2016年中考數(shù)學(xué)壓軸題輔導(dǎo)

2016年中考數(shù)學(xué)壓軸題輔導(dǎo)(十大類型)

一、動點型問題：

例1.(基礎(chǔ)題)如圖，已知拋物線y=x2-2x-3與x軸從左至右分別交于A、B兩點，與y

軸交于C點，頂點為D.

(1)求與直線BC平行且與拋物線只有一個交點的直線解析式；

(2)若線段AD上有一動點E,過E作平行于y軸的直線交拋物線于F,當(dāng)線段EF取得最

大值時，求點E的坐標(biāo).

2

變式練習(xí)：(2012?杭州模擬)如圖，己知拋物線尸a(x-1)+3^3(aAO)經(jīng)過點A

(-2,0),拋物線的頂點為D,過O作射線OM〃AD.過頂點D平行于x軸的直線交射

線OM于點C,B在x軸正半軸上，連接BC.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若動點P從點O出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運動，設(shè)點P運動的時

間為t(s).問：當(dāng)t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？

(3)若OC=OB,動點P和動點Q分別從點。和點B同時出發(fā)，分別以每秒1個長度單位

和2個長度單位的速度沿OC和BO運動，當(dāng)其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運

動設(shè)它們運動的時間為t(s),連接PQ,當(dāng)t為何值時，四邊形BCPQ的面積最??？并求出

最小值.

(4)在(3)中當(dāng)t為何值時，以O(shè),P,Q為頂點的三角形與AOAD相似？(直接寫出答

案)

二.幾何圖形的變換(平移、旋轉(zhuǎn)、翻折)

例2.(遼寧省鐵嶺市)如圖所示，已知在直角梯形O4BC中，AB//OC,BC_Lx軸于點C,

A(l,1)、8(3,1).動點P從。點出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動.過

P點作PQ垂直于皂繾0A,垂足為Q.設(shè)P點移動的時間為t秒(0<Z<4),△OPQ與直

角梯形OABC重疊部分的面積為S.

(1)求經(jīng)過0、4、B三點的拋物線解析式；

(2)求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

(3)將△0PQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°,是否存在t,使得△OPQ的頂點?；騋在拋物線

上？若存在，直接寫出f的值；若不存在，請說明理由.

3

變式練習(xí)：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線1：y='x+m與x軸、y軸分別交于

4

點A和點B(0,-1),拋物線y=2x2+bx+c經(jīng)過點B，且與直線1另一個交點為C(4,n).

(1)求n的值和拋物線的解析式；

(2)點D在拋物線上，且點D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4).口￡〃丫軸交直線1于點E,點F

在直線1上，且四邊形DFEG為矩形(如圖2).若矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)

關(guān)系式以及p的最大值；

(3)M是平面內(nèi)一點，將AAOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。后，得到AAQIBI，點A、

0、B的對應(yīng)點分別是點A|、OHBn若AAQiBi的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接

寫出點Ai的橫坐標(biāo).

三.相似與三角函數(shù)問題

例3.（四川省遂寧市）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點。（0,1百），且頂點C的橫坐標(biāo)為4,

9

該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P,使以+PO最小，求出點P的坐標(biāo)；

（3）在拋物線上是否存在點Q,使aQAB與△ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如

果不存在，請說明理由.

(1)0C的長為；

(2)D是OA上一點，以BD為直徑作。M,OM交AB于點Q.當(dāng)0M與y軸相切時，

sinZBOQ=；

(3)如圖2,動點P以每秒1個單位長度的速度，從點O沿線段0A向點A運動；同時動

點D以相同的速度，從點B沿折線B-C-0向點0運動.當(dāng)點P到達(dá)點A時，兩點同時

停止運動.過點P作直線PE〃OC,與折線0-B-A交于點E.設(shè)點P運動的時間為t(秒).求

當(dāng)以B、D、E為頂點的三角形是直角三角形時點E的坐標(biāo).

四.三角形問題（等腰直角三角形、等邊三角形、全等三角形等）

例4.（廣東省湛江市）已知矩形紙片0A8C的長為4,寬為3,以長0A所在的直線為x軸，

0為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系；點尸是。4邊上的動點（與點0A不重合），現(xiàn)將△POC

沿PC翻折得到△PEC,再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c。，將△必。沿PO翻折，得到△PFD,

使得直線PE、PF重合.

