2018屆數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學(xué)案文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精eq\o(\s\up7（第五節(jié)）,\s\do5（））eq\o（\s\up7(指數(shù)與指數(shù)函數(shù))，\s\do5()）1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景．2．理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算．3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)．4．知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1．根式（1）根式的概念：根式符號(hào)表示備注如果________，那么x叫做a的n次方根n〉1且n∈N＋當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)____數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)____數(shù)eq\r（n,a）零的n次方根是____當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有____個(gè)，它們互為______±eq\r（n，a）（a>0）______沒有偶次方根(2）兩個(gè)重要公式：①（eq\r(n，a））n＝____(n〉1，且n∈N＋）．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n為奇數(shù),，｜a｜n為偶數(shù)。）)2．有理指數(shù)冪（1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（aeq\s\up15(eq\f（1,n）)＝a>0,，aeq\s\up15(eq\f（m，n))＝＝a>0,m，n∈N＋，且\f(m,n）為既約分?jǐn)?shù).))②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪aeq\s\up15（－eq\f(m，n）)＝____（a〉0，m,n∈N＋，且eq\f（m，n）為既約分?jǐn)?shù))．③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于____，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪_____________．（2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則：設(shè)a〉0，b〉0，對(duì)任意有理數(shù)α，β，有以下運(yùn)算法則aαaβ＝________，(aα）β＝________，(ab)α＝________.上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理指數(shù)冪也適用．答案1．（1)xn＝a正負(fù)零兩相反數(shù)負(fù)數(shù)(2）①a②a2．(1）①eq\r(n,a）(eq\r（n,a）)meq\r(n，am)②eq\f（1，aeq\s\up15（eq\f（m,n)）)③0沒有意義(2)aα＋βaαβaαbα1．判斷正誤(1）(eq\r(4，－2)）4＝－2.(）(2）eq\r（n,an)＝a。()答案：（1）×(2)×2．化簡(jiǎn)［(－2)6]eq\s\up15(eq\f（1，2））－(－1）0的結(jié)果為（）A．－9 B．7C．－10 D．9解析：［（－2)6］eq\s\up15(eq\f(1，2））－(－1）0＝(26)eq\s\up15（eq\f（1，2））－1＝8－1＝7。答案：B3．若x＋x－1＝3,則x2－x－2＝________。解析：由（x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，得x2＋x－2＝7。又（x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝5，所以x－x－1＝±eq\r(5)，所以x2－x－2＝（x＋x－1)(x－x－1)＝±3eq\r（5）.答案：±3eq\r（5)知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝axa〉10<a<1圖象定義域____值域________性質(zhì)（1)過定點(diǎn)______(2)當(dāng)x>0時(shí)，____；x〈0時(shí)，______(2)當(dāng)x〉0時(shí),______；x<0時(shí)，____(3)在R上是______（3)在R上是______答案R（0，＋∞)(0，1）y〉10〈y〈10〈y<1y>1增函數(shù)減函數(shù)4．函數(shù)y＝eq\r（1－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)））x）的定義域?yàn)開_______．解析：要使函數(shù)有意義，需1－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)））x≥0，即eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）x≤1，∴x≥0,即定義域?yàn)椋?，＋∞）．答案：［0，＋∞)5．函數(shù)y＝ax＋2012＋2011（a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)________．解析：∵y＝ax(a>0且a≠1)恒過定點(diǎn)（0，1)，∴y＝ax＋2012＋2011恒過定點(diǎn)(－2012,2012）．答案:(－2012，2012)6．(2016·新課標(biāo)全國卷Ⅲ）已知a＝2eq\s\up15（eq\f(4,3）)，b＝4eq\s\up15(eq\f(2，5）），c＝25eq\s\up15（eq\f(1，3）)，則（）A．b〈a〈c B．a(chǎn)<b〈cC．b<c<a D．