)＋盈＝總數(shù)量；每次分得的數(shù)量×份數(shù)－虧＝總數(shù)量

還有一些非標準盈虧問題，如：

1、兩盈：

兩次分配都有余。數(shù)量關(guān)系式為：（大盈－小盈）÷兩次分配差＝參與分配對象總數(shù)2、兩虧：

兩次分配都不夠。數(shù)量關(guān)系式為：（大虧－小虧）÷兩次分配差＝參與分配對象總數(shù)

例1：（一盈一虧問題）一個植樹小組，如果每人植5棵，還剩14棵；如果每人植7棵，就缺4棵。這個植樹小組有多少人？一共有多少棵樹？

分析：由題意可知，植樹的人數(shù)和棵數(shù)是不會變化的，只是兩次分配的方案不一樣，結(jié)果就差了18棵，即第一種方案的結(jié)果比第二種多18棵，這是因為兩種分配方案每人植樹棵數(shù)相差7-5＝2（棵），所以根據(jù)一盈一虧解答此題就非常簡單了。人數(shù)：（14＋4）÷（7－5）＝2（人）

棵數(shù)：5×9＋14＝59（棵）

答：這個植樹小組一共有9人，一共有59棵樹。

【鞏固練習1】：幼兒園把一些積木分給小朋友，如果每人分2個，則剩下20個；如果每人分3個，則差40個。幼兒園有多少個小朋友？一共有多少個積木？

解:小朋友分積木，每人2個則剩20個，每人3個則少40個，因此這是一虧一盈問題，兩種分積木的方案最后相差20+40=60個，兩種方案中每人分得的積木數(shù)相差3-2=1個，所以小朋友的個數(shù)為：60÷1=60人，積木數(shù)為：60×2+20=140個或60×3-40=140個

綜合算式為：幼兒園有多少個小朋友？

（20+40）÷（3-2）=60÷1=60（個）一共有多少個積木？60×2+20

=120+20=140個

或 60×3-40=180-40

=140（個）

答：幼兒園有60個小朋友，一共有140個積木.

例2：（兩虧問題）學校將一批鉛筆獎給三好學生。如果每人獎9支，則缺45支；如果每人獎7支，則缺7支。三好學生有多少人？鉛筆有多少支？分析：這是兩虧問題，由題意可知，三好學生人數(shù)和鉛筆支數(shù)是不變的。根據(jù)兩虧關(guān)系可知，人數(shù)：（45－7）÷（9－7）＝19（人）

鉛筆：9×19－45＝126（支）

答：三好學生有19人，鉛筆有126支。

【鞏固練習2】：將月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插8朵，則缺少15朵；如果每瓶改為插6朵，則缺少1朵，求花瓶的只數(shù)和月季花的朵數(shù)？

解：將月季花插入一些花瓶中，如果每瓶插8朵，則缺少15朵；如果每瓶改為插6朵，則缺少1朵，因此這是兩虧問題，兩次插花的方案中，一次少15朵，一次少1朵，則兩次少的朵數(shù)相差15-1=14朵，一次每瓶插6朵，一次每瓶插8朵，兩次每瓶相差2朵，因此花瓶數(shù)為14÷2=7個，花的朵數(shù)為7×8-15=41朵，或7×6-1=41朵

綜合算式為：

花瓶的個數(shù)為：

（15－1）÷（8－2）＝14÷2

=7（個）

花的朵數(shù)為：7×8-15

=56-15

=41（朵）

或

7×6-1

=42-1

=41（朵）

答：花瓶有7只，月季花有41朵

例3：（兩盈問題）有一些少先隊員到山上種一批樹。如果每人種16棵，還有24棵沒種；如果每人種19棵，還有6棵沒有種。問有多少名少先隊員？有多少棵樹？（根據(jù)兩盈問題請自己分析解答）

解：少先隊員種樹，如果每人種16棵，還有24棵沒種；如果每人種19棵，還有6棵沒有種，所以這是兩盈問題。兩個方案中所?？脭?shù)相差24-6=18棵，每人所種棵數(shù)相差19-16=3棵，所以種樹人數(shù)為18÷3=6人，樹的總棵數(shù)為6×19+6=114+6=120棵，或6×16+24=96+24=120棵

綜合算式為：

種樹人數(shù)為：（24－6）÷（19－16）＝18÷3

=6（個）

花的朵數(shù)為：

6×19+6=114+6=120（棵）

或 6×16+24=96+24

=120（棵）

答：有6名少先隊員，120棵樹.

