數(shù)列的綜合應用含解析

數(shù)列的綜合應用m11．(2019·深圳模擬)設函數(shù)f(x)＝x＋ax的導函數(shù)f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列fn(n∈N*)的前n項和是()nn＋2A.＋1B．＋1nnn＋1C.n－1D．n解析：選A∵fm－1′(x)＝mx＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，1111111∴f(x)＝x(x＋1)，則n＝n＋＝－n＋1，用裂項法求和得Sn＝1－2＋2－3fnn11n＋?＋－n＋1＝.nn＋12．已知函數(shù)f(n)＝n2，n為奇數(shù)，且an＝()＋(＋1)，則a1＋2＋3＋?＋－n2，n為偶數(shù)，2fnfnaaa018＝()A．－2017B．－2018C．2017D．2018解析：選D當n為奇數(shù)時，n＋1為偶數(shù)，則an＝n2－(＋1)2＝－2－1，所以1＋3nnaa＋a＋?＋a＝－(3＋7＋11＋?＋4035)．當n為偶數(shù)時，n＋1為奇數(shù)，則a2n52017n(n＋1)＝2n＋1，所以a＋a＋a＋?＋a2018＝5＋9＋13＋?＋4037.所以a＋a＋a＋?＋2246123a2018＝(5－3)＋(9－7)＋(13－11)＋?＋(4037－4035)＝2×1009＝2018，故選D.3．(2017·四川樂山模擬)對于數(shù)列{an}，定義a1＋2a2＋?＋2n－1anH0＝n為{an}的“優(yōu)值”．現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”0＝2n＋1，記數(shù)列{an－20}的前n項和為n，則n的最小值HSS為()A．－64B．－68C．－70D．－72n－1解析：選 D由題意可知：H0＝a1＋2a2＋?＋2an＝2n＋1，n則a＋2a＋?＋2n－1n＋112n當n≥2時，a1＋22＋?＋2n－2·n－1＝(n－1)·2n，aa兩式相減得n－1n＋1n，2·an＝n·2－(n－1)·2，an＝2(n＋1)當n＝1時成立，∴an－20＝2n－18，顯然{an－20}為等差數(shù)列．令an－20≤0，解得n≤9，故當n＝8或9時，{an－20}的前n項和Sn取最小值，1最小值為S8＝S9＝－16＋＝－72，故選D.24．(2019·湖北襄陽聯(lián)考)已知函數(shù)fx＋1為奇函數(shù)，(x)＝(x)＋1，若n＝n，2gfag2019則數(shù)列{an}的前2018項和為()A．2017B．2018C．2019D．2020解析：選B∵函數(shù)f1為奇函數(shù)，∴其圖象關于原點對稱，∴函數(shù)f(x)的圖象關x＋2于點1，0對稱，∴函數(shù)(x)＝(x)＋1的圖象關于點1對稱，∴()＋(1－x)＝2，，12gf2gxgn1232017∵an＝g2019，∴數(shù)列的前2018項之和為g2019＋g2019＋g2019＋?＋g2019018g2019＝2018.故選B.5．(2019·林州一中調研)已知數(shù)列{an}的前n項和為n，且1＝5，n＋1＝－1n＋6，Saa2a若對任意的n∈N*,1≤p(Sn－4n)≤3恒成立，則實數(shù)p的取值范圍為()A．(2,3]B．[2,3]C．(2,4]D．[2,4]解析：選B由數(shù)列的遞推關系式可得an＋1－4＝－21(an－4)，則數(shù)列{an－4}是首項為14＝1，公比為－1n－1n－1n＝－1n－1n2a－的等比數(shù)列，∴a－4＝1×2，∴a2＋4，∴S＝231－－1nn2－1n2＋4n，∴不等式1≤p(S－4n)≤3恒成立，即1≤p×31－2≤3恒成立．當21n921nn為偶數(shù)時，可得1≤p×31－2≤3，可得2≤p≤2，當n為奇數(shù)時，可得1≤p×31＋23≤p≤3，故實數(shù)p的取值范圍為[2,3]．≤3，可得26．(2019·昆明適應性檢測)已知數(shù)列{a}的前n項和為S，且a＝4n，若不等式S＋nnnn8≥λn對任意的n∈N*都成立，則實數(shù)λ的取值范圍為________．解析：因為an＝4n，所以Sn＝2n2＋2n，不等式Sn＋8≥λn對任意的n∈N*恒成立，即2n2＋2n＋82n2＋2n＋88λ≤n，又n＝2n＋n＋2≥10(當且僅當n＝2時取等號)，所以實數(shù)λ的取值范圍為(－∞，10]．答案：(－∞，10]7．(2019·濟寧模擬)若數(shù)列{n}滿足：只要ap＝q(，∈N*)，必有p＋1＝aq＋1，那么aapqa2就稱數(shù)列{an}具有性質 P.已知數(shù)列{an}具有性質 P，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a5＝2，a6＋a7a8＝21，則a2020＝____________.解析：根據(jù)題意，數(shù)列 {an}具有性質 P，且a2＝a5＝2，則有a3＝a6＝3，a4＝a7，a5＝a8＝2.