（I）若點E落在8C邊上，如圖①，求點P、C、。的坐標(biāo)，并求過此三點的拋物線的函數(shù)

關(guān)系式；

（2）若點E落在矩形紙片0ABe的內(nèi)部，如圖②，設(shè)OP=x,AD=y,當(dāng)x為何值時，>■

取得最大值？

（3）在（I）的情況下，過點P、C、。三點的拋物線上是否存在點。，使是以

為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點。的坐標(biāo).

變式.（廣東省深圳市）已知：RtZ\ABC的斜邊長為5,斜邊上的高為2,將這個直角三角

形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中0AV0B）,直角頂點C落在

y軸正半軸上（如圖1）.

（1）求線段OA、0B的長和經(jīng)過點A、B、C的拋物線的關(guān)系式.

（2）如圖2,點D的坐標(biāo)為（2,0）,點P（m,n）是該拋物線上的一個動點（其中m>0,

n>0）,連接DP交BC于點E.

①當(dāng)4BDE是等腰三角形時，意談與出此時點E的坐標(biāo).

②又連接CD、CP（如圖3）,4CDP是否有最大面積？若有，求出4CDP的最大面積

和此時點P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由.

圖2

蘇州中考題：（2013年?29題）如圖，已知拋物線y=gx2+bx+c（b,c是常數(shù)，且c<0）

與x軸分別交于點A,B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點C,點A的坐標(biāo)

為（一1,0）.

（l）b=，點B的橫坐標(biāo)為（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）:；

（2）連接BC,過點A作直線AE〃BC,與拋物線y=；x?+bx+c交于點E-點D是x軸上

一點，其坐標(biāo)為（2,0）,當(dāng)C,D,E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連接PB,PC,設(shè)所得4PBC的

面積為S.

①求S的取值范圍；

②若4PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的4PBC共有個.

（第29題）

五、與四邊形有關(guān)的二次函數(shù)問題

例5.（內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，RtZXABC的頂點坐標(biāo)分別為4（0,也）,

22

C（1,0）,ZABC=90°,BC與y軸的交點為。，。點坐標(biāo)為（0,乎），以點。為頂點、

y軸為對稱軸的拋物線過點B.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）將aABC沿AC折疊后得到點8的對應(yīng)點B',求證：四邊形AOC3'是矩形，并判斷點

B'是否在（1）的拋物線上；

（3）延長8A交拋物線于點E,在線段8E上取一點P,過尸點作x軸的垂線，交拋物線于

點凡是否存在這樣的點P,使四邊形以。F是平行四邊形？若存在，求出點尸的坐標(biāo)，若

不存在，說明理由.

變式練習(xí)：（2011年蘇州28題）已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正

方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB、PC、PD.

（1）如圖①，當(dāng)PA的長度等于時，ZPAB=60°；

當(dāng)PA的長度等于時，4PAD是等腰三角形；

（2）如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐

標(biāo)系（點A即為原點O）,把aPAD、APAB>的面積分別記為Si、S2、S3.坐標(biāo)為

（小b）,試求2sls3—S2?的最大值，并求出此時a,b的值.

（圖①）（圖②）

蘇州中考題：(2011年?29題)已知二次函數(shù)y=a(x2-6x+8)(“>0)的圖象與x軸分別交

于點A、B,與y軸交于點C.點D是拋物線的頂點.

(1)如圖①，連接AC,將AOAC沿直線AC翻折，若點O的對應(yīng)點O”恰好落在該拋物線

的對稱軸上，求實數(shù)。的值；

(2)如圖②，在正方形EFGH中，點E、F的坐標(biāo)分別是(4,4)、(4,3),邊HG位于邊

EF的右側(cè).小林同學(xué)經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個正確的命題：“若點P是邊EH或邊HG上的任意

一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等(即這四

條線段不能構(gòu)成平行四邊形).”若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結(jié)論是否也成

立？請你積極探索，并寫出探索過程；

(3)如圖②，當(dāng)點P在拋物線對稱軸上時，設(shè)點P的縱坐標(biāo)f是大于3的常數(shù)，試問：是

否存在一個正數(shù)a,使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等(即

這四條線段能構(gòu)成平行四邊形)？請說明理由.

