廣東省江門市司前職業(yè)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省江門市司前職業(yè)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若點(diǎn)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，則的最小值為A.1

B. C.

D.參考答案：D2.在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若,,,則b等于(

)A.1

B.

C.

D.2

參考答案：A3.（理）春節(jié)期間，“厲行節(jié)約，反對(duì)浪費(fèi)”之風(fēng)悄然吹開，某市通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：

做不到“光盤”能做到“光盤”男4510女3015P(K2k)0.100.050.025k2.7063.8415.024附：

參照附表，得到的正確結(jié)論是A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過l％的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過l％的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”C．有90％以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”D．有90％以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”參考答案：C4.復(fù)數(shù)(1+i)2(1-i)=A．-2-2i

B．2+2iC．-2+2i

D．2-2i參考答案：D5.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，且F到準(zhǔn)線l的距離為2，直線與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸上方），與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)R，若，則（

）.A. B. C. D.參考答案：C設(shè)，易知.由題意知，則拋物線.因?yàn)?，所以，又，得（?fù)值舍去），，聯(lián)立，得，故，所以，故，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，易知，故，故選C．

二、填空題．6.設(shè)、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C7.在區(qū)間[1,5]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，則此數(shù)大于2的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)幾何概型長(zhǎng)度型直接求解即可.【詳解】根據(jù)幾何概型可知，所求概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.8.已知集合A={x|}，B={x|lgx≤1}，則A∩B=（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3] C．（0，1] D．（0，3]參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出A與B中不等式的解集分別確定出A與B，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x≤3，即A=（﹣1，3]，由B中不等式變形得：lgx≤1=lg10，解得：0＜x≤10，即B=（0，10]，則A∩B=（0，3]，故選：D．9.直線與平行四邊形ABCD中的兩邊AB、AD分別交于E、F，且交其對(duì)角線AC于K，若，，（λ∈R），則λ=（）A．2

B．

C．3

D．5參考答案：D解：∵，∴∴，由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線可得,∴λ=5

故選：D．【注】用特殊法，利用正方形檢驗(yàn)。10.已知集合，則等于 A． B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3}參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),則下列結(jié)論中①y＝f(x)是奇是函數(shù)

②.y＝f(x)是周期函數(shù),周期為2

③..y＝f(x)的最小值為0,無最大值④.y＝f(x)無最小值,最大值為sin1.正確的序號(hào)為

.參考答案：②③，，則，故①錯(cuò)。，∴，故②正確。，在是單調(diào)遞增的周期函數(shù)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，∴，故，無最大值，故③正確，易知④錯(cuò)。綜上正確序號(hào)為②③。12.（5分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若a2+b2=4a+2b﹣5，且a2=b2+c2﹣bc，則S△ABC=．參考答案：【考點(diǎn)】：余弦定理．【專題】：解三角形．【分析】：由a2=b2+c2﹣bc，利用余弦定理可得：cosA==，可得A．由a2+b2=4a+2b﹣5，可得（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，解得a，b．利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得c，利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．解：由a2=b2+c2﹣bc，利用余弦定理可得：cosA==，∵θ∈（0，π），∴．∵a2+b2=4a+2b﹣5，∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，解得a=2，b=1．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣3=0，解得c=，∴S△ABC===，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了正弦定理余弦定理的應(yīng)用、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.已知點(diǎn)落在角的終邊上，且，則的值為

;參考答案：略14.已知曲線C：及點(diǎn)P（2，2），則過點(diǎn)P可引切線條數(shù)為

（

）（A）0

（B）1

（C）2

（D）3參考答案：D設(shè)切點(diǎn)Q（），則切線的方程為：即由P（2，2）在上，故即則或因此，共有三條切線故選D

15.已知偶函數(shù)在上滿足：當(dāng)且時(shí)，總有，則不等式的解集為

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．B3【答案解析】解析：依題意：偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，直接構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為解不等式，解之得：，所以不等式的解集為.另解：依題意：偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，由于，即所以不等式的解集為.【思路點(diǎn)撥】偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，直接構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為解不等式，解出即可．16.對(duì)于定義在D上的函數(shù)，若存在距離為d的兩條直線和，使得對(duì)任意的都有，則稱函數(shù)（）有一個(gè)寬度為d的通道．給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中在區(qū)間[1,+∞)上通道寬度為1的函數(shù)有

（寫出所有正確的序號(hào)）．參考答案：①②③對(duì)于①，，當(dāng)時(shí)，，故在上有一個(gè)寬度為1的通道，兩條直線可取，；對(duì)于②，，當(dāng)時(shí)，表示的是雙曲線在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為，故函數(shù)滿足，滿足在上有一個(gè)寬度為1的通道；對(duì)于③，，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，則，且在上的值域?yàn)椋瑵M足，故該函數(shù)滿足在上有一個(gè)寬度為1的通道；對(duì)于④，，，與之間的距離為，又因?yàn)?，則為增函數(shù)，設(shè)的切點(diǎn)為，則，解得，則與平行的切線為：，即，，因?yàn)榕c相切，故不存在兩條直線.故答案為①②③.