例4：（盈虧轉(zhuǎn)化）學校給一批新入學的學生分配宿舍。如果每個房間住12人，則34人沒有位置；如果每個房間住14人，則空出4個房間。求學生宿舍有多少間？住宿學生有多少人？

分析：“把每個房間住14人，則空出4個房間”轉(zhuǎn)化為“每個房間住14人，則少14×4=56（人）后，就得到標準盈虧問題，這樣就好解答了。

房間數(shù)：（34＋14×4）÷（14－12）=45（間）

人數(shù)：12×45＋34=574（人）

答：學生宿舍有45間，學生有574人。

我也能行

1、某班安排宿舍，如果每間6人，則16人沒有床位；如果每間8人，則多出10個床位。問有宿舍多少間？學生多少人？

解：如果每間6人，則16人沒有床位；如果每間8人，則多出10個床位。此為一虧一盈問題：

宿舍間數(shù)

學生人數(shù)（16+10）÷（8-6） 13×6+16

或

13×8-10

＝26÷2

=78+16

=104-10

=13（間） =94（人） =94（人）答：有宿舍13間？學生94人.

2、王老師給美術(shù)興趣小組的同學分發(fā)圖畫紙。如果每人發(fā)5張，則少32張；如果每人發(fā)3張，則少2張。美術(shù)興趣小組有多少名同學？王老師一共有多少張圖畫紙？

解：如果每人發(fā)5張，則少32張；如果每人發(fā)3張，則少2張，說明這是兩虧問題：（32-2）÷（5-3）

15×5-32

或

15×3-2

＝30÷2

=75-32

=45-2

=15（人） =43（張） =43（張）答：美術(shù)興趣小組有15名同學，王老師一共有43張圖畫紙.

3、小虎在敵人窗外聽里邊在分子彈：一人說每人背45發(fā)還多260發(fā)；另一個說每人背50發(fā)還多200發(fā)。求有多少敵人？有多少發(fā)子彈？

解：每人背45發(fā)還多260發(fā)；每人背50發(fā)還多200發(fā)，說明這是兩盈問題，所以：

敵人人數(shù)為 子彈顆數(shù)為（260-200）÷（50-45） 12×45+260

或

12×50+200

＝60÷5

=540+260

=600+200

=12（人） =800（顆）

=800（顆）

答：有12個敵人。有800發(fā)子彈。

4、崔老師給美術(shù)興趣小組的同學分若干支彩色筆。如果每人分5支則多12支；如果每個人分8支還多3支。請問每人分多少支剛好把彩色筆分完？

解：如果每人分5支則多12支；如果每個人分8支還多3支，說明這是兩盈問題。所以：

學生人數(shù)為： 彩筆支數(shù)為：（12-3）÷（8-5） 3×5

+

12

或

3×8

+

3

＝9÷3 =15

+

12

=24

+

3

=3（人） =27（支）

=27（支）每人分多少支剛好把彩筆分完：27÷3=9（支）

答：每人分9支剛好把彩色筆分完.