(圖①)（圖②）

六、初中數(shù)學(xué)中的最值問題

例6.(2014?海南)如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A(-1,0),C(0,5)兩點，

與x軸另一交點為B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),點P是第一象限內(nèi)的拋物

線上的動點.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)當(dāng)a=l時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo)；

(3)若APCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最?。空?/p>

說明理由.

變式練習(xí).(四川省眉山市)如圖，已知直線卜=3犬+1與y軸交于點A,與x軸交于點。，

拋物線+以+。與直線y=gx+i交于小E兩點，與x軸交于從C兩點，且B點

坐標(biāo)為(1,0).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)動點P在x軸上移動，當(dāng)△R1E是直角三角形時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對稱軸上找一點M,使AM-MCl的值最大，求出點M的坐標(biāo).

蘇州中考題：(2012江蘇蘇州，27,8分)如圖，已知半徑為2的。O與直線/相切于點A,

點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作直線/的垂線,垂足為C,PC與。。交于點D,

連接以、PB,設(shè)PC的長為.

(1)當(dāng)時，求弦附、P8的長度；

⑵當(dāng)x為何值時，的值最大？最大值是多少？

B

P

O

D

I

CA

七、定值的問題

例7.（湖南省株洲市）如圖，已知△ABC為直角三角形，ZACB=90°,4c=BC,點A、C

在x軸上，點B的坐標(biāo)為（3,加加＞0）,線段A3與y軸相交于點。，以P（l,0）為頂點的

拋物線過點8、D.

（1）求點A的坐標(biāo)（用〃，表示）；

（2）求拋物線的解析式；

（3）設(shè)點0為拋物線上點P至點B之間的一動點，連結(jié)P。并延長交BC于點E,連結(jié)8。

并延長交AC于點F,試證明：R7G4C+EC）為定值.

變式練習(xí)：（2012江蘇蘇州，28,9分）如圖，正方形ABC。的邊49與矩形EFG”的邊FG

重合，將正方形ABCD以lcm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合.在移

動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG,過點A作CG的平行線交線段GH于點P,

連接PD已知正方形ABCD的邊長為1cm,矩形EFGH的邊FG、GH的長分別為4cm、3cm.

設(shè)正方形移動時間為無（s）,線段GP的長為y（cm）,其中.

⑴試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y=3時相應(yīng)x的值；

⑵記AOGP的面積為，ACDG的面積為，試說明是常數(shù)；

⑶當(dāng)線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線4c垂直時，求線段PD的長.

CB

G人F

P

HE

蘇州中考題：(2014年?蘇州)如圖,二次函數(shù)產(chǎn)a(x2-2mx-3m2)(其中a,機是常數(shù)，

且a>0,/?>0)的圖象與x軸分別交于點A、8(點A位于點8的左側(cè))，與y軸交于C(0,

-3),點。在二次函數(shù)的圖象上，C￡)〃AB,連接A。，過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖

象于點E,AB平分ND4E.

(1)用含初的代數(shù)式表示a；

(2)求證：他為定值；

AE

(3)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點為F,探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點G,連接GF,以

線段GF、AD.AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足

要求的點G即可，并用含機的代數(shù)式表示該點的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

八、存在性問題(如：平行、垂直，動點，面積等)

例8、(2008年浙江省紹興市)將一矩形紙片048。放在平面直角坐標(biāo)系中，0(0,0),A(6,0),

2

C(0,3).動點。從點。出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿OC向終點C運動，運動;秒時,

動點P從點A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點。運動.當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也

停止運動.設(shè)點P的運動時間為f(秒).

(1)用含，的代數(shù)式表示OP,0Q；

(2)當(dāng)，=1時，如圖1,將△。尸。沿PQ翻折，點。恰好落在邊上的點。處，求點。

的坐標(biāo)；

(1)連結(jié)AC,將△OPQ沿尸。翻折，得到△EPQ,如圖2.問：PQ與AC能否平

行？PE與AC能否垂直？若能，求出相應(yīng)的"直；若不能，說明理由.