c〈a<b解析：因?yàn)閍＝2eq\s\up15（eq\f(4,3)）＝16eq\s\up15（eq\f（1,3))，b＝4eq\s\up15(eq\f(2，5）)＝16eq\s\up15(eq\f(1,5)）,c＝25eq\s\up15（eq\f(1,3）），且冪函數(shù)y＝xeq\s\up15(eq\f（1,3）)在R上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)y＝16x在R上單調(diào)遞增，所以b<a〈c。選A.答案：A熱點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算【例1】(1）計(jì)算：eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（16，81)））eq\s\up15(－eq\f（1，4））＋8eq\s\up15（eq\f(2，3)）＋eq\r（－22）；（2)若xeq\s\up15(eq\f（1，2))＋xeq\s\up15（－eq\f(1，2）)＝3，求eq\f(xeq\s\up15（eq\f（3，2）)＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2）)＋2，x2＋x－2＋3)的值．【解】（1)原式＝eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3））)4)）eq\s\up15(－eq\f（1，4)）＋(23）eq\s\up15(eq\f(2,3)）＋|－2|＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3）））－1＋22＋2＝eq\f(3，2）＋4＋2＝eq\f（15，2）.(2)由xeq\s\up15(eq\f（1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1，2）)＝3,得x＋x－1＋2＝9，∴x＋x－1＝7，∴x2＋x－2＋2＝49,∴x2＋x－2＝47?！選eq\s\up15（eq\f(3,2)）＋xeq\s\up15(－eq\f(3，2)）＝（xeq\s\up15（eq\f（1,2））＋x－eq\f(1,2）)3－3（xeq\s\up15（eq\f(1，2）)＋xeq\s\up15(－eq\f（1,2)))＝27－9＝18,∴原式＝eq\f（18＋2，47＋3)＝eq\f（2，5).【總結(jié)反思】進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù),同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序．需注意下列問題：（1)對(duì)于含有字母的化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示;(2）應(yīng)用平方差、完全平方公式及apa－p＝1(a≠0)簡(jiǎn)化運(yùn)算.(1）化簡(jiǎn)eq\r(\f(a3,\r(5，b2）)）·eq\r（3，\f(\r（5,b3），\r(4,a3))）.(2）已知meq\s\up15(eq\f(1,2)）＋meq\s\up15(－eq\f(1，2）)＝4,求eq\f（meq\s\up15（eq\f(3,2))－meq\s\up15（－eq\f(3，2）),meq\s\up15（eq\f（1，2))－meq\s\up15(－eq\f（1,2))）。解：（1）eq\r(\f（a3，\r(5，b2)）)·eq\r(3,\f(\r(5,b3），\r（4,a3）)）＝aeq\s\up15（eq\f（3,2)－eq\f（3,12)）·beq\s\up15(eq\f（3，15)－eq\f(2,10)）＝aeq\s\up15（eq\f（5,4)）＝aeq\r(4,a）。(2）因?yàn)閙eq\s\up15(eq\f（1,2））＋meq\s\up15（－eq\f（1,2))＝4，所以m＋m－1＋2＝16，所以m＋m－1＝14，所以eq\f(meq\s\up15（eq\f(3，2)）－meq\s\up15(－eq\f（3，2）)，meq\s\up15(eq\f（1，2)）－meq\s\up15（－eq\f（1,2）)）＝eq\f(meq\s\up15（eq\f（1，2））－meq\s\up15(－eq\f(1,2）)m＋m－1＋1,meq\s\up15(eq\f（1,2）)－meq\s\up15（－eq\f（1，2)))＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15。熱點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】（1）函數(shù)f（x）＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（)A．a(chǎn)>1，b〈0B．a(chǎn)〉1，b〉0C．0〈a<1，b>0D．0〈a<1,b〈0(2)若曲線|y｜＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn),則b的取值范圍是________．【解析】（1)由f（x）＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x）＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1。函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的,所以b<0,故選D。(2)曲線｜y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可知:如果｜y｜＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b∈［－1，1］．【答案】（1)D（2）[－1，1]【總結(jié)反思】（1）已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn),若不滿足則排除．（2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論。1．若將本例（2)中“|y|＝2x＋1”改為“y＝|2x－1｜”，且與直線y＝b有兩個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍．解：曲線y＝|2x－1|與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線y＝｜2x－1｜與直線y＝b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（0，1）．