由a6＋a7＋a8＝21，可得a3＋a4＋a5＝21，則a4＝21－3－2＝16，進而分析可得a3＝a6＝a9＝?＝a3n＝3，a4＝a7＝a10＝?＝a3n＋1＝16，a5＝a8＝?＝a3n＋22(n≥1)，則a2020＝a3×673＋1＝16.答案：168．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第一天長高3尺，莞草第一天長高1尺．以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2倍．問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第________天時，蒲草和莞草的高度相同(結果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關數(shù)據(jù)：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．解析：由題意得，蒲草的高度組成首項為a1＝3，公比為1的等比數(shù)列{an}，設其前n項2和為An；莞草的高度組成首項為b1＝1，公比為2的等比數(shù)列{bn}，設其前n項和為Bn.則An3111－nn31－nnn6＝2，B＝2－122－1*nn，令＝，化簡得2＋n＝7(∈N)，解得2＝6，所以1n2－112－121－21－2lg6lg3＝lg2＝1＋lg2≈3，即第3天時蒲草和莞草高度相同．答案：39．(2019·安陽模擬 )設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)在函數(shù)f(x)＝x2＋Bx＋C－1(B，C∈R)的圖象上，且 a1＝C.求數(shù)列{an}的通項公式；記數(shù)列bn＝an(a2n－1＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為 d，n n－ d2 d則Sn＝na1＋ 2 d＝2n＋a1－2n.又Sn＝n2＋Bn＋C－1，兩式比較得d＝1，B＝a1－d，C－1＝0.又a1＝C，2 23解得d＝2，C＝1＝a1，B＝0，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)∵bn＝an(a2n－1＋1)＝(2n－1)(2×2n－1－1＋1)＝(2n－1)×2n，23n∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2＋3×2＋5×2＋?＋(2n－1)×2，23nn＋1，∴2n＝2＋3×2＋?＋(2－3)×2＋(2－1)×2Tnnn23nn＋1∴－T＝2＋2×(2＋2＋?＋2)－(2n－1)×2＝2＋2×n－1－n＋1n＋1－6，2－1－(2n－1)×2＝(3－2n)×2故Tn＝(2n－3)×2n＋1＋6.10．2017年12月4日0時起某市實施機動車單雙號限行， 新能源汽車不在限行范圍內，某人為了出行方便，準備購買某新能源汽車．假設購車費用為 14.4萬元，每年應交付保險費、充電費等其他費用共 0.9 萬元，汽車的保養(yǎng)維修費為：第一年 0.2 萬元，第二年 0.4萬元，第三年 0.6萬元，?，依等差數(shù)列逐年遞增．設使用n年該車的總費用(包括購車費用)為f(n)，試寫出f(n)的表達式；(2)問這種新能源汽車使用多少年報廢最合算(即該車使用多少年平均費用最少)，年平均費用的最小值是多少？解：(1)由題意得f()＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋?＋0.2n)＋0.9n＝14.4＋n0.2nn＋＋0.9＝0.12＋＋14.4.2nnn設該車的年平均費用為S萬元，則有＝1(n)＝1(0.12＋＋14.4)＝n＋14.4＋1≥21.44＋1＝3.4.Snfnnn10nn14.4當且僅當10＝n，即n＝12時，等號成立，即S取最小值3.4萬元．所以這種新能源汽車使用12年報廢最合算，年平均費用的最小值是3.4萬元．1111．(2018·淮南一模)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(an，Sn)在y＝6－3x的圖象上(n*∈N)．求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若c＝0，且對任意正整數(shù)n都有cn＋1－c＝log1a.求證：對任意正整數(shù)n≥2，總1nn211＋1113.有≤＋＋?＋<3c2c3c4cn41 1解：(1)∵Sn＝－an，1∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3an－1－3an，41∴an＝4an－1.1 1 1又∵S1＝6－3a1，∴a1＝8，11n－112n＋1∴an＝8×4＝2.1證明：由cn＋1－cn＝log2an＝2n＋1，得當n≥2時，cn＝c1＋(c2－c1)＋(