變式練習(xí)：如圖，已知拋物線y=ax?+bx+3與x軸交于A(1,0)1B(-3,0)兩點，與y

軸交于點C,拋物線的頂點為P,連接AC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線上找一點D,使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點Q,求直線DC

的解析式；

(3)拋物線對稱軸上是否存在一點M,使得SAMAP=2SAACP?若存在，求出M點的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

蘇州中考題：(2015年蘇州?本題滿分10分)如圖，已知二次函數(shù)丁=/+。一〃z)x-w(其

中的圖像與x軸交于4、B兩點(點A在點8的左側(cè))，與y軸交于點C,對稱

軸為直線/.設(shè)尸為對稱軸/上的點，連接以、PC,PA=PC.

(1)NABC的度數(shù)為°；

(2)求P點坐標(biāo)(用含機的代數(shù)式表示)；

(3)在坐標(biāo)軸上是否存在點。(與原點。不重合)，使得以Q、B、C為頂點的三角形與△"C

相似，且線段P。的長度最小？如果存在，求出所有滿足條件的點。的坐標(biāo)；如果不存在，

請說明理由.

模擬試題：在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點A(1,0)、B(0,-2),將線段AB繞點A

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。至AC,若拋物線y=-lx2+bx+2經(jīng)過點C.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，將拋物線平移，當(dāng)頂點至原點時，過Q(0,-2)作不平行于x軸的直線交拋

物線于E、F兩點，問在y軸的正半軸上是否存在一點P,使APEF的內(nèi)心在y軸上？若存

在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

(3)在拋物線上是否存在一點M,使得以M為圓心，以返為半徑的圓與直線BC相切？

2

若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2圖3

九、與圓有關(guān)的二次函數(shù)綜合題：

例9.如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,其

頂點為D,且直線DC的解析式為y=x+3.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求△ABC外接圓的半徑及外心的坐標(biāo)；

(3)若點P是第一象限內(nèi)拋物線上一動點，求四邊形ACPB的面積最大值.

變式練習(xí)：如圖，已知拋物線y=a(x-2)2+1與x軸從左到右依次交于A、B兩點，與y

軸交于點C,點B的坐標(biāo)為(3,0),連接AC、BC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若P為拋物線的對稱軸上的一個動點，連接PA、PB、PC,設(shè)點P的縱坐標(biāo)表示為m.

試探究：

①當(dāng)m為何值時，|PA-PC|的值最大？并求出這個最大值.

②在P點的運動過程中，/APB能否與NACB相等？若能，請求出P點的坐標(biāo)；若不能,

請說明理由.

(備用圖)

中考題訓(xùn)練：（2014?黔南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為（4,-1）的拋物線交y

軸于A點，交x軸于B,C兩點（點B在點C的左側(cè)），已知A點坐標(biāo)為（0,3）.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D,如果以點C為圓心的圓與直線BD相切,

請判斷拋物線的對稱軸1與。C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；

（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A,C兩點之間，問：當(dāng)點P運動到什么位

置時，APAC的面積最大？并求出此時P點的坐標(biāo)和APAC的最大面積.

蘇州中考題：（2015年?27題）如圖，已知二次函數(shù)一機）x-機（其中0＜相＜1）

的圖像與x軸交于A、8兩點（點A在點2的左側(cè)），與），軸交于點C,對稱軸為直線/.設(shè)

P為對稱軸/上的點，連接以、PC,PA=PC.

（1）NABC的度數(shù)為▲。:

（2）求尸點坐標(biāo)（用含機的代數(shù)式表示）;

（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點。（與原點O不重合），使得以。、B、C為頂點的三角形與△鞏C

相似，且線段PQ的長度最??？如果存在，求出所有滿足條件的點。的坐標(biāo)；如果不存在,

請說明理由.

十、其它(如新定義型題、面積問題等)：

例10.定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線

就稱為："美麗拋物線”.如圖，直線1：y=1x+b經(jīng)過點M(0,1),一組拋物線的頂點為

34

(byi),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn)(n為正整數(shù)),依次是直線1上的點，

這組拋物線與X軸正半軸的交點依次是:Al(XI，0),A2(X2,0),A3G3,0),...An+1(Xn+1，

0)(n為正整數(shù)).若xi=d(OVdVl),當(dāng)d為()時，這組拋物線中存在美麗拋物線.

