廣東省汕頭市潮陽六都中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

廣東省汕頭市潮陽六都中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)g（x）=1﹣cos（x+2ψ）（0＜ψ＜）的圖象過點（1，2），若有4個不同的正數(shù)xi滿足g（xi）=M，且xi＜8（i=1，2，3，4），則x1+x2+x3+x4等于(

)A．12 B．20 C．12或20 D．無法確定參考答案：C【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；余弦函數(shù)的圖象．【專題】計算題．【分析】先由g（x）過點（1，2），求得φ，進而求得函數(shù)g（x），再由g（x）=M在兩個周期之內(nèi)有四個解，則在一個周期內(nèi)必有兩個解，表示出四個解來相加可得．【解答】解：因為：函數(shù)g（x）=1﹣cos（x+2ψ）（0＜ψ＜）的圖象過點（1，2），∴1﹣cos（+2φ）=2，∴sin2φ=1，∴φ=∴g（x）=1﹣cos（x+）=1+sinx．∵g（x）=M在兩個周期之內(nèi)竟然有四個解，∴sinx=1﹣M在一個周期內(nèi)有兩個解當(dāng)1﹣M＞0時，四個根中其中兩個關(guān)于x=11對稱，另兩個關(guān)于x=5對稱，故其和為2×1+5×2=12．當(dāng)1﹣M＜0時，四個根中其中兩個關(guān)于x=3對稱，另兩個關(guān)于x=7對稱，故其和為2×3+7×2=20．綜上得：x1+x2+x3+x4=12或20．故選C．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性及三角方程有多解的特性，但都有相應(yīng)的規(guī)律，與周期有關(guān)．2.已知向量，且，則的最小值為

（

）

A．

B．

C．

D．1參考答案：C略3.已知函數(shù)，則的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.在△ABC中,,,E,F為BC的三等分點,則?=(

) A．

B．

C．

D．參考答案：B5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入,則輸出的的值是

（

）參考答案：C6.若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（

）A.[－1,1] B.[－1,10] C.[1,12] D.[－1,12]參考答案：B【分析】畫出約束條件表示的可行域，求目標(biāo)函數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為求直線的截距范圍求解即可．【詳解】約束條件的可行域如下圖（陰影部分）聯(lián)立可得可得設(shè)，則，作出直線，平移可知在取得最小值，在取得最大值，代入可得，故答案為B【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題,同時體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在解題中的重要性．7.已知曲線C：與直線L：，則C與L的公共點A.有2個

B.

最多1個

C.

至少1個

D.

不存在參考答案：C8.已知向量=，=，若⊥，則||=（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B9.已知p為直線x+y﹣2＝0上的點，過點p作圓O：x2+y2＝1的切線，切點為M，N，若∠MPN＝90°，則這樣的點p有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.無數(shù)個參考答案：B連接，則四邊形為正方形，因為圓的半徑為，，原點（圓心）到直線距離為符合條件的只有一個，故選B.10.在正項等比數(shù)列中，已知，，，則

A.11

B.12

C.14

D.16參考答案：C由與可得，，因此，所以，故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為______參考答案：【分析】先求出的值，設(shè)為，判斷是否大于零，如果大于零，直接求出的值，如果不大于零，那么根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，進行求解?！驹斀狻?，，函數(shù)是奇函數(shù)，所以的值為?！军c睛】本題考查了奇函數(shù)性質(zhì)、對數(shù)的運算。12.在正方體中，下列敘述正確的是①過點僅能作一條直線與平面和平面都平行；②過點僅能作兩條直線與平面和平面均成；③過點能做四條直線與直線所成角都相等；④過點能作一條直線與直線都相交；⑤過點、的平面截正方體所得截面的最大值與正方形的面積比為。參考答案：①②③⑤略13.DABC中,DC=90o,DB=30o,AC=2,M是AB的中點.將DACM沿CM折起,使A,B兩點間的距離為2，此時三棱錐A－BCM的體積等于

．參考答案：解：由已知，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=2，由△AMC為等邊三角形，取CM中點，則AD⊥CM，AD交BC于E，則AD=，DE=，CE=．折起后，由BC2=AC2+AB2，知∠BAC=90°，cos∠ECA=．∴AE2=CA2+CE2－2CA·CEcos∠ECA=，于是AC2=AE2+CE2．T∠AEC=90°．∵AD2=AE2+ED2，TAE⊥平面BCM，即AE是三棱錐A－BCM的高，AE=．S△BCM=，VA—BCM=．14.已知橢圓=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P為橢圓上一點，∠F1PF2的外角平分線所在的直線為l，過F1，F(xiàn)2分別作l的垂線，垂足分別為R，S，當(dāng)P在橢圓上運動時，R，S所形成的圖形的面積為