2．若將本例(2）改為：函數(shù)y＝|2x－1|在（－∞，k］上單調(diào)遞減,則k的取值范圍是什么？解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝|2x－1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0],所以k≤0，即k的取值范圍為（－∞，0］．(1）函數(shù)f（x）＝1－e｜x|的圖象大致是（）（2）已知函數(shù)f（x)＝|2x－1|，a〈b<c且f（a）〉f（c）〉f（b）,則下列結(jié)論中，一定成立的是()A．a(chǎn)<0，b〈0，c<0 B．a(chǎn)<0，b≥0，c〉0C．2－a〈2c D．2a＋解析：（1）將函數(shù)解析式與圖象對(duì)比分析,因?yàn)楹瘮?shù)f(x）＝1－e｜x|是偶函數(shù)，且值域是(－∞，0]，只有A滿足上述兩個(gè)性質(zhì)．（2）作出函數(shù)f（x)＝|2x－1|的圖象,如圖,∵a〈b<c，且f(a）〉f(c）>f（b)，結(jié)合圖象知0〈f(a）<1,a〈0，c〉0，∴0〈2a<1。∴f（a)＝｜2a－1｜＝1－2a<1,∴f（c)<1，∴0〈c〈1.∴1〈2c<2，∴f(c)＝｜2c－1|＝2c－1，又∵f(a）>f（c)，∴1－2a〉答案：（1)A（2)D熱點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考向1比較大小【例3】已知a＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3，5）））eq\s\up15（－eq\f（1,3））,b＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，5）))eq\s\up15（－eq\f(1,4）），c＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,2）))eq\s\up15(－eq\f(3,4)），則a,b，c的大小關(guān)系是()A．c〈a〈b B．a(chǎn)<b<cC．b〈a〈c D．c<b<a【解析】因?yàn)椋璭q\f(1，3）<－eq\f（1,4）〈0,所以eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，5)）)eq\s\up15(－eq\f（1,3))>eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，5)））eq\s\up15（－eq\f（1，4）)>eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，5)））0＝1，即a〉b〉1，且eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3,2）))eq\s\up15(－eq\f(3,4)）〈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3,2）））0＝1,所以c〈1，綜上,c〈b〈a.【答案】D考向2指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例4】已知函數(shù)f（x)＝(eq\f（1,3))ax2－4x＋3。（1)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f（x）有最大值3，求a的值．【解】(1)當(dāng)a＝－1時(shí),f(x）＝(eq\f(1,3))－x2－4x＋3，令g(x）＝－x2－4x＋3，由于g（x）在(－∞，－2）上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞）上單調(diào)遞減，而y＝（eq\f（1,3））t在R上單調(diào)遞減,所以f（x）在(－∞,－2）上單調(diào)遞減，在（－2，＋∞）上單調(diào)遞增,即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－2,＋∞),遞減區(qū)間是(－∞,－2）．(2）令h(x）＝ax2－4x＋3，則f（x)＝(eq\f(1，3))h（x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x）應(yīng)有最小值－1，因此必有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a〉0，\f（12a－16，4a）＝－1）)，解得a＝1，即當(dāng)f（x）有最大值3時(shí)，a的值等于1。考向3指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用【例5】(2017·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－1,ax＋1）(a>0且a≠1)．（1)求f（x）的定義域和值域．（2）討論f（x)的奇偶性．（3)討論f(x）的單調(diào)性．【解】(1）f（x)的定義域是R，令y＝eq\f(ax－1，ax＋1),得ax＝－eq\f（y＋1，y－1)。因?yàn)閍x〉0，所以－eq\f(y＋1，y－1）>0,解得－1<y〈1，所以f（x）的值域?yàn)閧y｜－1〈y〈1}．(2)因?yàn)閒(－x）＝eq\f(a－x－1，a－x＋1)＝eq\f（1－ax，1＋ax)＝－f（x),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f（x）是奇函數(shù)．(3)f(x)＝eq\f(ax＋1－2，ax＋1)＝1－eq\f（2,ax＋1）.設(shè)x1,x2是R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2,則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2，ax2＋1)－eq\f(2,ax1＋1）＝eq\f(2ax1－ax2，ax1＋1ax2＋1）。因?yàn)閤1〈x2，所以當(dāng)a〉1時(shí),ax2>ax1〉0，從而ax1＋1>0，ax2＋1〉0，ax1－ax2<0,所以f（x1）－f(x2）<0,即f（x1)〈f（x2)，f（x)為R上的增函數(shù),當(dāng)0<a<1時(shí),ax1>ax2>0