A.王或-LB.王或旦c.」_^皂D.—

12121212121212

變式練習(xí)：

1.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A、B兩點，(點A在點B左側(cè)).與

y軸交于點C,頂點為D,直線CD與x軸交于點E.

(1)請你畫出此拋物線，并求A、B、C、D四點的坐標(biāo)；

(2)將直線CD向左平移兩個單位，與拋物線交于點F(不與A、B兩點重合)，請你求出

F點坐標(biāo)；

(3)在點B、點F之間的拋物線上有一點P,使4PBF的面積最大，求此時P點坐標(biāo)及APBF

的最大面積；

(4)若平行于x軸的直線與拋物線交于G、H兩點，以GH為直徑的圓與x軸相切，求該

圓半徑.

2.練習(xí)：(2015河池)我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”.如

圖，直線/：y=+與x軸、y軸分別交于A、B,ZOAB=30°，點尸在x軸上，OP

與/相切，當(dāng)P在線段04上運動時，使得。P成為整圓的點P個數(shù)是()

A.6B.8C.10D.12o

蘇州中考題：(2015年?26題)如圖，已知A。是△4BC的角平分線，。。經(jīng)過4、B、D

三點，過點8作BE〃A。，交。。于點E,連接ED.

(1)求證：ED//AC；(2)若8ZA2CD,設(shè)△EB。的面積為S1,△AOC的面積為S2,且

2

S1-16S2+4=0,求△ABC的面積.

DC

(第26題)

模擬試題：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，OM過點O且與y軸、x軸分別交于A、B

兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，點C與點M關(guān)于x軸對稱，已知點M的坐標(biāo)為

(2,-2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷直線OC與。M的位置關(guān)系，并證明；

(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線OC上的動點，判斷是否存在以點P、Q、A、

O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出相應(yīng)的Q點的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

參考答案：

例1.【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)根據(jù)x等于零時，可得C點坐標(biāo)，根據(jù)y等于

零時，可得A、B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線BC的斜率，根據(jù)平行線的斜率相等，

可得平行BC的直線的斜率，根據(jù)直線與拋物線有一個交點，可得直線與拋物線聯(lián)立所得的

一元二次方程有一對相等的實數(shù)根，可得判別式等于零；(2)根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線

AD的解析式，根據(jù)E點在線段AB上，可設(shè)出E點坐標(biāo)，根據(jù)EF〃y軸，F(xiàn)在拋物線上,

可得F點的坐標(biāo)，根據(jù)兩點間的距離，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：(1)當(dāng)y=0時，x?-2x-3=0,解得xi=-1,x2=3,即A(-1,0),B(3,0).

當(dāng)x=0時，y=-3,即C(0,-3).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,直線BC經(jīng)過點B,點

C,得：(3k+b=0,解得|卜:1,設(shè)平行于BC且與拋物線只有一個交點的直線解析式為

b=-3產(chǎn)-3

y=x+b,由題意，得：I,②-①，得：x~-3x-3-b=0,只有一個交

y=x2-2x-3(2)

點，得：△=(-3)2-4x(-b-3)=0,解得b=-與直線BC平行且與拋物線只有一

4

個交點的直線解析式y(tǒng)=x-日；

舒時，y(-2)2

(2)y=x2-2x-3,當(dāng)x=-必4X1義(-3)-

2d4X1

'-k+b=0?

-4,即D(1,-4),設(shè)直線AD的解析式是產(chǎn)kx+b,AD的圖象過點A、D,得

②

X.k+b=-4

k—2

解得，，直線AD的解析式是y=-2x-2,線段AD上有一動點E,過E作平行于y

b=-2

軸的直線交拋物線于F,設(shè)E點坐標(biāo)是(x,-2x-2),F點坐標(biāo)是(X,X2-2X-3),-1<X<1,

EF的長是：y=(-2x-2)-(x2-2x-3)=-x2+lo當(dāng)x=0時，EF地大=1,即點E的坐標(biāo)

是(0,-2),當(dāng)線段EF取得最大值時，點E的坐標(biāo)是(0,-2).

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用了直線與拋物線相切，利用了一元二次方程的

判別式，兩點間的距離公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強.