．參考答案：πa2考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：延長F2S交F1P的延長線于Q，可證得PQ=PF2，且S是PF2的中點，由此可求得OS的長度是定值，即可求點S的軌跡的幾何特征．解答： 解：由題意，P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓上一點，過焦點F2作∠F1PF2外角平分線的垂線，垂足為S，延長F2S交F1P的延長線于Q，得PQ=PF2，由橢圓的定義知PF1+PF2=2a，故有PF1+PQ=QF1=2a，連接OS，知OS是三角形F1F2Q的中位線，∴OS=a，即點M到原點的距離是定值a，由此知點S的軌跡是以原點為圓心、半徑等于a的圓．同理可得，點R的軌跡是以原點為圓心、半徑等于a的圓．故點R，S所形成的圖形的面積為πa2．點評：本題考查求軌跡方程，關(guān)鍵是證出OS是中位線以及利用題設(shè)中所給的圖形的幾何特征求出QF1的長度，進而求出OS的長度，再利用圓的定義得出點M的軌跡是一個圓，屬于難題．15.用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個.（用數(shù)字作答）參考答案：1080

16.已知向量滿足，則的夾角為_________參考答案：17.已知函數(shù)的圖像是折線段，其中、、，函數(shù)（）的圖像與軸圍成的圖形的面積為

參考答案：。，∴∴圍成的面積=+=。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(14分)數(shù)列中，，（）。（Ⅰ）求，，，；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）設(shè)，存在數(shù)列使得，求數(shù)列的前項和．參考答案：解析：（Ⅰ）當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；……∴，，，．……………4分（Ⅱ）∵，……………………6分∴

∴……8分∴是首項為，公比為2的等比數(shù)列。∴………10分（Ⅲ）由，得，∴，，∵，∴，即………………12分令…………13分令…①則…②②一①得∴．………………14分19.已知函數(shù)f（x）=x|x﹣a|（a∈R）（1）若a=2，解關(guān)于x的不等式f（x）＜x；（2）若對任意的x∈（0，4]都有f（x）＜4，求a的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=2時，不等式f（x）＜x即x|x﹣2|＜x，再分x＞0、x＜0兩種情況，分別求得x的范圍，可得不等式f（x）＜x的解集．（Ⅱ）由題意可得對任意的x∈（0，4]，都有f（x）＜4，即x﹣＜a＜x+恒成立．設(shè)g（x）=x﹣，p（x）=x+，利用導(dǎo)數(shù)求的g（x）的最大值和p（x）的最小值，可得a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，不等式f（x）＜x即x|x﹣2|＜x，顯然x≠0，當(dāng)x＞0時，原不等式可化為：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3．當(dāng)x＜0時，原不等式可化為：|x﹣2|＞1，即x﹣2＞1或x﹣2＜﹣1，求得x＜0．

綜上得：當(dāng)a=2時，原不等式的解集為{x|1＜x＜3或x＜0}．（Ⅱ）∵對任意的x∈（0，4]都有f（x）＜4，即﹣4＜x（x﹣a）＜4，對任意的x∈（0，4]都有x﹣＜a＜x+恒成立．設(shè)g（x）=x﹣，p（x）=x+，x∈（0，4]，如圖所示：問題等價于x∈（0，4]時，g（x）max＜a＜p（x）min．∵g′（x）=1+＞0，∴函數(shù)g（x）在（0，4]上單調(diào)遞增，g（x）max=g（4）=3．又∵p′（x）=1﹣=，∴p（x）在（0，2]上遞減，在[2，4]上遞增，∴p（x）min=p（2）=4a∈（3，4）．【點評】本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．20.（本小題10分，矩陣與變換）已知矩陣有特征值及對應(yīng)的一個特征向量.（Ⅰ）求矩陣；

（Ⅱ）寫出矩陣的逆矩陣.參考答案：（Ⅰ）由題知，=……………4分…………………6分（Ⅱ）……………10分21.已知函數(shù)f（x）=x3－ax+1．（Ⅰ）若x=1時，f（x）取得極值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；（Ⅲ）若對任意m∈R，直線y=﹣x+m都不是曲線y=f（x）的切線，求a的取值范圍．參考答案：（I）∵f'（x）=x2﹣a.......................................................1當(dāng)x=1時，f（x）取得極值，∴f'（1）=1﹣a=0，a=1．......................3又當(dāng)x∈（﹣1，1）時，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，∴f（x）在x=1處取得極小值，即a=1符合題意

.........................4

（II）當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0對x∈（0，1]成立，∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，f（x）在x=0處取最小值f（0）=1．當(dāng)a＞0時，令f'（x）=x2﹣a=0，，當(dāng)0＜a＜1時，，當(dāng)時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．所以f（x）在處取得最小值．當(dāng)a≥1時，，x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減所以f（x）在x=1處取得最小值．綜上所述：當(dāng)a≤0時，f（x）在x=0處取最小值f（0）=1．當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在處取得最小值．當(dāng)a≥1時，f（x）在x=1處取得最小值．.................................10（III）因為?m∈R，直線y=﹣x+m都不是曲線y=f（x）的切線，所以f'（x）=x2﹣a≠﹣1對