17.若是雙曲線：和圓：的一個(gè)交點(diǎn)，且其中是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率的為____.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講已知()的外接圓為圓，過的切線交于點(diǎn)，過作直線交于點(diǎn)，且（1）求證：平分角；（2）若，求的值．

參考答案：證明：(1)由

得，

是切線，

平分角(2)由，得由即，由,由19.如圖，拋物線第一象限部分上的一系列點(diǎn)與y正半軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)，構(gòu)成一系列正三角形（記為O）,記。（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求證：參考答案：解：（1）

……3分（2）設(shè)，則，，，又，，而

…………5分…………………9分（3）……12分……15分20.如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，，，，且平面平面．(1)求與平面所成角的正弦值；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？證明你的結(jié)論．參考答案：(1)因?yàn)椋?，在△中，由余弦定理可得，所以?/p>

又因?yàn)槠矫婷?，所以平面?/p>

所以兩兩互相垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，所以．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則有所以

取，得．

設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．(2)線段上不存在點(diǎn)，使平面平面．證明如下：假設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè)，所以．

設(shè)平面的法向量為，則有所以

取，得．要使平面平面，只需，即，此方程無解，所以線段上不存在點(diǎn)，使平面平面．21.如圖為某倉庫一側(cè)墻面的示意圖，其下部是矩形ABCD，上部是圓AB，該圓弧所在的圓心為O，為了調(diào)節(jié)倉庫內(nèi)的濕度和溫度，現(xiàn)要在墻面上開一個(gè)矩形的通風(fēng)窗EFGH（其中E，F(xiàn)在圓弧AB上，G，H在弦AB上）．過O作OP⊥AB，交AB于M，交EF于N，交圓弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（單位：m），記通風(fēng)窗EFGH的面積為S（單位：m2）（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：（i）設(shè)∠POF=θ（rad），將S表示成θ的函數(shù)；（ii）設(shè)MN=x（m），將S表示成x的函數(shù)；（2）試問通風(fēng)窗的高度MN為多少時(shí)？通風(fēng)窗EFGH的面積S最大？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）由題意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．（i）在Rt△ONF中與矩形EFGH中表示出邊長(zhǎng)，從而由S=EF×FG寫出面積公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范圍；（ii）在Rt△ONF中與矩形EFGH中利用勾股定理等表示出邊長(zhǎng)，從而寫出S=EF×FG=x，注意x的取值范圍；（2）方法一：選擇（i）中的函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而示函數(shù)的最大值及最大值點(diǎn)，再代入求NM的長(zhǎng)度即可；方法二：選擇（ii）中的函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而示函數(shù)的最大值及最大值點(diǎn)即可．【解答】解：（1）由題意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，F(xiàn)G=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．即所求函數(shù)關(guān)系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．（ii）因?yàn)镸N=x，OM=3.5，所以O(shè)N=x+3.5．在Rt△ONF中，NF===．在矩形EFGH中，EF=2NF=，F(xiàn)G=MN=x，故S=EF×FG=x．即所求函數(shù)關(guān)系是S=x，（0＜x＜6.5）．

（2）方法一：選擇（i）中的函數(shù)模型：令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），則f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．因?yàn)?＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．設(shè)cosα=，且α為銳角，則當(dāng)θ∈（0，α）時(shí)，f′（θ）＞0，f（θ）是增函數(shù)；當(dāng)θ∈（α，θ0）時(shí)，f′（θ）＜0，f（θ）是減函數(shù)，所以當(dāng)θ=α，即cosθ=時(shí)，f（θ）取到最大值，此時(shí)S有最大值．即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m時(shí)，通風(fēng)窗的面積最大．方法二：選擇（ii）中的函數(shù)模型：因?yàn)镾=，令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），則f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），因?yàn)楫?dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=時(shí)，f（x）取到最大值，此時(shí)S有最大值．即MN=x=4.5m時(shí)，通風(fēng)窗的面積最大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用及三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．22.某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；（Ⅲ）以購買易