變式練習(xí)：【考點】二次函數(shù)綜合題。【專題】壓軸題.

【分析】(1)將A的坐標(biāo)代入拋物線y=a(x-1)2+3<3(awO)可得a的值，即可得到拋

物線的解析式；(2)易得D的坐標(biāo)，過D作DNLOB于N；進而可得DN、AN、AD的長，

根據(jù)平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質(zhì)，用t將其中的關(guān)系表示出來，并求解可得答

案；(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，易得AOCB是等邊三角形，可得BQ、PE關(guān)于t的關(guān)系式，將

四邊形的面積用t表示出來，進而分析可得最小值及此時t的值，進而可求得PQ的長.(4)

分別利用當(dāng)△AODS/MDQP與當(dāng)△AODS^OPQ,得出對應(yīng)邊比值相等，進而求出即可.

【解答】解：(1)..?拋物線y=a(x-1)2+3A/3<a#0)經(jīng)過點A(-2,0),，0=9a+3、巧，

Aa=-3，；.y=-立(x-1)2+3VS；

33

(2))①TD為拋物線的頂點，???D(1,3愿)，過D作DN1OB于N,則DN=3dj,

AN=3,

AAD=^32+735/3)2=6,；.NDAO=60。.：OM〃AD,

①當(dāng)AD=OPR寸，四邊形DAOP是平行四邊形，...0P=6,；.t=6.

②當(dāng)DP_LOM時，四邊形DAOP是直角梯形，過O作OH_LAD于H,AO=2,則AH=1(如

果沒求出NDAO=60?？捎蒖SOHASRJDNA(求AH=1)，OP=DH=5,t=5,

③當(dāng)PD=OA時，四邊形DAOP是等腰梯形，易證：AAOH安4CDP,；.AH=CP,

，OP=AD-2AH=6-2=4,At=4.

綜上所述：當(dāng)t=6、5、4時，對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形：

(3)：D為拋物線的頂點坐標(biāo)為：DQ,3^3)，過D作DN_LOB于N,則DN=3V3，

AN=3,Z.AD=^32+(373)2=6'???NDAO=60°,AZCOB=60°,OC=OB,AOCB是等

邊三角形.貝IOB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,.,.OQ=6-2t(0<t<3)

過P作PE1OQ于E,則PE=^t，SBCPQ=i<6x3V3--x(6-2t)x丑,t

2222

殍(t--|)24后當(dāng)t=射，SBCPQ的面積最小值為

(4)SAAOD^AOQP,則典盛，VA0=2,AD=6,QO=6-2t,OP=t,；-----

00OP6-2tt

解得：t=23,當(dāng)AAODsaClPQ,則典典，即解得：t=2

7OPQOt6-2t5

故t=/或單寸以O(shè),P,Q為頂點的三角形與AOAD相似.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形、直角

梯形、等腰梯形的判定等知識，將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題是考

查重點.

蘇州中考題：解：(1)如圖①，點P從ATBTCTD,全程共移動了a+2bcm(用含。、b

的代數(shù)式表示);

(2):,圓心O移動的距離為2(a-4)cm,由題意，得：a+2h=2(a-4)①，

:點P移動2秒到達(dá)B,即點P2s移動了bcm,點P繼續(xù)移動3s到達(dá)BC的中點，

1

即點尸3秒移動了Lea...,且2-②由①②解得(a=24,

223(b=S

?.?點P移動的速度為與。。移動速度相同，.移動的速度為且&4cm(cm/s).

22

這5秒時間內(nèi)。0移動的距離為5x4=20（cm）；

（3）存在這種情況，

設(shè)點尸移動速度為。。2移動的速度為V2C?n/s,由題意，得

vl_a+2b_204-2＞：10_5

v22(a-4)2(20-4)4,

如圖：

設(shè)直線OO1與AB交于E點，與CD交于F點、,。0]與AD相切于G點，

若尸3與。。1相切，切點為H,則OiG=O[H.

易得ADO1G四ADOiH,：.ZADB=ZBDP.

'JBC//AD,：.ZADB=ZCBD,：.ZBDP=ZCBD,：.BP=DP.