5、某校有若干個學生寄宿學校，若每一間宿舍住6人，則多出34人；若每間宿舍住7人，則多出4間宿舍。問宿舍有多少間？住宿學生有多少人？

解：每一間宿舍住6人，則多出34人，每間宿舍住7人，則多出4間宿舍，多出4間宿舍，每間住7人，實際上是多出28人，則這是兩盈問題,

所以

宿舍間數(shù)為： 學生人數(shù)為：

（34-28）÷（7-6） 6×6

+

34

或

6×7

+

28

＝6÷1

=36

+

34

=42

+

28

=6（間） =70 （人）

=70（人）

答：宿舍有6間，住宿學生有70人

6、學校分配學生宿舍。如果每個房間住6人，則少2間宿舍；如果每個房間住9人，則空出2個房間。問學生宿舍有多少間？住宿學生有多少人？

解：每個房間住6人，則少2間宿舍，也就是多6×2=12人；如果每個房間住9人，則空出2個房間，也就是少6×2=12人，所以這是一虧一盈問題，所以

宿舍間數(shù)為： 學生人數(shù)為：（12+12）÷（9-6）

8×6

+

12

或

8×9

–

12

＝24÷3

=48

+

12

=72

+

12

=8（間） =60（人） =60（人）

答：宿舍有8間，住宿學生有60人

7、小強從家到學校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘，如果每分鐘走60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。小強從家到學校的路程是米（選自北京市第四屆“迎春杯”刊賽）

解：每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘，也就是說還要走50×3=150米才能走到學校

每分鐘走60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。也就是說在提前的2分鐘里可以多走60×2=120米，所以此題是一盈（120米）一虧（150米），則：

走到學校的時間為

家到學校的路程為

（150+120）÷（60-50） 50×27

+

150

或 60×27–120=270÷10

=1350+

150

=1620–120

=27（分）

=1500（米）

=1500（米）

答：小強從家到學校的路程是1500米.

8、買來一批蘋果，分給幼兒園大班的小朋友。如果每人分5個蘋果，那么還剩余32個；如果每人分8個蘋果，那么還有5個小朋友分不到蘋果。這批蘋果的個數(shù)是_____。選自小學數(shù)學奧林匹克預賽A卷

解：如果每人分8個蘋果，那么還有5個小朋友分不到蘋果。也就是說少了8×5=40個蘋果，則此題為一盈一虧問題，所以

小朋友的人數(shù)為： 蘋果的個數(shù)為

（32+40）÷（8-5） 24×5

+

32

或

24×8–40

=72÷3

=120+

32

=192–40=24（個）

=152（個）

=152（個）

答：這批蘋果的個數(shù)是152個五年級奧數(shù)練習：盈虧問題（大盈-小盈）÷兩次分配的個數(shù)差＝分配對象數(shù)（大虧-小虧）÷兩次分配的個數(shù)差＝分配對象數(shù)

（盈+虧）÷兩次分配的個數(shù)差＝分配對象數(shù)

三年級一班少先隊員參加學校搬磚勞動．如果每人搬4塊磚，還剩17塊；如果每人搬7塊，則少10塊磚．這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？

學校為新生分配宿舍．如果每個房間住3人，則多出22人；如果每個房間多住5人，則空1個房間．問宿舍有多少間？新生有多少人？

媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個，其余人每人分2個，則多出4個；如果其中一人分6個，其余人每人分4個，則缺少12個，媽媽買來橘子多少個？全家共有多少人？答案

1、三年級一班少先隊員參加學校搬磚勞動．如果每人搬4塊磚，還剩17塊；如果每人搬7塊，則少10塊磚．這個班少先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？

解：總差為17+10=27（塊）；

分配之差為7-4=3（塊）；

所以有少先隊員27÷3=9（人）

共有磚：4×9+17=53（塊）．

答：這個班少先隊有9個人，要搬的磚共有53塊。

考點：盈虧問題，一盈一虧

2、學校為新生分配宿舍．如果每個房間住3人，則多出22人；如果每個房間多住5人，則空1個房間．問宿舍有多少間？新生有多少人？

解：第一次盈22人，第二次多出一個房間則是虧3+5=8（人）；

總差為22+8=30(人)；

兩次分配之差為5人，

所以宿舍有30÷5=6(間)，

新生共有3×6+22=40(人)．

答：宿舍有6間，新生有40人?？键c：盈虧問題

注意點：空出一個房間，則是少了8人入住，則是虧8人