設(shè)8P=xcm,則。P=XCTH,PC=（20-x）cm,在RfZkPCD中，由勾股定理，得

Pd+3=PM即（20-工）2+1。2=*2,解得此時點P移動的距離為10+型=亞（￡?）,

2,22

ED1RFE01o

'：EF//AD,：./XBEO\<^/XBAD,：----^=匹，即_L=_2_,EO\=16cm,OO\=\^cm.

ADBA2010

①當(dāng)。O首次到達(dá)。01的位置時，OO移動的距離為14C",

45

此時點尸與。。移動的速度比為2=更，止匕時PD與。。1不能相切；

1428284

②當(dāng)。。在返回途中到達(dá)。。1位置時，。。移動的距離為2（20-4）-14=18c/n,

45

...此時點P與。。移動的速度比為金亞=2此時PD與。01恰好相切.

18364

點評：本題考查了圓的綜合題，（1）利用了有理數(shù)的加法，（2）利用了P與。。的路程相

等，速度相等得出方程組是解題關(guān)鍵，再利用路程與時間的關(guān)系，得出速度，最后利用速度

乘以時間得出結(jié)果；（3）利用了相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比，相似三角形的性質(zhì)，等

腰三角形的判定，勾股定理，利用相等時間內(nèi)速度的比等于路程的比是解題關(guān)鍵.

例2.【考點】二次函數(shù)綜合題.【專題】壓軸題；動點型.

【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax?+bx,把已知坐標(biāo)代入求出拋物線的解析式.

（2）求出S的面積，根據(jù)t的取值不同分三種情況討論S與t的函數(shù)關(guān)系式.

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，代入解析式，判斷是否存在.

【解答】解：(1)方法一：由圖象可知：拋物線經(jīng)過原點，設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx(aM).

把A(1,1),B(3,1)代入上式得：

a_-y1

鬻上解得.所求拋物線解析式為丫=-斗?+*.

方法二：：A(1,1),B(3,1),...拋物線的對稱軸是直線x=2.

設(shè)拋物線解析式為產(chǎn)a(x-2)2+h(axO)把O(0,0),A(1,1)代入

=,c、2

得I0a(0-2)c+h，解得，/5，，所求拋物線解析式為y=-工1(x-2)27+4

l=a(1-2)2+hh433

(2)分三種情況：

①當(dāng)0<t42,重疊部分的面積是SAOPQ，過點A作AFJ_X軸于點F,YA(1,1),

...在RtAOAF中，AF=OF=1,ZAOF=45°,在RtZiOPQ中，OP=t,ZOPQ=ZQOP=45°,

；.PQ=OQ=tcos45°=q.S=1(*t)2=^t2>

②當(dāng)2<仁3,設(shè)PQ交AB于點G,作GHLx軸于點H,ZOPQ=ZQOP=45°,

則四邊形OAGP是等腰梯形，重疊部分的面積是S梯形OAGP.?'?AG=FH=t-2,

.*.S=-l(AG+OP)AF=1(t+t-2)xl=t-1.

22

③當(dāng)3Vt<4,設(shè)PQ與AB交于點M,交BC于點N,重疊部分的面積是S五邊形OAMNG

△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC-SABMN-

VB(3,1),OP=t,APC=CN=t-3,AS=-(2+3)xl--1(4-t)2,S=-lt2+4t--.

2222

(3)存在.

當(dāng)O點在拋物線上時，將O(t,t)代入拋物線解析式，解得t=0(舍去)，t=l；

當(dāng)Q點在拋物線上時，Q(鳥，L)代入拋物線解析式得t=0(舍去)，t=2.故t=l或2.

【點評】本題是一道典型的綜合題，重點考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識以及考生理解圖形的能

力，難度較大.

變式練習(xí)：解：⑴?.?直線1：產(chǎn)3+m經(jīng)過點B(0,-1),；.m=-1,.?.直線1的解析式

為y=-x-1,?.?直線1：產(chǎn)&-1經(jīng)過點C(4,n),；.n=&4-1=2,*.?拋物線y=-x2+bx+c

4442

經(jīng)過點C(4,2)和點B(0,-1),

19R

—X4+4b+c=2b=一:1c

.?.2，解得，4,.?.拋物線的解析式為廣47-2-1；

c=-1c=-124

(2)令y=0,則&-1=0,解得x=&.?.點A的坐標(biāo)為0),.".OA=-,在RsOAB

4333

,1?AB=VOA2+OB2=^4)+1滔，

中，OB=1,：DE〃y軸，AZABO=ZDEF,在

矩形DFEG中，EF=DE?cos/DEF=DE冬E,DF=DE?sin/DEF=DE?奧&DE,

AB5AB5

：.p=2(DF+EF)=2(9+衛(wèi))DE=AiDE,

555

:點D的橫坐標(biāo)為t(0<tV4),ADCt,-t2--t-1),E(t,4-1),

244

DE=(4-1)-(i2--t-1)=--t2+2t,二p=Ux(-At2+2t)=-工t2+罵，

42425255

?；p=-1(t-2)2+儂，且-工VO,.?.當(dāng)t=2時，p有最大值圓；

5555

(3):△AOB繞點M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，；從101〃丫軸時，BQi〃x軸，設(shè)點Ai的

橫坐標(biāo)為X,

①如圖1,點01、Bi在拋物線上時，點01的橫坐標(biāo)為x,點臼的橫坐標(biāo)為x+1,

-x2-與-1=1(x+1)2-2(x+1)-1,解得x=W

24244

②如圖2,點Ai、Bi在拋物線上時，點Bi的橫坐標(biāo)為x+1,點Ai的縱坐標(biāo)比點Bi的縱坐

標(biāo)大&

3

/.—X2-—X-1=—(x+1)2--(x+1)-1+—,解得X=--,

2424312

綜上所述，點A)的橫坐標(biāo)為衛(wèi)或--1

例3.【考點】二次函數(shù)綜合題.【專題】壓軸題.

【分析】（1）已知了頂點的橫坐標(biāo)，可用頂點式來設(shè)二次函數(shù)的解析式如：y=a（x-4）2+k,

根據(jù)二次函數(shù)過點（。，早），可得出為中6a+k；由于A、B關(guān)于x=4對稱，且AB=6,

99

不難得出A、B的坐標(biāo)為（1,0）,（7,0）,可將它們的坐標(biāo)代入解析式中即可求出a、k的

值.（2）本題的關(guān)鍵是確定P的位置，由于對稱軸垂直平分AB,因此P不論在對稱軸的什

么位置都有PA=PB,連接DB,如果P是交點時，PA+PD的長就是BD的長，兩點之間線

段最短，因此要想PA+PD最小，P必為DB與對稱軸的交點.可根據(jù)B、D的坐標(biāo)求出BD

所在直線的解析式，然后求出與拋物線對稱軸的交點.即可得出P點的坐標(biāo).（3）由于三

角形ABC是等腰三角形，要想使QAB與三角形ABC相似，三角形QAB必須為等腰三角

形.要分兩種情況進行討論：①當(dāng)Q在x軸下方時，Q,C重合，Q點的坐標(biāo)就是C點的

坐標(biāo).②當(dāng)Q在x軸上方時，應(yīng)該有兩個符合條件的點，拋物線的對稱軸左右兩側(cè)各一個，

且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸相對稱.因此只需求出一點的坐標(biāo)即可.以AQ=AB為例：可

過Q作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)BQ即AB的長以及NQBx的度數(shù)來求

出Q的坐標(biāo).然后根據(jù)對稱性求出另外一點Q的坐標(biāo).

【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）2+k

?頂點C的橫坐標(biāo)為4,且過點（0,—^）.'.y=a（x-4）2+k,jy^=16a+k①

又?.?對稱軸為直線x=4,圖象在x軸上截得的線段長為6,；.A（1,0）,B（7,0）

2

，0=9a+k②。由①②解得a=r3,k=-A/3,...二次函數(shù)的解析式為：y=^（x-4）-yj3

99

（2）：點A、B關(guān)于直線x=4對稱，；.PA=PB,.\PA+PD=PB+PD>DBo二當(dāng)點P在線段

DB上時PA+PD取得最小值，；.DB與對稱軸的交點即為所求點Po

設(shè)直線x=4與x軸交于點M。：PM〃OD,AZBPM=ZBDO,又：NPBM=NDBO,